人教版数学八年级上册期中考试试题及答案解析

数学试卷

一、选择题：本大题共16小题，1-10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列说法正确的是（ ）

A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等

3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）

A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF

4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A．3cm，4cm，8cm C．5cm，5cm，11cm

B．8cm，7cm，15cm D．13cm，12cm，20cm

5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）

A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°

6．若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）

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A．40° B．45° C．50° D．60°

8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你

根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

9． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）

A．15 B．30 C．45 D．60

10．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）

A．4 B．3 C．6 D．5

11． 在△ABC中，∠B、∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC

一定是（ ）

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A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形

12． 如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（ ）

A．105° B．120° C．115° D．135°

13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）

A．48° B．36° C．30° D．24°

14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

15． 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和

射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）

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A．25° B．30° C．35° D．40°

16． 已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的

若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（ ）

A．24对

二、填空题：本大题共3小题，共10分，17-18题各3分，19题4分，把答案写在题中横线上．

17．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是 ．

B．28对

C．36对

D．72对

18．一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码 ．

19．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB=1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以BC=2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以CD=4为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以DE=8为边长画正三角形，记为第

4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为 ．

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三、解答题：本大题共7小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．

（1）△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△A1O1B1；

（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是 ．

21．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范围；

（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．

22．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC． （1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．

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23．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案． （1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

24． 先阅读下面的材料，然后解答问题：

已知：如图1等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．

求证：AC=AB+BD．

证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”．

解决问题：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平AB、分线，交BC边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

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25． 已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°． （2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 ，∠APB的大小为 （直接写出结果，不证明）

26． 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重

合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

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参与试题解析

一、选择题：本大题共16小题，1-10题，每题3分，11-16题，每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．

2．下列说法正确的是（ ）

A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【考点】全等图形．

【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．

【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大

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小也相同的两个三角形全等；

B、面积相等的两个三角形全等，说法错误； C、完全重合的两个三角形全等，说法正确； D、所有的等边三角形全等，说法错误； 故选：C．

3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）

A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案． 【解答】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，

∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选D．

4．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ） A．3cm，4cm，8cm C．5cm，5cm，11cm

B．8cm，7cm，15cm D．13cm，12cm，20cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．

【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意； B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意； C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；

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D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意． 故选D．

5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）

A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论． 【解答】解：∵四边形的内角和等于a， ∴a=（4﹣2）•180°=360°． ∵五边形的外角和等于b， ∴b=360°， ∴a=b． 故选B．

6．若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．

【解答】解：点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，得 a﹣2=1，b+5=3． 解得a=3，b=﹣2．

则点C（a，b）在第四象限， 故选：D．

7．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）

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A．40° B．45° C．50° D．60° 【考点】多边形内角与外角．

【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论． 【解答】解：延长BC交OD与点M，如图所示．

∵多边形的外角和为360°，

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°． ∵四边形的内角和为360°，

∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°， ∴∠BOD=40°． 故选A．

8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你

根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据作图过程，O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．

【解答】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD， ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）． 故选D．

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9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）

A．15 B．30 C．45 D．60 【考点】角平分线的性质．

【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又∵∠C=90°， ∴DE=CD，

∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30． 故选B．

10．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）

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A．4 B．3 C．6 D．5

【考点】角平分线的性质．

【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2，

∴S△ABC=×4×2+AC×2=7， 解得AC=3． 故选：B．

11．在△ABC中，∠B、∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【考点】等腰三角形的判定．

【分析】先根据角平分线的性质判断出AD是△ABC的角平分线，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，从而证明△ABC一定是等腰三角形． 【解答】解：

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∵∠ABC与∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB=AC，

∴△ABC一定是等腰三角形． 故选D．

12．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=（ ）

A．105° B．120° C．115° D．135° 【考点】全等图形．

【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案． 【解答】解：∵在△ABC和△AEF中，∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠4=∠3， ∵∠1+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°，

∵AD=MD，∠ADM=90°， ∴∠2=45°，

∴∠1+∠2+∠3=135°， 故选：D．

，

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13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）

A．48° B．36° C．30° D．24° 【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCE=24°，然后可算出∠ABC的度数． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°， ∵∠ACF=48°，

∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=∠FBC， ∴∠ABC=2∠FCE， ∵∠ACF=48°，

∴3∠FCE=120°﹣48°=72°， ∴∠FCE=24°， ∴∠ABC=48°， 故选：A．

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14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】全等三角形的判定．

【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断． 【解答】解：在△ABD与△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故①正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中，

，

∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故②正确；

四边形ABCD的面积=故③正确； 故选D．

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=AC•BD，

15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40° 【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．

【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B．

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16．已知AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，D、E、F…为∠BAC的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（ ）

A．24对 B．28对 C．36对 D．72对

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有

个全等三角形即可．

【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； …

当有n个点时，图中有

个全等三角形．

=36（对）．

则有8个点，即第8个图形中有全等三角形：故选：C．

二、填空题：本大题共3小题，共10分，17-18题各3分，19题4分，把答案

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写在题中横线上．

17．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是 三角形的稳定性 ．

【考点】三角形的稳定性．

【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．

【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，两条拉线与地面就构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案是：三角形的稳定性．

18．一个汽车牌在水中的倒影为【考点】镜面对称．

【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【解答】解：

，则该车牌照号码 M17936 ．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ M 1 7 9 3 6 ∴该车的牌照号码是M17936． 故答案为：M17936．

19．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB=1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以BC=2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以CD=4为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以DE=8为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为 ×22n﹣4 ．

第 19 页 共 28 页

【考点】等边三角形的性质．

【分析】先根据第1个正三角形的边长为1，第2个正三角形的边长为2，第3个正三角形的边长为4，第4个正三角形的边长为8，得出第n个正三角形的边长为2n﹣1，再根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵第1个正三角形的边长为1，1=20， 第2个正三角形的边长为2，2=21， 第3个正三角形的边长为4，4=22， 第4个正三角形的边长为8，8=23， ∴第n个正三角形的边长为2n﹣1，

∴第n个正三角形的面积为：×2n﹣1×（2n﹣1×故答案为

三、解答题：本大题共7小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．

（1）△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△A1O1B1；

（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是 （x+3，﹣y） ．

×22n﹣4．

）=

×22n﹣4．

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【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；

（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变． 【解答】解：（1）如图所示：

（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（x+3，﹣y）． 故答案为：（x+3，﹣y）．

21．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5， （1）求CD的取值范围；

（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．

【考点】三角形三边关系；平行线的性质．

【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；

（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5， ∴1＜DC＜9；

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（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=55°， 又∵∠A=55°， ∴∠C=70°．

22．如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC． （1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS即可证明．

（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明． 【解答】（1）证明：∵BF=CE， ∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）结论：AB∥DE，AC∥DF． 理由：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF．

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23．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案． （1）画出测量图案；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．

【考点】全等三角形的应用．

【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的． 【解答】解：（1）见图：

（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；

（3）设DC=m

∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴AB=CD=m．

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24．先阅读下面的材料，然后解答问题：

已知：如图1等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．

求证：AC=AB+BD．

证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）

∴∠AED=∠B=90°，DE=DB

又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE=EC．

∴AC=AE+EC=AB+BD．

我们将这种证明一条线段等于另两线段和的方法称为“截长法”．

解决问题：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平AB、分线，交BC边的延长线于点D，如图2”，其他条件不变，请你猜想线段AC、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．

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【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】根据Rt△ADB≌Rt△ADE（SAS）可得出∴∠AED=∠ABD=90°，AB=AE，DB=DE，由等腰直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：如图2，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．

则由已知条件易知：△ADB≌△ADE（SAS）． ∴∠AED=∠ABD=90°，AB=AE，DB=DE， 又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形． ∴DE=EC．

∴DB=AE+AC=AB+AC．

25．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°． （2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 AC=BD ，∠APB的大小为 α （直接写出结果，不证明）

【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

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【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC=∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC=BD．

②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC=∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB=60°．

（2）由（1）小题的证明可知，AC=BD，∠APB=α． 【解答】解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， ∴∠AOC=∠BOD． 在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD；

②证明：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD，

∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB， ∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB， ∴∠APB=60°；

（2）AC=BD，∠APB=α．

26．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；

（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

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【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；

（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；

（3）与（2）的方法相同．

【解答】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°， ∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=50°．

在△ACE中∠AEC=80°，

在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．

（2）∠EFD=（∠C﹣∠B） 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C） ∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）

=90°﹣（∠C+∠B）

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∴∠EFD=（∠C﹣∠B）

（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）． 如图，

∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=

．

∵∠DEF为△ABE的外角， ∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°．

∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C） ∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．

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