2020年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅲ卷

文科数学

一、选择题

1.已知集合A1,2,3,5,7,11，Bx|3x15，则AA. 2

B. 3

C. 4

B中元素的个数为( )

D. 5

2.若z(1i)1i，则z( ) A. 1i

B. 1i

C.i

D.i

3.设一组样本数据x1,x2,...,xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2,...,10xn的方差为( ) A．0.01

B．0.1

C．1

D．10

4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：天）的Logistic模型：ItK1e0.23t53，

其中K为最大确诊病例数.当It0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193）( ) A.60

5.已知sinsin(B.63

C.66

D.69

)1，则sin()( )

36B.

A.

1 23 3C.

2 3D.

2 26.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若ACBC1，则点 C 的轨迹为( ) A. 圆

B. 椭圆

C. 抛物线

2D. 直线

7.设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:y2px(p0)交于D,E两点，若

ODOE，则C的焦点坐标为( )

A．(,0)

14B．(,0)

12

C．(1,0) D．(2,0)

8.点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为( ) A．1

B．2

C．3 D．2

9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )

1

A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 10.设alog32，blog53，cA．acb

2，则( ) 3C. bca

D. cab

B. abc

11.在ABC中，cosCA.

2，AC4,BC3，则tanB( ) 3C.45 D.85 5 B.25 12.已知函数f(x)sinxA. f(x)的最小值为2

1，则( ) sinxB. f(x)的图像关于y轴对称 D. f(x)的图像关于直线xC. f(x)的图像关于直线xπ对称 二、填空题

π对称 2xy013.若x,y满足约束条件2xy0，则z3x2y的最大值为_____.

x1x2y214.设双曲线C:221a0,b0的一条渐近线为y2x,则C的离心率为

ab______.

exe15.设函数fx，若f1，则a____.

xa416.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______________. 三、解答题

17.设等比数列{an}满足a1a24，a3a18. （1）求{an}的通项公式；

2

（2）记Sn为数列log3an的前n项和.若smsm1sm3，求m.

18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

[0,200] 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） 2 5 6 7 16 10 7 2 25 12 8 0 （200,400] （400,600] （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好 空气质量不好 n(adbc)2附：K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2人次400 人次>400

19.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，在E,F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1，证明：

3

（1）当ABBC时，EFAC; （2）点C1在平面AEF内. 20.已知函数fxx3kxk2. （1）讨论fx的单调性；

（2）若fx有三个零点，求k的取值范围.

x2y21521.已知椭圆C:21(0m5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.

425m（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且BPBQ，BPBQ，求APQ的面积.

2x2tt(t为参数且t1），C与坐标轴22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2y23tt交于A，B两点. （1）求AB；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 23.设a，b，cR，abc0，abc1. （1）证明：abbcca0；

b，c中的最大值，证明：maxa,b,c34. （2）用maxa,b,c表示a，4

参

1.答案：B 解析： 2.答案：D 解析： 3.答案：C 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：B 解析： 6.答案：A 解析： 7.答案：B 解析： 8.答案：B 解析： 9.答案：C 解析： 10.答案：A 解析： 11.答案：C 解析： 12.答案：D 解析： 13.答案：7 解析： 14.答案：3解析： 15.答案：1

5

解析： 16.答案：解析：

17.答案：(1)an3n1 (2)m6

解析：(1)设{an}公比q，为ana1qn1.由已知得

a1a1q4, 2aqa8.112 3解得a11，q3.

所以{an}得通项公式为an3n1. (2)由（1）知log3ann1. 故Snn(n1). 2由SmSm1Sm3得m(m1)(m1)m(m3)(m2)，即m25m60. 解得m1（舍去），m6.

18.答案：（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09 （2）350

（3）有，理由见解析.

解析：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表： 空气质量等级 概率的估计值 1 0.43 2 0.27 3 0.21 4 0.09 （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1(100203003550045)350. 100（3）根据所给数据，可得22列联表：

空气质量好 空气质量不好 人次400 33 22 人次>400 37 8 6

根据列联表得

100(3382237)2K5.820.

554570302由于5.8203.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼人次与该市当天的空气质量有关.

19.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析

解析： （1）如图，连结BD，B1D1.因为ABBC，所以四边形ABCD为正方形，故ACBD.又因为BB1平面ABCD，于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D. 由于EF平面BB1D1D，所以EFAC.

（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG2GA1，连结GD1，FC1，FG. 因为D1EDD1，AG形，故AE//GD1.

11因为B1FBB1，AGAA1，BB1//AA1，所以FG//A1B1，FG//C1D1，四边形FGD1C1为平133232AA1，DD1//AA1，所以ED1//AG，于是四边形ED1GA为平行四边3行四边形，故GD1FC1.

于是AE//FC1.所以A,E,F,C1四点共面，即点C1在平面AEF内. 20.答案：（1）详见解析 (2)(0,4). 27解析：(1)f(x)3x2k.

当k0时，f(x)x3，故f(x)在(,)单调递增；

7

当k0时，f(x)3x2k0，故f(x)在(,)单调递增. 当k0时，令f(x)0，得x时，f(x)0；当x(在(3k3k3k3k.当x(,当x()时，f(x)0；,)33333k3k3k,)时，f(x)0.故f(x)在(,)，(,)单调递增，3333k3k,)单调递减. 33（2）由（1）知，当k0时，f(x)在(,)单调递增，f(x)不可能有三个零点.当k0时，x3k3k为f(x)的极大值点，x为f(x)的极小值点，此时，333k3kk1且f(k1)0，f(k1)0,33f(3k)0.根据f(x)的单调3k13k2k3k4，因此k)0，即k20时，f(x)有三个零点，解得k39274的取值范围为(0,).

27性，当且仅当f(x216y2121.答案： 25（1）2516（2）

5 225m215x2y22521. 解析： （1）由题设可得，得m，所以C的方程为2525541616（2）设PxP,yP，Q6,yQ，根据对称可设yQ0，由题意知yP0. 由已知可得B5,0，直线BP的方程为y122(x5)，所以BPyP1yQ，BQ1yQ. yQ因为BPBQ，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP3或3. 由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q2(6,8).

101PQ，故x，点A5,0到直线PQ1110，直线PQ11的方程为y11的距离为231105的面积为10.

222P2Q2130，直线P2Q2的方程为yAPQ11130710，点A到直线P2Q2的距离为，故x269311305AP2Q2的面积为130.

22628

综上，APQ的面积位

5. 222.答案：（1）410 （2）3cossin120

解析： （1）因为t1，由2tt20得t2，所以C与y轴的交点为0,12；由 23tt20得t2，所以C与x轴的交点为4,0.

故AB410. （2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为

xy1，将xcos，ycos代入，412得直线AB的极坐标方程3cossin120. 23.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析

解析： （1）由题设可知，a，b，c均不为零，所以 abbcca12abca2b2c221a2b2c2

20.（2）不妨设maxa,b,ca，因为abc1，abc，所以a0，b0，c0.

由bcbc42a3，可得abc，故a34，所以maxa,b,c34. 4

9