基于加罚方法的向列型液晶流问题的一阶时间半离散格式

第40卷第4期 温 州 大 学 学 报（自 然 科 学 版） 2019年11月 Vol 40, No 4 Journal of Wenzhou University (Natural Science Edition) Nov, 2019 基于加罚方法的向列型液晶流问题的 一阶时间半离散格式 龚 欢 (温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035) 摘 要：基于一种新的加罚方法,构造了求解向列型液晶流问题的一阶线性化时间半离散格式.通过选取适当的加罚参数和时间步长之间的关系,证明了该算法具有一阶的时间收敛阶. 关键词：向列型液晶流；加罚方法：一阶线性化时间半离散格式 中图分类号：O242 文献标志码：A 文章编号：1674-3563(2019)04-0006-08 DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2019.04.002 本文的PDF文件可以从http://xuebao.wzu.edu.cn/获得 在本文中，考虑以下的流体动力学模型： utu(u)updiv(bb)f， （1） btb(u)b|b|2b0， （2） divu0,|b|1， （3） 其中，t(0,T]，R是一个有界凸区域，且边界光滑．u(x,t):[0,T]2和p(x,t): 2[0,T]分别代表速度和压力．b(x,t):[0,T]S，其中S是2中的单位圆，代表着宏观分子取向．f:[0,T]2为外力．常数,,为三个正常数分别表示着粘性系数、弹性系数和弛豫时间系数．bb为22矩阵．如果b是一个常映射，则上述系统简化为不可压缩Navier-Stokes方程[1]，如果u0，则上述系统简化为热调和映照[2]． 为了研究方程（1）–（3），赋予如下的初始条件和边界条件： u(x,0)u0(x)，b(x,0)b0(x)，在内； （4） u(x,t)0，nb(x,t)0，在[0,T]上． （5） 其中n表示在中单位外法向量，这里要求初始向量函数u0和b0满足条件divu00和|b0|1． 方程（1）–（3）首先是由林芳华教授在文献[3]中作为Ericksen-Leslie模型的简化模型导出的，用于描述由Ericksen[4-5]和Leslie[6]所提出的向列型液晶流动模型，它是在流动速度u和类似于旋转液晶流的微观取向b的影响下对材料时间演化的宏观连续描述．但研究系统（1）–（5） 收稿日期：2018-06-11 作者简介：龚欢(1993- )，女，陕西汉中人，硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统 龚欢：基于加罚方法的向列型液晶流问题的一阶时间半离散格式 7 1|b|2的困难之一是非线性约束|b|1，通常的方法是采用Ginzburg-Landau加罚函数b去代替（2）式中的|b|b，而不考虑非线性约束|b|=1．此时考虑如下的加罚问题： 2utu(u)updiv(bb)f， （6） btb(u)b(|b|21)b0， （7） divu0， （8） 其中0为加罚参数．（6）–（8）式首先是由Lin和Liu在文[7]中引入的，文[7]证明了三维问题全局弱解和局部强解的存在性．然而由于解的估计很大程度上取决于，所以在（6）–（8）式中当趋于0时，加罚问题方程（6）–（8）的解是否趋于原问题方程（1）–（3）的解仍不清楚． 近几年许多学者对向列液晶流动问题的数值方法也进行了研究，Liu和Walkington在文献[8]中对加罚问题方程（6）–（8）的数值方法首先进行了研究，并采用3Hermite有限元来逼近b． 为了避免使用Hermite有限元，随后Liu和Walkington又在文[9]中研究了混合有限元方法，并构造了全隐格式，虽然该格式是无条件稳定的，但每个时间步必须求解非线性问题而需消耗大量的数值求解时间，正如文[10]中所指出的，在文[8-9]中导出的误差估计依赖于，这将导致非常小的时间步长(e1/)．为避免时间步长的强约束条件，Becker等在文[10]中通过引入2|b|21wb b研究了一种新的混合有限元方法，所提出的完全离散格式仅在求解w时是非线性的，并且满足离散的能量不等式．在文[10]中，Becker等证明了当h,0时数值解的适定性和收敛性，并没有给出误差估计．最近An和Su在文[11]中研究了求解（1）–（5）式的线性化半隐全离散有限元算法，在构造该算法时没有考虑非线性约束条件|b|1，并证明了该全离散有限元算法具有最优阶的有限元时空误差估计． 本文将基于一种新的加罚方法，在不考虑非线性约束条件|b|1的情况下，构造新的一阶线性化时间半离散格式．在时间步长和加罚参数满足()的条件下，我们证明了所构造的半离散算法具有一阶时间收敛精度． 1 预备知识 本文采用标准的Sobolev空间记号[12]．用(.,.)表示L2()的内积，采用C,C0,C1,C2表示正常数，它们可依赖于u,p,b,f,,,，但不依赖于加罚参数0和时间步长． 引入空间： 1212HuL2()2,divu0,un0在上上，VH0()，XH()， 2V0uV,divu0在内内，ML2()qL(),qdx0． 0由于Poincare不等式知道vV，vL2与H是等价的． 定义双线性形式： 1a(u,v)uvdx，u,vV，d(v,q)qdivvdx，vV,qM．  8 定义三线性形式： 温州大学学报（自然科学版）(2019)第40卷第4期 b(u,v,w)(u)vwdx，u,v,wX． 通过积分可得到： b(u,v,v)0，uV0，vX． （9） 记正交投影算子PH:L2()H，那么Stokes算子A定义为[1]： AuPHu， uD(A)V0H2()2． （10） 关于问题（1）–（5）的适定性，首先引入如下定理． 定理1 若u0D(A)，b0H()和|b0|1在内几乎处处成立，对于给定的f 32L(0,T;H)L2(0,T;L4()2)，则存在TT使得（1）–（5）式存在唯一的局部强解(u,p,b)并满足[13]： uL2(0,T;W2,4()2)L(0,T;D(A))， （11） utL2(0,T;V)L(0,T;H)， （12） utL(0,T;V)L2(0,T;D(A))， （13） uttL2(0,T*;H)， （14） bL(0,T;H3()2)L2(0,T;H4()2)， （15） btL(0,T;H1()2)L2(0,T;H2()2)， （16） bttL2(0,T;L2()2)． （17） 记0t0t1tNT是时间间隔[0,T]的一个均匀化分割，时间步长，T/N和tnn．记unu(x,tn)，pnp(x,tn)，bnb(x,tn)，fnf(x,tn)．对序列gnn1，gn1gn记Dg．取初始值B0b0，U0u0，构造如下的线性化加罚迭代格式： 1DBn1Bn1(Un)Bn1(1|Bn|)2Bn1|Bn|2Bn， （18） n1DUn1Un1(Un)Un1Pn1div(Bn1Bn1)fn1n1，divUn10， （19） 在上采用齐次边界条件nB0和Un10． 为了研究上述迭代格式的时间收敛阶，本文将应用如下的不等式： 21/2vLrCvL2(2r6)，vL4Cv1/vV， （20） 2v2，LL22vH2CAvL2，vLCv1/Av1/，vD(A)， （21） L2L221/2vLrCvH1(2r6)，vL4Cv1/vX， （22） 2v1，LH2vL2CvL2，vH2()，nv|0． （23） 龚欢：基于加罚方法的向列型液晶流问题的一阶时间半离散格式 9 2 主要结论 记euuU，eppP，ebbB．下面开始估计时间误差eu，eb和ep．在 （1）–（5）式中，取t(n1)得： nnnnnnnnnnnnDun1un1(un1)un1pn1div(bn1bn1)fn1Run1， （24） Dbn1bn1(un1)bn1|bn1|2bn1Rbn1， （25） divun10，|bn1|1， （26） 其中Rn1n1tn11tn1n1(stn)nu(s)ds，Rb(stn)ttb(s)ds，利用Holder’s不等式、tntn（14）式和（17）式，可得： Rn0N1n1u2Rbn12． （27） 2CL2L2n0N1从（25）式中减去（18）式，并从（24）式、（26）式中减去（19）式得误差方程为： 1n1n1n1Debeb(1|Bn|)2eb(|bn1|2bn1|Bn|2Bn) （28） 1Rbn1(1|Bn|)2bn1((un1)bn+1(Un)Bn1)，n+1n1n1Deueuep((un1)un1(Un)Un1)(div(bn1bn+1)div(Bn1Bn1))Rn+1u， （29） 其中在上满足边界条件eu本文的主要结论如下． n1n+10和neb=0． 定理2 在定理1的正则性条件下，对足够小的0，若时间步长满足()，则有： k2max(eeuL2)C02， （30） mu2L2k0mk2max(eebH1)C02． （31） mb2L2k00000m0mn10mn1证明：因为uUu0和bBb0，因此（30）式和（31）式对m0成立．假设（30）式和（31）式对mn成立，根据数学归纳法，那么只需要证明（30）式和（31）式对mn1n+1也成立．（28）式乘以eb，然后在上积分可得到： 111n12n1n2n12n+12DebL2ebebL2ebL2(1|Bn|)ebL2221n1n1 （32） |(|bn1|2bn1|Bn|2Bn,eb)||((1|Bn|)2bn1,eb)|n1n1n1|(Rbn1,eb)||b(un1,bn1,eb)b(Un,Bn1,eb)|I1I2I3I4．现在开始估计上式右端．根据 10 温州大学学报（自然科学版）(2019)第40卷第4期 |bn1|2bn1|Bn|2Bn(bn1bn)(bn1bn)bn+1+|bn|2(bn1bn)|b|e2(eb)b2(eb)e|e|e|e|b，等式，可估计I1如下： n1nn+1I1(bn1bnLbn2bL2)b1ebLHn2nbnbnnnbnnbn2bnbn2bn 并使用（15）式，（16）式，（22）式，（30）式（对mn成立），Holder’s不等式和Young’s不(beL2bLbLeL2)en2Lnbnnnbn+1bL2 nnn1nn2n+1bnLebL2ebH2ebL2(ebH2bnL)ebL4ebL2C1(en+1bn222n2e)ebH1C1C0ebH2，42L2nb2L22 其中C10与C0无关．这里使用 bnn1bn2H1tn1tn22bt(t)dt2b， （33） 1tHL(0,T;H1())再由|b|1可得： 1n2n1n+1212n2ebL4ebL2C1ebL2C1C0()ebH1． 利用Holder’s不等式和Young’s不等式，可估计I3如下： I2n122I3C1(ebL2Rbn1L2)． n+1n1由于I4|b(un1un,bn1,eb)+b(unUn,bn+1,eb)|，因此从（12）式和（15）式可以得到 nn1n12n2I4(un+1unL2euL2)bn1LebL2C1(ebL2euL22)， 这里使用 un1un2L2tn1tn22ut(t)dt2u， （34） 2tLL(0,T;H)把I1,I2,I3和I4的估计带入（32）式得到： 1n+1n22n12n12n+12DebL2ebebL22ebL2(1|Bn|)ebL2n12n2n2C1(ebL2ebL2euL2Rbn1L22) （35） n222n212n2ebH1C1C0()ebH1C1C0ebH2．2n1对（29）式乘以eu并在上积分得： 11n12n1n2n12DeuL2eueuL2euL222n1n1n1 |b(Un,Un1,eu)b(un+1,un1,eu)||(Run1,eu)| （36）n1|(bn1bn1Bn1Bn1,eu)|I5I6I7． 龚欢：基于加罚方法的向列型液晶流问题的一阶时间半离散格式 利用Holder’s不等式和Young’s不等式有： n1nn1I5|b(unun1,un1,eu)b(eu,un1,eu)|nn1(unun1L2euL2)un1LeuL211 n12n12n22n2euL2C2unun12CeeCeL2，222C22uu2uLLL44其中C20与C0无关． 用类似的方法可得I6C2(eu再根据 n1n1n+1n1I7|(ebbn1,eu)(eb(bn1bn),eu)n1n122L2)． 2RuL(b有： n+1(bn1b),enn+1u)+(en+1be,enbn1u)(bn1e,enbn1u)|， n1n1n1n1I7ebL2bn1LeuL2ebL4(bn1bn)L4euL2n1n1nn1bn1L(bn1bn)L2euL2ebL4ebL4euL2n12euL22n12n2n1n2n12C2(ebL2ebL2(bn1bn)2b)H2 2)C2(b2ebLLnn1bn1LebL2euL2n12nnn12C2bn1bn2ebL2C2ebL2ebH2ebH2H2n12n12n2n12euL2C2(ebL2ebL22)C22ebH22n+12C2ebL2tn1tnn+12bt(t)2H2，2dtC0C2ebH这里使用了（30）–（31）式（对mn成立）和 bn1bn2H2tn1tnbt(t)dt2H2tn1tnbt(t)2dt． （37） H2把I5,I6,I7带入（36）式中可得： 1n+1n2n12n12n2eueuL2euL2euL2C2(2euL22n+12n12n22n+12euL2Run12eH2（38） 2eb2eb2)C2bLLLn12DeuL2n12C2ebL2tn+1tnn+12bt(t)2H2．2dtC0C2ebHn+1给（28）式乘以eb，并使用和（35）式相同的方法，得到： n12n12n2n2DebL2ebL2C3(ebL2euL2Rbn1L22)n2n2ebH1C3C022ebH2，2其中C30与C0无关． 把（35）式，（38）式，（39）式加起来，得： （39） 12 温州大学学报（自然科学版）(2019)第40卷第4期 1n1n22n12n12n12DebL2ebebL22ebL2(1|Bn|)ebL21n1n2n12n12n12n12DeuL2eueuL2euL2DebL2ebL2 n12n2n2n1n12n+12n12C4(ebL2ebL2euL2RbL2euL2RuL2ebL2n2n222n2n2ebL22)ebH1(C1+C2+C3)C0ebH2C1C02()2ebH1tn1n122n+12n+12euL2C4ebH2C4ebL2bt(t)2dt． H2tn2使用离散的Gronwall’s不等式[14]，并根据()，存在足够小的00使得当0时有： en1ueC0，e2L2kuk02L22n1n1bk2ebH1C02， 2L2k0n1这样就证明了定理2的结论． 参考文献 [1] Temam R. 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SIAM J Numer Anal, 2013, 51: 88-111. 龚欢：基于加罚方法的向列型液晶流问题的一阶时间半离散格式 13 The First-order Time Semi-discrete Scheme for Nematic Liquid Crystal Flow Problems Based on Penalty Method GONG Huan (College of Mathematics, Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035) Abstract: A first-order linearized time semi-discrete scheme for solving nematic liquid crystal flow problem based on a new penalty method is constructed in this paper. By selecting the appropriate relationship between the penalty parameters and the time step, the algorithm is proved to have a first-order time degree of convergence. Key words: Nematic Liquid Crystal Flow; Penalty Method; First-order Linear Time Semi-discrete Format (编辑：王一芳)