湖南省2015年普通高等学校对口招生考试数学试卷

湖南省2015年普通高等学校对口招生考试

数学试题（附答案）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分120分

一、选择题（每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的)

1。已知集合A1,2,3,4，B3,4,5,则AB等于 【答案】B A. 1,2 B。3,4 C。 D.1,2,3,4,5 2。“x2”是“x24”的【答案】A

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件 3。函数f(x)log1213x的定义域为【答案】D A。 xx11D3 B. xx0C。 x0xxx13。 3

4。点P2,1到直线3x4y50的距离为【答案】C A．5B．

65C．1 D．15 5。已知sin13,2,，则cos【答案】B A．

223B． 223C．829D．3

6。ax16的二项展开式中含的系数为

52，则a【答案】C A．

18B．14C．12D．2 7。下列函数中,既是奇函数又是增函数的是【答案】A A．yx3B． y2x1C． ysinxD．yx21 8。不等式12x3的解集为【答案】D

A。 xx2B。xx1C. x2x4 D。x1x2

1

9．已知向量a1,3,b23,2,则【答案】B A．∥B．⊥C．b4aD．ab20

10．若过点(0，2)的直线与圆x2y21有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是

22【答案】C A．[ππ5ππ5π,]B．[0,]C．[0,][,π) 66666D．[,π5π] 66二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11、甲、乙两人地解答同一个问题,若他们解答正确的概率分别为0。8和0。6，则两人都解答正确的概率为__________．【答案】0。48

12．某公司现有员工500人，为了调查员工的健康状况，拟采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，若将所有员工分为A，B,C三个年龄组,各组人数依次为125，280,95，则在B组中抽取的人数应为_________．【答案】56

13．若函数fxx(3a1)x4在5,上单调递增，则的取值范围是．

23a15x3. 2114。已知点M3,2,N5,4，且MPMN，则点的坐标为．【答案】（1，-1）

2【答案】［-3，+∞） 提示：由n15已知等比数列an的前项和Sn32k,则k．【答案】—3

三、解答题(本大题共7小题,其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16。（本小题满分10分)

已知函数fxaa0,a1的图象过点A2,4。

x(I）求fx的解析式；（II）当x1,2时，求fx的取值范围．

2解:（I）依题意,有：4a,解得：a2，∴函数fx的解析式为fx2;

x(II）∵2〉1，∴fx2为增函数，而f(1)2x10.5,f(2)224,

4． ∴当x1,2时,fx的取值范围为0.5，17。 (本小题满分10分)

从装有5个红球和3个白球的箱子中,随机取出2个球，用表示取出的2个球中白球的个数．

（I）求随机变量的分布列；（II)求事件“取出的2个球中至少有一个白球”的概

2

率．

11C52C5C315C3253解：（I)P(0)2,P(1),P, (2)2228C814C8C828∴随机变量的分布列为:

0 1 2 3P 515 142828(II）至少有1个白球的概率PP(1)P(2)18。 （本小题满分10分)

99或P1P(0)． 1414D1 C1 如图1，长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD4,AA13．

(I）证明：B1C∥平面A1BD;（II）求三棱锥A1BCD的体积．

解：（I)证明：∵ABCDA1B1C1D1是长方体， ∴A1B1D1C1，DCD1C1，

////A1 B1 D C A B 图1 故A1B1DC，∴A1B1CD为平行四边形，因此,B1C//A1D， 又因为B1C为平面A1BD外的一条直线，而A1D平面A1BD， 所以，B1C∥平面A1BD;

1111V（BCCD）AA4438． （II)三棱锥A1BCD1323219。 （本小题满分10分）

设等差数列an的中，若a62,a86,求：

(I）求数列an的通项公式；（II）求数列an的前项和的最小值．

解:(I）设数列an的首项为,公差为,依题意，有：

622da18,∴数列an的通项公式为an2n10; 2a5dd2,1(II）∵a18,d2,∴数列an为递增数列，由an2n100n5,

所以，数列an的前4项和与前5项和相等,并且为最小，

3

即S44[(8)(2)]5(80)20或S520．

22220。（本小题满分10分)

已知抛物线C:y2px的焦点为F1,0. （I）求C的方程；

（II）设过点F的直线与相交于A,B两点，试判断以AB为直径的圆M与轴的位置关系，并说明理由．

解:(I)∵抛物线C:y22px的焦点为F1,0,∴

p21，解得p2， 故抛物线C的方程为：y24x；

由抛物线的定义可知，APAF，BQBF， 在直角梯形APQB中,MN1（APBQ）1（AFBF122）2AB， 故圆心M到准线的距离等于半径,所以，以AB为直径的圆与轴必相交． 注意:第21题，22题为选做题,请考生选择其中一题作答． 21．(本小题满分10分）

在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知c13,b3 ,且

sinBsinA34（I)求角的大小；(II)求ABC的面积．

解:(I)由正弦定理asinAbsinBsinBsinAba，又b3,且sinB3sinA4，∴a4，由余弦定理，得：cosCa2b2c24232(13)212ab2432，

∴C600，

（II)∴S1ABC2absinC12433233． 22．已知甲、乙、丙三种食品中维生素A，B含量及食品价格如下表所示:

甲 乙 丙

4

维生素A(单位/千克） 维生素B(单位/千克） 单价（元/千克) 500 200 6 200 500 7 300 300 5

营养师拟购买这三种食品共7千克，要求其中维生素A的总含量与维生素B的总含量均不少于2300单位．问：这三种食品各购买多少千克，才能使支付的总金额最少? 解:设购买甲、乙分别为x、y千克,则购买丙的数量为7—（x+y) 千克，

依题意，有：

500x200y300[7(xy)]2300,2xy20,200x500y300[7(xy)]2300,xy)0,即2yx20,7( xy70,x0,y0.x0,y0.而目标函数为：z6x7y5[7(xy)]x2y35, 作出可行域如下：

显然，当处于A点时，目标函数有最小值，故由2xy20,0.x2,即2yx2y2.A（2，2），当xy2时，z有最小值，此时，丙的数量为7(22)3,

zmin2223541(元). 5