2017数学二真题

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一、选择题（每小题4分，共32分） （1）若函数A. ab1 2B. ab1 2C. ab0 D. ab2

【答案】A

【解析】由连续的定义可知：limf(x)limf(x)f(0),其

x0-x01cos2x,x0f(x)axb,x0在x0处连续，则（ ）。

中f(0)limf(x)b，

x0-1(x)21cosx12limf(x)limlimx0x0x0axax2a，从而b21a，也即ab1，2故选A.

【试题点评】本题考查函数的连续性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)f(1)1,f(0)1，且f''(x)0，则（ ）。

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【答案】D

（x【解析】limxnsinxn)asina，而要使asina0，只有

a=0，故D正确。

【试题点评】本题考查级数收敛性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（4）微分方程y4y8ye1cos2x的特解可设为y'''2xk（ ）。 A. Ae2xe2xBcos2xCsin2x

B. AxeC. Ae2xe2xBcos2xCsin2x2xxe2xBcos2xCsin2xD. Axe2xxe2xBcos2xCsin2x【答案】C

【解析】齐次方程的特征根为r22i，原方程可分解为两个非齐次方程：

y''4y'8ye2xcos2xy''4y'8ye2x2x和

，可知第一个方程的特解为Ae，

2x第二个方程的特解为xe(Bcos2xCsin2x)，故选C.

【试题点评】本题考查微分方程的解。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等

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数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第五章微分方程和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的x,y，都有f(xx,y)0，f(xy,y)则（ ）。 A. f(0,0)f(1,1) B. f(0,0)f(1,1) C. f(0,1)f(1,0) D. f(0,1)f(1,0) 【答案】D

【解析】易知f(x,y)分别关于x,y单调递增和单调递减，所以选D.

【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲

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线vv(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线

1vv2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，

03，计时开始后乙追上甲的时刻记为t（单位：s），则（ ）。

A. t0100

20B. 15tC. tD. t0

2525

250【答案】C 【解析】t0时，乙比甲多跑10m，而最开始的

时候甲在乙前方10m处。

【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（7）设A为三阶矩阵，P,,为可逆矩阵，使

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得

000P1AP0100021，则A123（ ）。

A. C. 2

2B. 22332D. 2

1【答案】B

【解析】由相似矩阵的特征值与特征向量的定义，可知A10,A22,A323.

【试题点评】本题考查可逆矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第二章矩阵和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （8）已知矩阵（ ）。

A.A与C相似，B与C相似 B. A与C相似，B与C不相似 C. A与C不相似，B与C相似 D. A与C不相似，B与C不相似 【答案】B

200210100,B020,C020A021001001002，则

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【解析】A，B的特征值为2,2,1，但A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所以A可对角化，B则不行.

【试题点评】本题考查相似矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

二、填空题（每小题4分，共24分） （9）曲线________。 【答案】yx2 【解析】

2x(1arcsin)x1,blimx(1arcsin2)x2klimxxxx2yx(1arcsin)x的斜渐近线方程为

，则斜

渐近线方程为yx2.

【试题点评】本题考查导数的应用。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （10）设函数yy(x)由参数方程

xtetysint确定，则

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d2y|t0dx2=________。

【答案】y1 8【解析】

dyy'(t)costdxx'(t)1etsint(1et)etcostcost()'ttt2td2ysintesintecost(1e)1edx21et1et(1et)3d2y1|t0dx28

【试题点评】本题考查二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （11）100ln(1x)dx(1x)2=________。

【答案】1 【解析】

ln(1x)1dxln(1x)d()0(1x)201x11ln(1x)||0001x1x011

【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等

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数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （12）设函数【答案】xye

yf(x,y)具有一阶连续偏导数，且

df(x,y)yeydxx(1y)eydy，f(0,0)0，则f(x,y)=________。 由

题即

意，

∵

f(0,0)0,c(y)c,【解析】即

可知，故

fx'yey,fy'x(1y)ey,f(x,y)yeydxxyeyc(y)fy'xeyxyeyc'(y)xey,c'(y)0,c=0,

即f(x,y)xyey.

【试题点评】本题考查函数的导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （13）dy10tanxdxyx1=________。

【答案】ln(cos1) 【解析】

11tanx1tanx1dxdxdytanxdxln|cosx|00yx0yx0lncos1lncos0lncos11dy1

【试题点评】本题考查定积分的性质。此知识点

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在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第四章不定积分和定积分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 （14）设矩阵

412A12a311112的一个特征向量为，

则a=________。 【答案】-1 【解析】

11A132a,即32a=1，可得a1.22

【试题点评】本题考查矩阵。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第五章特征值与特征向量和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。 三、解答题（共94分）

（15）（本题满分10分） 求limx0x0xtetdtx3

【答案】2 3【解析】令xtu,则txu,dtdu,

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0x原式=limx0x+xuexu32(du)limx0+0uexudux32uxxu32lim+x0e0ueduxlim+ex0xx0+limx0uedux32lim+x0xe2331x22x

【试题点评】本题考查函数的极限。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（16）（本题满分10分）

设函数f(u,v)具有2阶连续性偏导数，yf(e,cosx)，

x求

dyd2y|x0,2|x0dxdx。

；

d2y|f11'(1,1)f1'(1,1)f2'(1,1)2x0dx【答案】

dy|x0f1'(1,1)dx

【解析】

yf(ex,cosx)dyf1'exf2'sinxdxdy|x0f1'(1,1)dxd2yxxxx(f'ef'sinx)efe(f'ef22'sinx)sinxf2'cosx11121212dxd2y|x0f11'(1,1)f1'(1,1)f2'(1,1)dx2

【试题点评】本题考查切线方程与导数的关系。

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此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（17）（本题满分10分） 求limnkln(1k)。 nnk12n【答案】1 4【解析】

1122nnln(1)(1)...(1)]xn2nn2nn2n11122nnlim[ln(1)ln(1)...ln(1)]xnnnnnnn=lim[xln(1x)dx01xln(1x)d0112x2111212xln(1x)|1xdx00221x111x211ln2dx2201x11111ln2[(x1)dxdx]01x220111ln2(1ln2)22214

【试题点评】本题考查级数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重

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点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（18）（本题满分10分） 已知函数y(x)由方程x极值。

【答案】当x=1时函数有极大值，极大值为1，当x=-1时函数有极小值，极小值为0. 【解析】

x3y33x3y20①3y33x3y20确定，求y(x)的

2方程①两边对x求导得：3x令y'=0，得3x=3，x1

23y2y'33y'0②

当x1时y1,当x1时y0

方程②两边再对x求导: 6x6y(y')令y'0,6x(3y223y2y'3y''0

1)y''0

当x=1，y=1时，y'3，当x=-1时，y'6 2所以当x=1时函数有极大值，极大值为1，当x=-1时函数有极小值，极小值为0.

【试题点评】本题考查多元函数极值。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等

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数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第六章空间解析几何与多元微分学和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0，

x0limf(x)0x，证明：

（Ⅰ）方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根； （Ⅱ）方程f(x)f''(x)(f'(x))两个不同实根。 【答案】略 【解析】 （Ⅰ）证：因为limx020在区间(0,1)内至少存在

f(x)0x，由极限的局部保号性

知，存在c(0,)，使得f(c)0，而f(1)0，由零点存在定理可知，存在(c,1)，使得f()0。 （Ⅱ）构造函数

F(0)f(0)f'(0)0,F()f()f'()0F(x)f(x)f'(x)，因此

，

因为limx0f(x)0x，所以f'(0)0，由拉格朗日中值定理

f(1)f(0)f'()0101知，存在(0,1)，使得

f'(0)f'()0，所以

，因此根据零点定理可知存在(0,)，使

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得f'()0，所以F()f()f'()0，所以原方程至少

1111有两个不同实根。

【试题点评】本题考查二阶导数。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第二章导数与微分和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（20）（本题满分11分） 已知平面区域Dx,y|xx1D22y22y，计算二重积分

dxdy。

【答案】54

【解析】

(x1)dxdyD2x2dxdy1dxdyDDd02sin

0r2cos2dr54【试题点评】本题考查二重积分。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第七章重积分和强化阶段数学重点题型精讲班也

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均有涉及。

（21）（本题满分11分）

3设yx是区间0,内的可导函数，且y10，点P是2曲线L:yyx上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,Y，法线与x轴相交于点X,0，若

PPXPYP，求L上点的坐标x,y满足的方程。

2【答案】ln(x【解析】

y2)2arctany30,x(0，)x2

设曲线L在（x,y）处的切线方程为Yy(x)y'(x)(Xx)，所以

YPy(x)xy'(x)

Yy(x)1(Xx)y'(x)对应的法线方程为

XPxy(x)y'(x)，所以

y1dyyxxdxyxy1x因此y(x)xy'(x)xy(x)y'(x)，即

y这是一个齐次方程，可令u(x)x，最终求得方程

的通解为

ln(u21)2arctanu2ln|x|C

y30,x(0，)x2再由y(1)0得ln(x2y2)2arctan

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【试题点评】本题考查切线方程与导数的关系。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第三章中值定理与导数的应用和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（22）（本题满分11分）

设3阶矩阵A(,,)有3个不同的特征值，且

1233122，

（Ⅰ）证明r(A)2； （Ⅱ）如果123，求方程组Ax的通解。

T【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）k(1,2,1)(1,1,1)T,kR。

【解析】（Ⅰ）证：因为A有三个不同的特征值，所以A不是零矩阵，因此r(A)1，若r(A)1，那么特征根0是二重根，这与假设矛盾，因此r(A)2，又根据3122，所以r(A)2，因此r(A)2。

122（Ⅱ）因为r(A)2，所以Ax0的基础解系中只有一个解向量，又Ax3，即21T230，因此基础

12解系的一个解向量为(1,2,1)。因为的特解为

(1,1,1)T3，故

，因此

Ax的通解为

k(1,2,1)T(1,1,1)T,kR。

【试题点评】本题考查线性方程组的解。此知识

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点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第四章线性方程组和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（23）（本题满分11分） 设二次型f(x,x,x)2x1232122x2ax32x1x28x1x32x2x321122y2在正交变

换xQy下的标准型为y矩阵Q。

，求a的值及一个正交

12012162616【答案】a2，正交矩阵

131Q313

【解析】二次型的矩阵

214A11141a

21122y2因为二次型在正交换下的标准形为y有特征值0, ∴|A|=0，故a=2 由|EA|214141(3)(6)02，故A

11得特征值为

13,26,30

解齐次方程组(EA)x0，求特征向量

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对对对

51410113,3EA12100141500041410126,6EA171010,414000，得

1111;

得

120;11321

21410130,0EA111012,412000123得;

因为.,属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令11111(1,1,1),22(1,0,1),33(1,2,1) ||1||||2||||3||326131Q31312012162616所求正交矩阵为，对应标准形为

2f3y126y2.

【试题点评】本题考查二次型。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第二部分线性代数有重点讲解，在强化阶段数学强化班线性代数第六章二次型和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。