五年级 第3讲 因数与倍数(教师版)【修订版1.0】

第3讲 因数与倍数

一、教学目标

1.掌握因数与倍数的概念．

2.掌握求一个数因数与倍数的方法．

3.学会用因数与倍数解决实际应用题．

二、知识要点

1.因数与倍数：

在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数（约数）．

例如：12÷2=6，我们说12是2的倍数，2是12的因数；同时12÷6=2，所以12也是6的倍数，同样的，6也是12的因数．综上所述，12是6和2的倍数，6和2是12的因数．

注意：

①倍数、因数存在的前提是“整除”，整除必须符合三个必备条件，整除不同于除尽．

②倍数和因数相互依存，不可能存在和出现．

2.求任一整数的因数：

方法一：找一个数的因数，就用1开始去除这个数，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同．然后找出等号左右两边的数，这些数就是要找的这个数的因数，因数重复时，只写一次．

例如：我们来找的因数，直接用去除以1、2、3、4、5……，因为不是3、5、6、7的倍数，3、5、6、7就不需要计算．现在看，÷1=、÷2=32、÷4=16，接着，÷8=8，在这些算式中就可以找出的所有因数，的因数有1，，2，32，4，16，8．（也就是等号左右两边的数）

方法二：先将所给的数分解质因数，将质因数进行组合求积，所得到的不重复的数再加上1和它本身，就是该数的因数．

例如：90=2×5×3×3 ，有：1、2、 3 、5、2×3=6、3×3=9、2×5=10、5×3=15、2×3×3=18、2×5×3=30、5×3×3=45、2×5×3×3=90．所以90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90.

3.求任一整数因数的个数：

一个整数因数的个数是先对其严格分解质因数，再将每个质因数的指数(次数)加1后，相乘所得的积．

如：1400严格分解质因数之后为23×2=24个．(包括1和1400本身)

3527，所以它的因数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×

4.求任一整数的所有因数的和：

一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和．

如：21000233537，所以21000所有因数的和为

(122223)(13)(155253)(17)74880

三、例题精选

【例1】 120的因数有多少个？这些因数分别是多少？

【★☆☆☆☆】

【解析】16个．

将120分解质因数：360=2×2×2×3×5=2335．

因数个数应为：（3+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）

因数分别是：1、120、2、60、3、40、4、30、5、24、6、20、8、15、10、12．

【巩固1】60的因数有多少个？它们分别是多少？

【★☆☆☆☆】

【解析】12 个．

将60分解质因数：60=2×2×3×5=2235．

因数个数应为：（2+1）×（1+1）×（1+1）=12（个）

因数分别是：1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10．

【例2】 123456787654321第二大的因数是多少？

【★★☆☆☆】

【解析】4115226329218107．

因为这是奇数，不能被2整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除．

这个数各位上的数全部相加等于81，这个数能被3整除，

所以3是这个数除了1以外的最小因数，那么除了这个数本身的最大因数就是这个数除以3的商．

即这个数是：123456787654321÷3=4115226329218107．

【巩固2】20182018第二大的因数是多少？

【★★☆☆☆】

【解析】10091009．

20182018=2×73×137×1009

20182018第一大的因数是：

20182018．

20182018第二大的因数是：

10091009．

【例3】 把一个自然数的所有因数都写出来，然后将这些因数两两相加，就可以得到若

干个不同的和．其中最小的和是4，最大的和是140．那么，这个自然数是多少？

【★★★☆☆】

【解析】 105．

自然数的最小因数都是1，最大因数是它本身，故可知第二小的因数为：4-1=3．相应地，A的第二大因数应为A÷3，再由两个因数最大的和是140得：140÷（1+3）×3=105．

【巩固3】一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为11．那么此数是多少？

【★★★☆☆】

【解析】63．

自然数的最小因数都是1，则另两个因数和应为：11-1=10，又10=2+8=3+7=4+6=5+5，因为因数个数为偶数，排除5+5；如果是2和8的倍数，则一定还有因数4，排除；如果是4、6的倍数一定也是2的倍数，排除；故只剩1、3、7作为最小的三个因数．6=2×3=（1+1）×（2+1），则可知有质因数3和7，其中一个次数为1，另一个次数为2，得：3×72=147（舍去），32×7=63．故此数为63．

【例4】 如图，A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，当A转4圈时，B恰好转3圈：当

B转4圈时，C恰好转5圈，则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？

【★★★☆☆】

【解析】15、20、16．

当A转4圈时B转3圈，可知A的齿轮数乘4等于B的齿轮数乘3，假设A有的齿轮数为3份，则B的齿轮数为4份．同理，假设B的齿轮数5份时，C的齿轮数为4份，因为B的齿轮数可以分成4份也可以分成5份，所以B的齿轮数一定是4和5的公倍数，可想到4×5=20，并且验证得20是4和5最小的公倍数．而当B的齿轮数为20时，A的齿轮数为15，C的齿轮数为16．故A、B、C齿轮数最小分别是：15、20、16．

【巩固4】如例4图，A、B、C是三个顺次咬合的齿轮，当A转3圈时，B恰好转2圈；

当B转3圈时，C恰好转4圈．则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？

【★★★☆☆】

【解析】8、12、9．

当A转3圈时B转2圈，可知A的齿轮数乘3等于B的齿轮数乘2，假设A有的齿轮数为2份，则B的齿轮数为3份．同理，假设B的齿轮数4份时，C的齿轮数为3份，因为B的齿轮数可以分成3份也可以分成4份，所以B的齿轮数一定是3和4的公倍数，可想到3×4=12，并且验证得12是3和4最小的公倍数．而当B的齿轮数为12时，A的齿轮数为8，C的齿轮数为9．故A、B、C齿轮数最小分别是：8、12、9．

【例5】 已知偶数A不是4的整数倍，它的因数的个数为12，4A的因数有几个？

【★★★☆☆】

【解析】24个．

1由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有一个因子2，可将A分解成A2B，其

中B是奇数，根据因数个数公式，它的因数个数为：（1+1）×N=12，解得N=6。其中N为B的因数个数，则4A8B=23B，它的因数个数应为（1+3）×N=24（个）．

【巩固5】A为一位质数，问AAAAAA最多有多少个因数？

【★★★☆☆】

【解析】个．

AAAAAAAAA1001A1111001A(337)(71113)

2①若A=3或7（与现有数重复），AAAAAA37111337或

2 37111337

因数个数为（2+1）×2×2×2×2=48（个）

②若A=2或5（不与现有数重复），AAAAAA237111337或

357111337

得到的因数个数为：2×2×2×2×2×2=（个）

综上，最多有个．

【例6】 一个正整数，它的5倍的因数恰好比它自己的因数多5个，并且它的因数中有

7和一个5，这个数是多少？

【★★★★☆】

【解析】12005．

由题这个数的因数个数一定是偶数个，那么它的5倍的数的因数的个数多5个，则它的5倍的数的因数的个数一定是奇数个，可得：它的5倍的数是完全平方数，所这个数的因数

mn7一定至少有2个，又因A57k，

2×5=10，即（1+1）×（4+1）=10，

4所以m=1，n=4，k=1，则A5712005，

通过检验可得A=5×7=12005，（因数的个数是10个）；

45a=52×74=60025，（因数的个数是15），符合要求；

答：这个正整数是12005．

【巩固6】一个奇数恰有6个因数，请问这个数最小是多少？

【★★★★☆】

【解析】45．

6=2×3=（1+1）×（2+1），此时最小值为32×5=45。

6=（5+1），此时最小值为35=243．

综上，这个偶数最小是243．

四、回家作业

【作业1】36的因数有多少个？它们分别是多少？

【★☆☆☆☆】

【解析】9个．

将36分解质因数：360=2×2×3×3=2232．

因数个数应为：（2+1）×（2+1）=9（个）

因数分别是：1、36、2、18、3、12、4、9、6．

【作业2】12345654321第二大的因数是多少？

【★★☆☆☆】

【解析】4115218107．

12345654321=3×3×13×13×37×37×5929

12345654321第一大的因数是：

12345654321．

12345654321第二大的因数是：

4115218107．

【作业3】一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为10，这个数是多少？

【★★★☆☆】

【解析】98．

自然数的最小因数都是1，则另两个因数和应为：10-1=9，由于9是奇数，所以两个约数的奇偶性一定是相反的。其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶因数它一定是2的倍数，即2是它的因数，所以2是第二小的因数，可得第三小的因数为7．6=2×3=（1+1）×（2+1），则可知有一个因数（除1外）次数为2，又1、2、7作为最小的三个因数，故因数7的次数应为2，则知这个数为：1×2×7×7=98．

【作业4】有大、中、小3个齿轮互相咬合在一起，若A转动8圈时，B转动5圈，B转

动6圈时带动C转动4圈．如果A有120个齿，则B有和C各有几个齿？

【★★★☆☆】

【解析】5、8、12．

当A转8圈时B转5圈，可知A的齿轮数乘8等于B的齿轮数乘5，假设A有的齿轮数为5份，则B的齿轮数为8份．同理，假设B的齿轮数4份时，C的齿轮数为6份，因为B的齿轮数可以分成8份也可以分成4份，所以B的齿轮数一定是8和4的公倍数，其中8刚好是4的倍数．而当B的齿轮数为8时，A的齿轮数为5，C的齿轮数为12．故A、B、C齿轮数最小分别是：5、8、12．

【作业5】A为一位质数，问AAA最多有多少个因数？

【★★★☆☆】

【解析】8个．

AAAA111A(337)

2AAA337 若A=3，则

因数个数为（2+1）×（1+1）=6（个）。

若A≠3（即为2或5或7），则AAAA337

因数个数为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）。

所以最多可以得到的因数个数为：8个。

此时A=2或5或7．

【作业6】一个偶数恰有4个因数，请问:这个偶数最小是多少？

【★★★☆☆】

【解析】 6．

4=2×2=（1+1）×（1+1），此时最小值为2×3=6。

4=（3+1），此时最小值为23=8．

综上，这个偶数最小是6．