第六届数学建模竞赛试题

A:

一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？

求：

1、 设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端 A处恰

好接触时，梯子的长度L只与x有关。试写出函数L（x） 及其定义域。

3、 在 Matlab 环境，先用命令 clear x 清除x的值，再定义函数L(x) ，并求导。

4、 将a、b赋值，画出L(x) 的图形。注意自变量x的范围选取。

5、 求驻点，即求方程L(x)0的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。驻点唯一吗？

6、 观测图形，选取初始点，用fminbnd 直接求L(x)的极小值。并与（5）的结果比较。

7、 取a=2,b=2.8,重新运行程序，结果如何？

B:

观察鱼在水中的运动发现,它不是水平游动,而是锯齿状地向上游动和向下滑行交替进行.可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式.

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）一般取k=3.

,

（3）根据实际观察，试对不

同的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小

的准则估计最佳的值。

C:

一个半球体状的雪堆，其体积V的融化速率与半球面面积S成正比，比例系数K>0. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其原体积的7/8，问该雪堆全部融化需要多少时间？