武汉大学物理科学与技术学院2015-2016下学期力学期末试卷

2015-2016下学期力学期末考试试卷（A）

（2016.7.7）

姓名: 学号: 班级: （注：请在答题纸上注明题号作答，清楚写上姓名、学号考试结束后试卷和答题纸一起上交）

一选择题（54’=20分）

1.北半球一条河流流向为正西方向转正北方向再转正东方向,请根据科里奥利力的方向判别三段河流分别对哪侧 (相对于河流前进方向)岸冲刷更强烈( )： A） 右，左，右； B） 左，右，左； C） 左，左，左； D） 右，右，右。

2.一汽车在水平面上以速度v向右无滑行驶时（取右方向为正方向），则关于车轮上不同位置上的点的速度叙述正确的为（ ）：

A） 车轮最低点的速度为v，车轮最高点的速度为v； B） 车轮最低点的速度为v，车轮最高点的速度为2v； C） 车轮轴处点的速度为v，车轮最低点的速度为v； D） 车轮轴处点的速度为v，车轮最低点的速度为0。

3. 如图1一个绕固定水平轴O匀速转动的圆盘，同一水平直线从相反方向射入两质量相同、速率相等的子弹并留在盘中，则子弹入射后圆盘的角速度（ ）。 A） 减小； B） 增大； C） 不变； D） 无法判断。

图1.

4. 在以下叙述中选择出正确的说法( )：

A） 在牛顿第二定律中当物体受到合力为零时，加速度为零，因此牛顿第一定律是牛顿第

二定律的特殊情况； B） 驻波可以传播能量；

C） 质心系动量守恒在质心有加速度的情况下也成立；

D） 任何刚体定轴转动的角速度方向和角动量方向都相同。

5. 两个振动方向相同的波源振动方程为： 1A1cost ,2A2sin(t)2两列波的波强分别为I1 ,I2， 在距离两波源等距离处P点的波的波强I为 （ ）。 A) II1I2; B）II1I2;

C) II1I22I1I2; D) II1I22I1I2。

A-1

二填空题（20分）

1. （2分）如图2，长为2l的木棒AB斜靠在竖直墙壁OA上，若B在水平面上以

v远离

墙角O，当木棒AB与水平面成角时，木棒A端的速度大小为 ，木棒中点M速度大小为 。

2. （5分）如图3，在一个以匀角速度、顺时针旋转的光滑水平圆盘上，距离转轴R处有一质量为m物块，以地面为参照系物块静止，物块在水平面内没有受外力作用；以圆盘为参照系，物块作匀速圆周运动，是因为其在水平面内受到 力和 力的合力作用，其值分别为 和 （取圆心指向径向为正方向）。

3. （3分）均质薄圆盘的质量为M，半径为R，对过圆心并与圆盘所在平面垂直的轴转动惯量为 ，对过圆盘边缘并与圆盘所在平面垂直的轴转动惯量为 ，对过圆盘直径的轴转动惯量为 。

图2. 图3. 图4.

4. （3分）图4，质量为m的小球系于轻绳一端，放置在光滑平面上，绳子穿过平台上一小孔。开始时拉住绳下端，使小球以速度v1作圆周运动，圆的半径为r1。向下拉绳，使小球圆周运动半径为r2，这时小球的角速度为 ，在整个过程中拉力作的功为 。

5. （3分）已知简谐波以波速为u在x轴上传播，在x轴正方向距原点O为d处的介质质点振动方程为xAcost，若简谐波向x轴正方向传播，则波动方程为 ；若简谐波向x轴负方向传播，则波动方程为 。

6. （4分）x轴上两列相反方向传播的横波形成驻波，当介质各质点到达最大位移时，驻波的能量为 能，能量集中在 附近；当介质各质点到达平衡位置时，驻波的能量为 能，能量集中在 附近。

A-2

分析题：

三（两题任选一题，10分）

1. （10分）设入射波的波动方程为1Acos2(tx)，在x0处发生反射，反射点T为一自由端，求：

（1） 反射波的波动方程；

（2） 合成波的波动方程，并由此驻波方程指出波腹和波节的位置。

2. （10分）如图5， 质量为m的复摆绕过O点的水平轴摆动,复摆对O轴转动惯量为

I,质心C与转动轴的垂直距离为r。

(1)证明复摆周期与摆长为lI的单摆相同； mgr(2)连接OC并延长至P点：OPl证明当以过P点的平

行于原轴的水平轴摆动时，复摆的周期与原来绕过O点轴摆动的周期相同。

图5.

四（10分）如图6.，长为2a的轻质细棒两端分别固定有一质量为m刚性球，其与竖直转轴

刚性连接，二者之间夹角为，细棒绕过中点O的竖直转轴以匀角速度转动，转轴在A端(扶直)轴承、B端（止推）轴承固定。

(1) 求出系统的角动量J，并说明其方向；

(2)若AO=BO=l，计算系统转轴A端、B端由于系统转动所受附加力。

图6. 图7.

五（15分）如图7， 一轻质绳绕在一半径为R，质量为m的匀质盘的边缘，绳的一端系在

天花板上，现圆盘置于竖直面内，绳子竖直拉紧，然后将圆盘释放，试求：

（1） 圆盘中心向下运动的线加速度； （2） 绳中的张力；

（3） 当圆盘中心下降h后，盘中心的速度为多大？

A-3

六（10分）在一光滑水平直管中有一个质量为m的小球。此管以匀角速度绕通过其一端

的竖直轴转动。如开始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管的速度为零，管的总长度为2a,求

(1)球刚要离开管口时的相对速度与绝对速度的大小； (2)球从开始运动到管口所需时间。

(提示：可能用到的积分公式

七（15分）长为 l，质量为 m 的匀质杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当匀质杆与

竖直方向夹角为时，求：

（1） 杆的角速度大小； （2） 匀质杆质心的速度； （3） 若dxx2a2lnxx2a2C)

2时，地面对杆的作用力N。

图8.

A-4

答案：

一选择题：D D A C D （54’=20分）

二填空题： （1） vtan，

v （1+1分）

2sin22（2） 惯性离心力，科里奥利力，mR，2mR。 （1+1+1+2分） （3）

12mR2，14mR2，32mR2， （4） v1r1r，1mv12r12222r2 2（5） xAcostxdu,xAcostxdu。 （6） 势能，波节；动能，波腹。

三、1.解：

（ 1）反射点为自由端无半波损失，   2  A cos 2  ( t  x ); （1）

T （ 2） xt   1   2  2 A cos 2    cos 2  T , （2） x 波节坐标，令cos2 0，可得

x  ( k  1 )  , k  0 ,1 ,

22 （3）

波腹坐标，令cos2x1，可得

 x  k  , k  0 ,1 ,  （4）

2 2.证明：(1)复摆的运动方程为：mgrIo, （1）化为标准的简谐振动方程为：

mgrI0, （2）o因此振动周期为：T2Iomgr, (3)

A-5

（1+1+1分） （1+2分） （2+1分） （1+1+1+1分）2分） 1+2分） 1+2分）

1+2分）

（2分） （2分）

（（（（

单摆周期为T2Il，因此复摆周期相当于摆长为lo的单摆周期。

mrg(2)新的复摆周期为T2IP, (4) （1分）

mg(lr)由平行轴定理: IOIcmr2,IPIcm(lr)2, (5) （2分） 因此IPIOm(lr)2mr2IOml22mlr, 代入lIo(lr)22IO (6) （2分） 得: IPIOm(lr)mrrmr(6)代入(4)复摆周期得T'T。 (7) （2分）

四、解：(1)以轻质杆与转轴交点O为原点建立坐标系o-xyz中，y轴、z轴、三

者共面，则质点组mi的角动量：

JJirimiviak(masini)(ak)(masini)22masinj22 （1）

所以角动量方向总是指向动轴y轴方向，随时间变化。 (4+1分)

(2) 由(1)知系统角动量可分解为沿轴方向分量J1（常量）和与轴垂直分量J2， 且J2大小不变并随转轴转动，所以由角动量定理得：

dJ2ma2sincosdtMdt，其中Mf2l （2）

ma22sincos 因此A端、B端所受附加力大小f （3）

l A端、B端受力大小相等，方向相反，且随轴转动。(2+2+1分)

A-6

五、解：

(1) 以竖直绳子与圆盘边缘为转轴，由转动定律：

1mgR(mR2mR2)(1) 2 又acR(2) 2 解得 ag， (3)(211分)c

3

(2) 由牛顿第二定律：

Tmgmac，(4)

1 得：Tmg，(5)(11分)3

(3)当圆盘质心下降h 时,圆盘的角速度为 ，由机械能守恒：

113  mgh(mR2mR2)2mR22； 224 4ghvR。(22分)c

3

六、 解:1)以转动轴为y轴，沿管方向为x轴，垂直于x,y平面右手定则确定z

轴建立随管转动的动系O-xyz。出事时刻，静系与动系重合。 在动系中，小球沿管方向受惯性离心力:

Fm2x (1分) 因此，小球由初始位置运动到任意位置离心力作功为:

x2a2 Fdxmxdxm2aa222xx(2分)

x2a21=mvx2。 由动能定理得m223a212=mv， (2分) 当到达管口时则为：m222因此球刚要离开管口时相对速度大小为：v3a,方向沿x轴。

绝对速度: v'vvO，v'3ai2ak，大小为7a。(2分) 2)开始运动到脱离管口的时间:

vdx1,即dtdtdxx2a2，

由积分公式:dxx2a2lnxx2a2C可得:

t1ln23。 (1+1+1分)

 A-7

七解： 杆受力：N、mg ，建立坐标系xoyr如图，由牛顿第二定律和转动定律：

Nmgmac 1

l （4分）

2NsinIc 2 l （1分）

杆质心坐标为 xc0，yccos（3） 2

lc）  v c  y   sin    不是纯滚动 （ 4 （1分）

2 a  v lc c   （  sin    2 cos  （ 5

2） ）

杆和地系统，机械能 守恒，取地面为势能O点 则有

m g l cos   1 m v 2 1 I  2  l 2m g （ 6 ） 22c 2c

11    

 2( g1  (1 3 sin cos )2 2  )l ；l2g(1cos)2 v c   2 sin   ( 1  3 sin 2  )l  ， 令

  2 时， N  m g 4， a c   3 4g ，   3 g 2l（ 8 ）

A-8

（1分）

（1分） （1+3分）

7 ） （2分）

（1分） （