2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

一、填空题（共14小题.每小题5分。满分70分） 1．（5分）已知集合A=｛﹣1。2。3。6｝.B={x｜﹣2＜x＜3}。则A∩B=______． 2．（5分）复数z=(1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______． 3．(5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______． 4．（5分)已知一组数据4。7.4.8。5。1.5。4。5。5.则该组数据的方差是______． 5．(5分）函数y=的定义域是______．

6．(5分）如图是一个算法的流程图。则输出的a的值是______． 7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5。6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．

8．(5分）已知{an｝是等差数列.Sn是其前n项和。若a1+a2=﹣3.S5=10.则a9的值是______． 9．（5分）定义在区间［0.3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______． 10．（5分）如图。在平面直角坐标系xOy中。F是椭圆+=1(a＞b＞0)的右焦点。直线y=与椭圆交于B。C两点.且∠BFC=90°。则该椭圆的离心率是______．

11．(5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数。在区间[﹣1。1）上。f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f(）。则f(5a）的值是______． 12．（5分）已知实数x。y满足。则x+y的取值范围是______．

13．(5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点。E.F是AD上的两个三等分点。•=4.•=﹣1.则•的值是______． 14．（5分）在锐角三角形ABC中。若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______． 二、解答题（共6小题.满分90分） 15．（14分）在△ABC中。AC=6。cosB=。C=． (1）求AB的长；

（2）求cos（A﹣）的值．

16．(14分）如图。在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中。D.E分别为AB。BC的中点。点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F。A1C1⊥A1B1．求证： （1）直线DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 17．（14分)现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1。下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？

（2)若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大?

22

18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2。4）．

（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上。求圆N的标准方程； （2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点。且BC=OA.求直线l的方程； （3）设点T（t。0)满足：存在圆M上的两点P和Q。使得+=.求实数t的取值范围． 19．（16分）已知函数f（x）=a+b（a＞0。b＞0。a≠1.b≠1）． （1）设a=2。b=．

①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值;

. .

x

x

2

2

2

(2)若0＜a＜1。b＞1.函数g（x）=f（x)﹣2有且只有1个零点.求ab的值．

20．（16分）记U=｛1.2.….100}。对数列｛an}（n∈N）和U的子集T.若T=∅。定义ST=0;

*

若T={t1.t2.…。tk}.定义ST=++…+．例如：T={1.3.66｝时.ST=a1+a3+a66．现设｛an}（n∈N）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时。ST=30． (1）求数列｛an}的通项公式； （2)对任意正整数k（1≤k≤100）。若T⊆{1.2.….k}.求证：ST＜ak+1； (3）设C⊆U.D⊆U。SC≥SD。求证:SC+SC∩D≥2SD．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做。则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】

21．(10分)如图.在△ABC中.∠ABC=90°。BD⊥AC。D为垂足。E为BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD．

B.【选修4—2：矩阵与变换】

22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B=.求矩阵AB． C。【选修4—4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）。椭圆C的参数方程为(θ为参数）。设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长． 24．设a＞0.｜x﹣1｜＜.｜y﹣2｜＜。求证：|2x+y﹣4｜＜a． 附加题【必做题】

25．(10分）如图.在平面直角坐标系xOy中。已知直线l:x﹣y﹣2=0.抛物线C：y=2px（p＞0）．

（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程;

（2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q． ①求证:线段PQ的中点坐标为（2﹣p。﹣p）; ②求p的取值范围． 26．（10分）（1）求7C﹣4C的值； （2）设m.n∈N。n≥m.求证:（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1)C．

*

2

﹣1

＊

2016年江苏数学参与试题解析

一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）

1．(5分）已知集合A={﹣1.2。3.6}。B={x｜﹣2＜x＜3}。则A∩B=｛﹣1。2}． 【分析】根据已知中集合A=｛﹣1。2.3。6}.B={x｜﹣2＜x＜3｝。结合集合交集的定义可得答案．

【解答】解:∵集合A=｛﹣1.2。3.6｝.B=｛x｜﹣2＜x＜3｝. ∴A∩B=｛﹣1.2｝. 故答案为：{﹣1。2｝

【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大。属于基础题． 2．(5分)复数z=（1+2i)(3﹣i)。其中i为虚数单位.则z的实部是 5 ． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i. 则z的实部是5。 故答案为：5．

【点评】本题考查了复数的运算性质。考查了推理能力与计算能力。属于基础题． 3．(5分)在平面直角坐标系xOy中。双曲线﹣=1的焦距是 2．

. .

【分析】确定双曲线的几何量。即可求出双曲线﹣=1的焦距． 【解答】解：双曲线﹣=1中.a=。b=. ∴c==.

∴双曲线﹣=1的焦距是2． 故答案为:2．

【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础． 4．（5分）已知一组数据4.7。4.8。5。1。5。4.5.5。则该组数据的方差是 0.1 ． 【分析】先求出数据4。7.4。8。5.1.5.4.5。5的平均数.由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：∵数据4。7.4.8。5.1。5.4。5.5的平均数为: =（4。7+4。8+5。1+5。4+5.5）=5。1. ∴该组数据的方差:

S=［（4.7﹣5。1）+(4.8﹣5.1）+（5。1﹣5.1）+（5。4﹣5.1）+（5。5﹣5.1）］=0。1．

故答案为：0。1．

【点评】本题考查方差的求法.是基础题。解题时要认真审题。注意方差计算公式的合理运用． 5．（5分）函数y=的定义域是［﹣3。1]．

【分析】根据被开方数不小于0。构造不等式。解得答案．

【解答】解：由3﹣2x﹣x≥0得:x+2x﹣3≤0。 解得：x∈[﹣3。1］. 故答案为：［﹣3。1］

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域。二次不等式的解法.难度不大。属于基础题． 6．(5分）如图是一个算法的流程图。则输出的a的值是 9 ．

【分析】根据已知的程序框图可得。该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值。模拟程序的运行过程.可得答案．

【解答】解：当a=1。b=9时.不满足a＞b。故a=5.b=7。 当a=5。b=7时。不满足a＞b。故a=9。b=5 当a=9。b=5时。满足a＞b. 故输出的a值为9。 故答案为：9

【点评】本题考查的知识点是程序框图。当循环次数不多.或有规律可循时。可采用模拟程序法进行解答． 7．（5分）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1.2.3。4。5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次。则出现向上的点数之和小于10的概率是．

【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．

【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1。2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.

基本事件总数为n=6×6=36.

出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10。 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有： (4。6）.（6。4）。（5。5）.（5.6）。（6.5).（6.6）。共6个。 ∴出现向上的点数之和小于10的概率： p=1﹣=．

. .

2

2

2

2

2

2

2

2

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法。是基础题。解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．

8．（5分)已知{an｝是等差数列。Sn是其前n项和。若a1+a2=﹣3。S5=10.则a9的值是 20 ． 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差。由此能求出a9的值．

2

【解答】解:∵{an}是等差数列.Sn是其前n项和。a1+a2=﹣3.S5=10. ∴。

解得a1=﹣4.d=3。 ∴a9=﹣4+8×3=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题。解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用． 9．（5分)定义在区间［0。3π］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 7 ． 【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0。3π］上的图象即可得到答案． 【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0。3π］上的图象如下: 由图可知.共7个交点． 故答案为:7． 【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0。3π］上的图象是关键.属于中档题．

10．(5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点。直线y=与椭圆交于B.C两点。且∠BFC=90°。则该椭圆的离心率是． 【分析】设右焦点F（c。0）。将y=代入椭圆方程求得B。C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值． 【解答】解：设右焦点F（c。0）. 将y=代入椭圆方程可得x=±a=±a. 可得B（﹣a.）。C（a.）。 由∠BFC=90°。可得kBF•kCF=﹣1. 即有•=﹣1。

化简为b=3a﹣4c。

22222

由b=a﹣c.即有3c=2a.

2

由e=。可得e==. 可得e=。 故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1。考查化简整理的运算能力。属于中档题． 11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间［﹣1.1)上。f(x）=。其中a∈R.若f（﹣）=f()。则f(5a）的值是 ﹣．

【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣)=f（）。可得a值.进而得到f（5a）的值． 【解答】解:f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间［﹣1.1)上.f(x）=. ∴f（﹣）=f(﹣）=﹣+a。 f（）=f（）=｜﹣｜=. ∴a=。

∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.

. .

2

2

2

2

故答案为：﹣

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用。函数的周期性。根据已知求出a值.是解答的关键．

12．(5分）已知实数x。y满足.则x+y的取值范围是 [。13］ ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域。利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域。

设z=x+y.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方。 由图象知A到原点的距离最大.

点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小。 由得。即A（2.3)。此时z=2+3=4+9=13. 点O到直线BC:2x+y﹣2=0的距离d==。

则z=d=（)=。

故z的取值范围是[.13]。 故答案为：[.13］． 【点评】本题主要考查线性规划的应用。涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键． 13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E。F是AD上的两个三等分点。•=4。•=﹣1.则•的值是．

【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3。=﹣+3.=+2。=﹣+2。结合已知求出=.=.可得答案． 【解答】解：∵D是BC的中点.E。F是AD上的两个三等分点。 ∴=+.=﹣+. =+3.=﹣+3。 ∴•=﹣=﹣1。

22

•=9﹣=4. 22

∴=.=.

又∵=+2。=﹣+2。

∴•=4﹣=。 故答案为：

【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．

14．(5分)在锐角三角形ABC中。若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是 8 ． 【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．

【解答】解：由sinA=sin（π﹣A)=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC. 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①

由三角形ABC为锐角三角形。则cosB＞0。cosC＞0。

在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC。 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣ ②. 则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC.

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣.

令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0。tanB＞0。tanC＞0。 由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1。 tanAtanBtanC=﹣=﹣。

=()﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.

因此tanAtanBtanC的最小值为8。

. .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2。

解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB。tanC互换).此时A.B.C均为锐角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性． 二、解答题（共6小题。满分90分) 15．（14分）在△ABC中。AC=6.cosB=.C=． （1）求AB的长;

（2）求cos（A﹣）的值． 【分析】（1)利用正弦定理.即可求AB的长；

（2)求出cosA、sinA。利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值． 【解答】解:（1)∵△ABC中.cosB=. ∴sinB=。 ∵。

∴AB==5；

(2）cosA=﹣cos(C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣． ∵A为三角形的内角. ∴sinA=.

∴cos（A﹣)=cosA+sinA=．

【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题． 16．（14分）如图。在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D。E分别为AB。BC的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证： (1）直线DE∥平面A1C1F; （2）平面B1DE⊥平面A1C1F． 【分析】（1）通过证明DE∥AC。进而DE∥A1C1。据此可得直线DE∥平面A1C1F1；

（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D。进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F． 【解答】解：(1）∵D。E分别为AB。BC的中点。 ∴DE为△ABC的中位线. ∴DE∥AC.

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱. ∴AC∥A1C1。 ∴DE∥A1C1.

∵A1C1⊂平面A1C1F。且DE⊄平面A1C1F。 ∴DE∥A1C1F；

（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱. ∴AA1⊥平面A1B1C1. ∴AA1⊥A1C1.

又∵A1C1⊥A1B1。且AA1∩A1B1=A1。AA1、A1B1⊂平面AA1B1B。 ∴A1C1⊥平面AA1B1B. ∵DE∥A1C1。

∴DE⊥平面AA1B1B. 又∵A1F⊂平面AA1B1B。 ∴DE⊥A1F.

又∵A1F⊥B1D。DE∩B1D=D。且DE、B1D⊂平面B1DE. ∴A1F⊥平面B1DE. 又∵A1F⊂平面A1C1F.

. .

∴平面B1DE⊥平面A1C1F．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明。以及平面与平面相互垂直的证明。把握常用方法最关键。难度不大．

17．（14分)现需要设计一个仓库。它由上下两部分组成。上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1。下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）。并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？ 【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍。可得PO1=2m时。O1O=8m。进而可得仓库的容积；

（2）设PO1=xm.则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=•m。代入体积公式.求出容积的表达式。利用导数法.可得最大值．

【解答】解:(1）∵PO1=2m。正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． ∴O1O=8m。

223

∴仓库的容积V=×6×2+6×8=312m。 （2）若正四棱锥的侧棱长为6m。

设PO1=xm。

则O1O=4xm.A1O1=m。A1B1=•m.

223

则仓库的容积V=×（•）•x+(•）•4x=x+312x。（0＜x＜6)。

2

∴V′=﹣26x+312.（0＜x＜6）。

当0＜x＜2时.V′＞0。V（x）单调递增； 当2＜x＜6时.V′＜0。V（x）单调递减； 故当x=2时。V(x)取最大值；

即当PO1=2m时。仓库的容积最大．

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积。导数法求函数的最大值.难度中档． 18．（16分）如图。在平面直角坐标系xOy中。已知以M为圆心的圆M:x+y﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2。4）．

（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程; (3）设点T（t。0）满足:存在圆M上的两点P和Q.使得+=。求实数t的取值范围． 【分析】(1）设N（6.n)。则圆N为：（x﹣6)+（y﹣n）=n.n＞0。从而得到|7﹣n｜=|n｜+5。由此能求出圆N的标准方程．

（2)由题意得OA=2.kOA=2.设l：y=2x+b。则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．

（3)=。即｜|=.又｜|≤10。得t∈［2﹣2.2+2］。对于任意t∈[2﹣2。2+2]。欲使.只需要作直线TA的平行线。使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围． 【解答】解：（1）∵N在直线x=6上。∴设N(6。n)。 ∵圆N与x轴相切。∴圆N为：（x﹣6）+（y﹣n)=n。n＞0。

2222

又圆N与圆M外切。圆M：x+y﹣12x﹣14y+60=0。即圆M：（（x﹣6）+（x﹣7）=25。 ∴|7﹣n|=|n｜+5.解得n=1。

∴圆N的标准方程为（x﹣6）+（y﹣1)=1． (2)由题意得OA=2.kOA=2.设l：y=2x+b. 则圆心M到直线l的距离：d==. 则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.

. .

2

22

2

2

2

2

2

2

2

解得b=5或b=﹣15。

∴直线l的方程为:y=2x+5或y=2x﹣15． （3）=。即。即|｜=|｜. |｜=。

又｜｜≤10。即≤10.解得t∈［2﹣2。2+2]。 对于任意t∈［2﹣2.2+2].欲使. 此时。｜|≤10。

只需要作直线TA的平行线。使圆心到直线的距离为。 必然与圆交于P、Q两点。此时｜｜=|｜。即. 因此实数t的取值范围为t∈［2﹣2。2+2].． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法。考查实数的取值范围的求法。是中档题。解题时要认真审题。注意圆的性质的合理运用．

19．(16分）已知函数f（x）=a+b（a＞0.b＞0。a≠1。b≠1）． （1)设a=2.b=．

①求方程f（x)=2的根；

②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立。求实数m的最大值； (2）若0＜a＜1。b＞1.函数g（x）=f(x）﹣2有且只有1个零点.求ab的值． 【分析】（1)①利用方程。直接求解即可．②列出不等式。利用二次函数的性质以及函数的最值。转化求解即可．

（2）求出g（x）=f(x）﹣2=a+b﹣2.求出函数的导数.构造函数h（x)=+.求出g（x)的最小值为：g（x0)．同理①若g（x0)＜0。g(x）至少有两个零点.与条件矛盾．②若g（x0)＞0。利用函数g（x)=f（x）﹣2有且只有1个零点.推出g（x0)=0。然后求解ab=1．

xx

【解答】解：函数f（x）=a+b（a＞0。b＞0.a≠1.b≠1)． （1)设a=2.b=．

①方程f（x)=2；即：=2。可得x=0．

②不等式f(2x）≥mf（x)﹣6恒成立。即≥m（)﹣6恒成立． 令t=。t≥2．

不等式化为：t﹣mt+4≥0在t≥2时.恒成立．可得:△≤0或

2

即：m﹣16≤0或m≤4. ∴m∈(﹣∞.4]．

实数m的最大值为：4．

（2）g（x）=f（x）﹣2=a+b﹣2.

xxx

g′（x）=alna+blnb=a［+]lnb。 0＜a＜1.b＞1可得.

令h（x）=+。则h（x）是递增函数.而.lna＜0。lnb＞0。

因此.x0=时.h(x0）=0。

x

因此x∈(﹣∞.x0）时。h（x)＜0。alnb＞0。则g′(x）＜0．

x

x∈（x0。+∞）时.h（x）＞0。alnb＞0.则g′(x）＞0.

则g（x)在（﹣∞。x0）递减。(x0.+∞）递增。因此g（x）的最小值为：g（x0)．

xx

①若g（x0）＜0.x＜loga2时。a＞=2.b＞0.则g（x）＞0.

因此x1＜loga2.且x1＜x0时.g（x1）＞0.因此g（x）在(x1。x0）有零点。 则g（x)至少有两个零点。与条件矛盾．

②若g(x0)＞0.函数g（x)=f（x）﹣2有且只有1个零点.g（x）的最小值为g（x0）。可得g(x0）=0。

. .

x

x

2

x

xx

x

由g（0）=a+b﹣2=0。

因此x0=0。因此=0.﹣=1.即lna+lnb=0.ln（ab）=0。则ab=1． 可得ab=1．

【点评】本题考查函数与方程的综合应用.函数的导数的应用。基本不等式的应用。函数恒成立的应用.考查分析问题解决问题的能力．

20．（16分）记U=｛1。2。….100}.对数列｛an｝（n∈N)和U的子集T。若T=∅.定义ST=0；若T={t1.t2。….tk｝.定义ST=++…+．例如：T=｛1.3.66}时.ST=a1+a3+a66．现设｛an｝（n∈*

N）是公比为3的等比数列.且当T=｛2。4}时.ST=30． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T⊆{1。2.…。k}。求证:ST＜ak+1； (3）设C⊆U.D⊆U.SC≥SD.求证：SC+SC∩D≥2SD．

【分析】(1）根据题意。由ST的定义.分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30.计算可得a2=3.进而可得a1的值.由等比数列通项公式即可得答案;

2k﹣1

(2）根据题意.由ST的定义.分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+3+…+3.由等比数列的前n项和公式计算可得证明；

（3）设A=∁C（C∩D).B=∁D（C∩D）。则A∩B=∅。进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB。分2种情况进行讨论:①、若B=∅.②、若B≠∅.可以证明得到SA≥2SB.即可得证明． 【解答】解:（1)当T=｛2。4}时。ST=a2+a4=a2+9a2=30。 因此a2=3.从而a1==1。

n﹣1

故an=3.

2k﹣1k

（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+3+…+3=＜3=ak+1。 （3)设A=∁C（C∩D）.B=∁D（C∩D）。则A∩B=∅.

分析可得SC=SA+SC∩D。SD=SB+SC∩D。则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB。 因此原命题的等价于证明SC≥2SB. 由条件SC≥SD.可得SA≥SB.

①、若B=∅.则SB=0.故SA≥2SB。

②、若B≠∅。由SA≥SB可得A≠∅。设A中最大元素为l。B中最大元素为m. 若m≥l+1。则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾. 因为A∩B=∅。所以l≠m。则l≥m+1。

SB≤a1+a2+…am=1+3+3+…+3=≤=.即SA≥2SB. 综上所述。SA≥2SB. 故SC+SC∩D≥2SD．

【点评】本题考查数列的应用。涉及新定义的内容.解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题。请选定其中两小题。并在相应的答题区域内作答。若多做。则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】 21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC。D为垂足。E为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD． 【分析】依题意。知∠BDC=90°.∠EDC=∠C。利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°。可得∠ABD=∠C。从而可证得结论．

【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°. 因为E为BC的中点.所以DE=CE=BC. 则：∠EDC=∠C。

. .

2

m﹣1

*

00

由∠BDC=90°。可得∠C+∠DBC=90°。 由∠ABC=90°.可得∠ABD+∠DBC=90°. 因此∠ABD=∠C。而∠EDC=∠C. 所以.∠EDC=∠ABD．

【点评】本题考查三角形的性质应用.利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°。证得∠ABD=∠C是关键.属于中档题． B。【选修4—2:矩阵与变换】 22．（10分）已知矩阵A=。矩阵B的逆矩阵B=。求矩阵AB．

﹣1﹣1

【分析】依题意.利用矩阵变换求得B=（B）==。再利用矩阵乘法的性质可求得答案．

﹣1

【解答】解：∵B=。

﹣1﹣1

∴B=（B）==。又A=. ∴AB==．

【点评】本题考查逆变换与逆矩阵。考查矩阵乘法的性质。属于中档题． C.【选修4—4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系xOy中。已知直线l的参数方程为(t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）。设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．

【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程。然后联立方程组。求出直线与椭圆的交点坐标。代入两点间的距离公式求得答案． 【解答】解：由。由②得. 代入①并整理得.． 由.得.

两式平方相加得． 联立.解得或． ∴｜AB|=．

【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程。考查了参数方程化普通方程。考查直线与椭圆位置关系的应用.是基础题．

24．设a＞0.|x﹣1｜＜。|y﹣2｜＜.求证：｜2x+y﹣4|＜a． 【分析】运用绝对值不等式的性质:｜a+b｜≤|a｜+|b|.结合不等式的基本性质。即可得证． 【解答】证明：由a＞0.｜x﹣1|＜.|y﹣2|＜. 可得｜2x+y﹣4｜=|2（x﹣1)+（y﹣2）｜ ≤2|x﹣1|+｜y﹣2|＜+=a。 则|2x+y﹣4｜＜a成立． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明.注意运用绝对值不等式的性质.以及不等式的简单性质.考查运算能力。属于基础题． 附加题【必做题】

25．(10分)如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l:x﹣y﹣2=0。抛物线C：y=2px（p＞0)．

(1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；

（2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q． ①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）； ②求p的取值范围．

【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标。然后求解抛物线方程．

2

﹣1

. .

(2）:①设点P（x1.y1）.Q（x2。y2）。通过抛物线方程.求解kPQ.通过P.Q关于直线l对称。点的kPQ=﹣1.推出.PQ的中点在直线l上。推出=2﹣p。即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p。﹣p）;

②利用线段PQ中点坐标（2﹣p。﹣p）．推出。得到关于y+2py+4p﹣4p=0.有两个不相等的实数根。列出不等式即可求出p的范围． 【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0。∴l与x轴的交点坐标(2.0)。 即抛物线的焦点坐标（2.0）． ∴。

∴抛物线C：y=8x．

(2）证明:①设点P（x1.y1）.Q（x2.y2）。则:. 即：.kPQ==。

又∵P.Q关于直线l对称.∴kPQ=﹣1.即y1+y2=﹣2p.∴. 又PQ的中点在直线l上。∴==2﹣p。 ∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p。﹣p）； ②因为Q中点坐标（2﹣p.﹣p）． ∴.即

∴.即关于y+2py+4p﹣4p=0。有两个不相等的实数根.

22

∴△＞0.(2p）﹣4（4p﹣4p）＞0。 ∴p∈． 【点评】本题考查抛物线方程的求法.直线与抛物线的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力． 26．（10分）（1）求7C﹣4C的值； (2）设m.n∈N.n≥m。求证：（m+1)C+（m+2）C+(m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C． 【分析】(1）由已知直接利用组合公式能求出7的值．

(2)对任意m∈N.当n=m时。验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立.推导出当n=k+1时。命题也成立。由此利用数学归纳法能证明（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1)C=（m+1）C．

【解答】解:（1）7 =﹣4×

=7×20﹣4×35=0．

证明：（2）对任意m∈N。

①当n=m时.左边=（m+1）=m+1. 右边=（m+1)=m+1.等式成立． ②假设n=k（k≥m)时命题成立.

即（m+1）C+(m+2）C+（m+3）C+…+k+（k+1）=（m+1）. 当n=k+1时。

左边=(m+1）+（m+2）+（m+3）++（k+1）+(k+2） =. 右边= ∵

=(m+1)[﹣］

=（m+1）×［k+3﹣（k﹣m+1)] =(k+2） =(k+2）.

. .

*

＊*2

2

2

2

2

∴=（m+1）. ∴左边=右边。

∴n=k+1时。命题也成立。

∴m.n∈N.n≥m.(m+1）C+（m+2）C+（m+3)C+…+nC+（n+1)C=（m+1）C． 【点评】本题考查组合数的计算与证明。是中档题.解题时要认真审题.注意组合数公式和数*

学归纳法的合理运用．

. .