数学论文

函数项级数一致收敛的判别方法是数学中的一个重点也是一个难点，一个函数项级数是收敛还是发散，数学上建立了一系列的判别法可以来进行判别。我们比较熟悉的判别法有：柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳（Abel）判别法、狄利克雷（Dirichlet）判别法、积分判别法、还有更精细的狄尼（Dini）定理、确界判别法、数列判别法等等。这些判别法虽然对我们研究函数项级数一致收敛的问题上带来了很大的方便，但是对于更深层次的研究函数项级数一致收敛仍然是不够的，因此函数项级数判别法推广的研究也是研究函数可微性至关重要的一部分。

本文将分为三部分研究：第一部分主要介绍函数项级数一致收敛的相关概念；第二部分介绍柯西（Cauchy）一致收敛准则、魏尔斯特拉斯判别法（M判别法）、阿贝耳（Abel）判别法、狄利克雷（Dirichlet）判别法、积分判别法的定理及相应的详细证明，最后给出典型例题对这几种判别法的简单应用，有简单介绍了狄尼（Dini）定理、确界判别法的定理；第三部分就是简单介绍以上几种判别法的相应的推广，主要包括判别法推广的定理、定理的证明及在解题中的应用。

关键词：函数项级数；一致收敛；判别及推广

2、函数项级数一致收敛的判别法

2、1预备知识 设

Un(x)是定义在数集E上的一个函数列。表达式

（1） U1(x)U2(x)Un(x),xE，

成为定义在E上的函数项级数，简记为

Un1n（x）或

U（x）, 则称

n

Sn（x）=

Uk1， k（x）

xE,n1,2,

为函数项级数（1）的部分和函数列。

定义1 设{ Sn（x）} 是函数项级数 S（x），则称函数项级数

Un（x）的部分和函数列。若{ Sn（x）}在数集

D上一致收敛于函数D上一致收敛。

Un（x）在

D上一致收敛于函数S（x），或称

Un（x）在

由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和来确定的，所以由前段中有关函数列一致收敛的定理都可推出相应的有关函数项

级数的定理。

2、2

函数项级数的柯西判别法

定理 2、2 （一致收敛的柯西准则） 函数项级数

存在某正整数N，使得当n 或

U(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总

nN时，对一切xD和一切正整数p，都有

| Snp (x)- Sn(x)|  

Un1(x)Un2(x)Unp(x)此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件。

2、3 函数项级数的M判别法

定理 2、3 （魏尔斯特拉斯判别法） 设函数项级数

切

Un(x)定义在数集D上，Mn 为收敛的数项级数，若对一

xD，有

|

则函数项级数

Un(x)| ≤ Mn

，

n=1,2，„ （2）

Un（x）在

D上一致收敛。

ε，存在某正整数N，使得当n>N及对任何正整数p，有

证 假设正项级数

又由（2）对一切

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数

Mn收敛，根据数项级数的柯西准则，任给整数

Mn1MnpMn1Mnp

xD有

，

Un1(x)Unp(x)Un1(x)Unp(x)Mn1MnpUn（x）在D上一致收敛。

例2、1 函数项级数

sinnxn2sinnxn2 ，

cosnxn2cosnxn2

在（-∞，∞）上一致收敛，因为对一切 x є（-∞，∞）有

|

而正项级数

| ≤

1n2 ， || ≤

1n2

1n2

是收敛的。

定理2也称为M判别法或优级数列判别法。

下面讨论定义在区间I上

un(x)vn(x) =u1(x)v1(x)u2(x)v2(x)un(x)vn(x) （3）

的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝耳分部求和公式。

2、4 函数项级数的阿贝耳判别法

定理 2、4 （1）

（2）对于每一个

（3）

Un（x）在区间

I上一致收敛;

xI,un(x)是单调的；

vn(x)在I上一致有界，即对一切xI和正整数n，存在正数M，使得vn(x)M。

0，存在某正数N，使得当n证明 由（1），任给 有

N即对任意正整数p，对一切xI，

un1(x)unp(x)

又由（2），（3）及阿贝耳引理得到

un1(x)vn1(x)unp(x)vnp(x)vn1(x)2vnp(x)3M。

2、5 函数项级数的狄利克雷判别法 定理 2、5 设 （1）

（2）对于每一个

（3）在I上vn(x)u(x)的部分和函数Unn(x)uk(x)(n1,2,)在Ik1n上一致有界；

xI,vn(x)是单调的；

0(n)，则（3）在I上收敛。

证明 证法与定理2相仿。由（1），存在正数M，对一切xI，有

对于任何一个

un(x)M。因此当n,p为任数时，

。

un1(x)un2(x)unp(x)Unp(x)Unp1(x)Un(x)2MxI，再由（2）及阿贝耳引理，得到

un1(x)vn1(x)un2(x)vn2(x)unp(x)vnp(x)2Mvn1(x)2vnp(x)

由（3），对任给的所以

0,正数N，当nN时，对一切xI，有vn(x)

un1(x)vn1(x)un2(x)vn2(x)unp(x)vnp(x)2M26M。

于是由一致收敛的柯西准则，级数（3）在I上一致收敛。

例2、2

(1)n(xn)n函数项级数nn1(1)nx在0,1上一致收敛，因为记 un(x),vn(x)1nnn

由阿贝耳判别法（定理3）就能得到结果。

例2、3 若数列

an单调且收敛于零，则级数ancosnx在0a上一致收敛。

证明 在

,2上有

1sinnn11112coskx， x2x2k12sin2sin2sin222 所以级数

cosnx的部分和函数列在,2上一致有界，于是令

un(x)cosnx,vn(x)n，

,2上一致收敛。

对于例2、3中的级数（4），只要an单调且收敛于零，那么级数（4）在不包含2kk0,1,2,的

则由狄利克雷判别法可得级数（4）在

任何闭区间上都一致收敛。

2、6 函数项级数的柯西积分判别法

正项级数积分判别法的回顾：

定理 2、6、1 设

f为

1,上的非负减函数，那么正项级数f(n)与反常积分1的敛散性。

 f(x)dx同时收敛同时发散。

例2、4 讨论级数

解 首先研究反常积分

1p2n(lnn)2d(lnx)21dxdu, ppp2ln2x(lnx)ulnx当

p1时收敛，当p1时发散。根据定理2、5、1知级数1pn2n(lnn)在

p1时收敛，当p1时发散。

由此可见，以定理2、5、1为依据，利用积分的便利条件可以判断某些正项级数的敛散性。

函数项级数一致收敛的积分判别法

仿照定理2、5、1我们可以给出函数项级数一致收敛的积分判别法如下：

定理2、6、2 设

fx,y为区域Rx,yaxb,1y上的非负函数。如果fx,y在区间

1,上关于y为单调减函数，那么函数项级数f(x,n)与含参变量反常积分1n1f(x,y)dy在区间a,b上具有相

同的一致性。

为了证明定理6我们首先给出文献[1]中的以下两个定理：

定理2、6、3 （函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数定的正数

u(x)在数集D上一致收敛的充要条件：对任意给

nn1，总存在某一实数Mc，使得当A1,A2M时，对一切xD和一切正整数p，都有

un(x)un1(x)unp(x)。

定理2、6、4 （含参量反常积分一致收敛的柯西准则）含参量反常积分充要条件：对任意给定的正数，总存在某一正数都有

，总存在某一实数Mc，使得当A1,A2M时，对一切xa,b，

1f(x,y)dy在区间a,b上一致收敛的

A2A1f(x,y)dy

定理2、6、2 的证明

由假设

f(x,y)为区域R(x,y)axb,1y上的非负函数，并且f(x,y)关于y为1,上的减

函数，对区间

a,b上任意固定的x以及任意n2的自然数，我们有

f(x,n)nn1

f(x,y)dyf(x,n1)。 （1）

（1）若含参量反常积分

1f(x,y)dy在区间a,b上一致收敛，则由定理2可得，对任意给定的正数，总存在某一

p实数M1，使得当nM1时，对一切xa,b和一切正整数p，都有1f(x,y)dy。

由定理2、6、2可知：函数项级数

f(x,n)在区间a,b上一致收敛。

n1（2）若函数项级数当nf(x,n)在区间a,b上一致收敛，由定理7可得：对任意给定的正数，总存在某一正数N，使得

n1N时，对一切xD和一切正整数p，都有

f(x,n)f(x,n1)f(x,np)

而对任意

A1,A2N，令n0A11,n0pA21（这样的正整数n0和p总是存在的），由（1），对一切

xa,b有

A2A1f(x,y)dynopn0f(x,y)dyf(x,n0)f(x,n01)f(x,n0p)

含参量反常积分

1f(x,y)dy在区间a,b上一致收敛。

1ln(1x2y2)，证明含参量积分f(x,y)dy在0,1上一致收敛。

1y例2、5 设

f(x,y)证明 令

un(x)1ln(1n2x2),n1,2,，易见，对每个n,un(x)3n为

0,1上的增函数，固有

un(x)u1(x)12ln(1n),n1,2,又当t1时，不等式ln(1n2)t，所以 3nun(x)112ln(1n),n1,2, n3n2

以收敛级数

1n2为un(x)的优级数，推得

(x,y)R(x,y)0x1,1y,有

u(x)在0,1上一致收敛。另外，对任意

n

f(x,y)122ln(1xy)0。 3y并且对任意固定的

0,1上一致收敛。

即f(x,y)在区间因此含参量积分1,上的减函数，x0,1,fy(x,y)0，

1f(x,y)dy在

2、7 函数项级数的其他判别法

另外，在解决函数项级数一致收敛时我们还会用到其他一些判别法，比如：

（1）余部准则

定理2、7、1 设要条件是

nlimfn(x)f(x),xE,Mnsupfn(x)f(x).fn(x)f(x),xE的充

xE

nlimMnlimsupfn(x)f(x)0. （5）

nxE证明 必要性 已知

fn(x)一致收敛于

f(x)，由定义，

0,NN 当

nN时有

fn(x)f(x),xE 根据上确界定义，便有supfn(x)f(x)即（5）式成立。

xE 充分性 由条件（1），0,NN 当nN supfn(x)f(x)，

xE因而有

fn(x)f(x)supfn(x)f(x),xE

xE由于这里的N只与

有关，因此fn(x)一致收敛于f(x)。

定理2、7、2 设

f(x)limS(x)S(x),xE, R(x)S(x)S(x)fnn1nnnnkn1nxEk(x)，

那么，

fn1n(x)在E上一致收敛于S(x)的充要条件是limsupRn(x)0.

习惯上把定理2、7、1和2、7、2叫做余部定理。 （2）优级数判别法

定理2、7、3 设lim有

nfn(x)f(x),xE，存在收敛的级数Mn，使得对一切xE，和nE，都

fn(x)Mn。

（3）Dini判别法

定理2、7、4 若函数项级数数的和函数也在

u(x)的每一项（或n充分大的项）为有界闭区间a,b上非负连续函数，又已知级

nn1a,b上连续，则级数在a,b上一致收敛。

Sn在数集E上一致收敛于S(x)的充分条件是

（4）上确界判别法

定理2、7、5 若函数列

nxElimsupSn(x)S(x)0.

在应用以上判别法解决函数项级数一致收敛的问题时应注意：

Cauchy 一致收敛准则是充分条件，但应用时往往需要复杂的技巧；

Weierstrass判别法只是对绝对一致收敛的情况有效，而且可以举例说明，存在绝对一致收敛的函数项级数的例子，使得Weierstrass判别法失效；但由于它将问题归结为正项级数的收敛判别，使用方便，因此有广泛应用。

Abel判别法和Dirichlet判别法都是函数项级数一致收敛的充分必要条件，其证明与广义积分和数项级数的同名判别类似。 在数项级数中没有对应物的是基于Dini定理的Dini判别法，当然Dini判别法对条件的要求很高，但它仍在许多问题中有效。

在讨论函数项级数

u(x)的一致收敛性时比较容易的一类情况是能够得到其部分和函数列S的紧凑表达式，这时问题就转

nnn1换成函数列的一致收敛问题，就可以用上确界判别法解决问题：（1）这个判别法语函数项级数Weierstrass判别法不一样，并无直接关系，前者是充分必要条件，后者是充分条件。（2）由于上确界判别法是充分必要条件，因此往往能解决不一致收敛的判别问题，特别是还能得到以下的对角线判别法：如果存在数列不一致收敛于S(x)。

此外，在一致收敛下保证和函数或极限函数具有某种性质的一系列命题的逆否命题，也往往可以用来判定非一致收敛性，最常用的逆否命题：若函数项级数（或函数列）的每一项在区间I上处处连续，又已知和函数（或极限函数）在I上不是处处连续，则级数（或函数列）在I上不一致收敛。

limSn(x)S(x)0不满足，则Sn(x)在E上xnE，使得条件n3、函数项级数判别法的推广

3、1 函数项级数柯西判别法的推广

柯西一致收敛准则是我们判别函数项级数一致收敛的一个最基本准则。下面应用这个准则，仿照教材中正项级数判别法，对相应

的一致收敛的判别方法加以推广研究。

命题1 函数级数

bn(x)在a,b上一致收敛，对xa,b，有limn1an(x)Un(x)，且U(x)在a,bnb(x)n上连续，则

a(x)在a,b上也一致收敛。

nn1证明 因为

有

b(x)在a,b上一致收敛，可得 0,N()N 及 nN,xa,b,pN

n00n1

bn1(x)bn2(x)bnp(x)

又xa(x)a,b，有nlimnUn(x)，所以limnbn(x)an(x)Un(x), Un(x)在a,b上连续，故有界即

bn(x)M0,xa,b, 有Un(x)M。

由极限的不等式性质可得

N1N,nN1,xa,b，有

a,b上一致收敛。

an(x)Mbn(x) 即

an(x)Mbn(x) ，进而有

a(x)在

n 命题2 设xI有limnxUn(x)f(x)，

（1）若supxIf(x)q1，则函数项级数un(x)在In1上一致收敛；

（2）若infxIf(x)q1，则函数项级数un(x)在In1上非一致收敛。

证明 （1）因为supxIf(x)q1，所以对xI有f(x)q，又xI，有limnUn(x)f(x)；由

x极限保号性

N0N，当nN0有

limnUn(x)q

x

所以

xI,Un(x)qn，对nN0, I,pN，有

11qUn1(x)Unp(x)Un1(x)UnP(x)qn1qnpqn(qqp)qn1所以

nlimqn1qn10,0,N1N,nN1,

1q所以取

0,NmaxN0,N1,xI,pN 有 Un1(x)Unp(x)，因此

u(x)在I上一致收敛

nn1（2）的证明过程与（1）类似，在此省去其证明过程。

命题3 设xI，有limUn1(x)f(x)，

nU(x)n（1）若supxIf(x)q1，则un(x)在In1上一致收敛；

（2）若infxIf(x)q1，则un(x)在In1上非一致收敛。

证明 （1）因为supxIf(x)q，所以对xI，有f(x)q，又因为limUn1(x)f(x)，由极限的不等式

nU(x)n性质：N0N,nN0,xI, 有

Un1(x)q.

Un(x)不妨设，对任意自然数

n有：Un1(x)qUn(x)，所以

U2(x)qU1(x)U3(x)qU2(x)q2U1(x),Un(x)qn1U1(x)，

因而对任意自然数q，

Un1(x)Unp(x)Un1(x)UnP(x)U1(x)(qn1qnqnp1)

U1(x)qn1U1(x)qn1(1qq).

1qp因为

0q1，所以

limqn10,0,N1N,nN1,n 有

U1(x)n1q1q，所以取

0,NmaxN0,N1,nN,xI, 得 pN 有

Un1(x)Un2(x)Unp(x)，

因而函数级数

u(x)在I上一致收敛。

nn1（2）当

inff(x)q1时，xI,f(x)q1, 有 limxIUn1(x)f(x)，由极限不等式性质，

nU(x)nN0N,nN0,有

Un（1x）q1

Un(x)

Un1(x)UN0(x)，故

limUn1(x)0，

x因此

Un(x)在I上非一致收敛于0，即un(x)在I上非一致收敛。

n1ln 命题4 若xI,有limn1Un(x)f(x),若inff(x)q1，则函数项级数un(x)在IxIlnnn1上一致收

敛。

证明 因为infxIf(x)q1，所以对xI,f(x)q,

ln又因为limn1Un(x)f(x),由极限保号性，

lnnln1Un(x)q,即 lnUn(x)qlnn。

lnnN0N,nN0,limn1所以Un(x)q,xIn 因为

1q1所以qn1n收敛，M判别法，则函数项级数

u(x)在I上一致收敛。

nn1 命题5 设函数项级数

a(x),xI,令limsupnn1nnxEan(x)则：

（1）若

1时，an(x)在In1上一致收敛。

（2）若

1时，an(x)在In1上非一致收敛。

证明 （1）若1时，取:1，则存在自然数N，

nN 有 supnan(x).

xE当xI 时，xI一致收敛。

，有an(x)n，而

n1n，当01时收敛，故由M判别法知

a(x)在I上

nn1（2）若

1时，存在自然数Nn1，xI,nN 时 supnan(x)1则由上确界定义，x1I,nan(x)1xE故级数

a(x)不收敛，所以a(x)在I上非一致收敛。

nn1n1由命题5所证明可知，上述四个命题中的求解可放在条件中，如命题4亦可改为：

ln若

nxEliminf1Un(x)q,则当q1时，un(x)在Ilnnn1上一致收敛。

由上述命题，我们很容易得到一些级数的一致收敛性。

 例3、1 数项级数

nen1nx在

0,内一致收敛。

证明 设x,,Un(x)nenx，

Un1(x)(n1)e(n1)xlimlimex，

nxnU(x)nnensupexe1.

所以x,,x,ln(1nx)nx由命题3 知，函数项级数在D内一致收敛，数项级数ne在0,内一致收敛。1,nnxn1n1数项级数

nen1nx在

0,内一致收敛。

ln(1nx)在D1,内一致收敛，其中0. nnxn1 例3、2 证明函数项级数

证明 设Un(x)ln(1nx)则，x1,有 nnxn1

Un1(x)1nln1(n1)x1lim.

nU(x)nxn1ln1nxxnlim又因为

111， 1x,xsup由命题3可知，

ln(1nx)在D1,内一致收敛。 nnxn11xn1n 例3、3 证明函数项级数

在

1,内一致收敛0。

ln1Un(x)xlnnlimx nlnnlnn证明 设Un(x)1,x1,，limnnx所以

1x11，由命题4，函数项级数x在1,内一致收敛0。

x1,infn1n

3、2 函数项级数M判别定理的推广

[M——判别定理] 有函数项级数

u(x),NN，当nN,xI 时，恒有数列a，使得U(x)an1nnnn1且级数

an1n收敛，则函数级数

。 u(x)在区间I上一致收敛且绝对收敛（简称绝对一致收敛）

nn1[推广一] （M——极限法）由函数级数

u(x)，存在收敛的正项级数ann1n1n，使得对于

xI，有极限

Un(x)limK,0K，则函数项级数un(x)在区间Inann1上绝对收敛。

证明 由于

limUn(x)K,0Knan，即

00,NN1，当

nN,xI 有

Un(x)U(x)K0，即nK0，也即Un(x)(K0)an

anan 令0K0C，有

。 Un(x)Can（C为正整数）

n也收敛。根据M——判别定理知道函数项级数

 又级数

an1n收敛，从而级数

ca

n1



u(x)在区间I上绝对一致收敛。

nn1特殊地，取an

1(p1)，则由推广二： pn [推广二] 若函数级数

u(x),p1，有极限limnnn1npUn(x)K，且

0K，则函数项级数

u(x)在区间I上绝对一致收敛。

nn1

由上可知，判别定理的本质在于用初等的手法将函数的通项

Un(x)的绝对值改大为某正项级数（收敛）的通项，运用时，改大的

技巧会有一定的难度；而改进为用高等的极限手法作出判定，其优越性充分体现在：

（1）在理论上突出了极限理论贯穿着数学分析的所有内容的观点，体现了极限工具的重要作用；

（2）永吉县运算进行有效判断，在实际运用和操作上均极为方便。因而两个推广在函数级数一致收敛性的判别上分别有明显的理论和实际运用价值，下面仅举例阐明推论的实际应用：

例3、4 证明下列函数级数在指定区间上的一致收敛性：

1 在 0,上； (xn)(xn1)n1nx（2） 在R上；

52n11nx（1）（3）

1e2nn1x2n2 在

0,上；

收敛，对x11证明 （1）对于 ，存正项级数2n1(xn)(xn1)n1n0,有

1n2limnlim1 。 n(xn)(xn1)n(xn)(xn1)2由推广二知级数

1 在 0,上一致收敛 n1(xn)(xn1) 在R上，存正项级数

nx（2）52n11nx1,xR 有 3xn1

 在

n4xnxlimnlimn1n5x2n1n5x23R上一致收敛。

x2n21（3）对于2en1n ，存正项级数

12n1nx2n2，x0,有

x2n2

nlimn21en2limen1.

由推广二知

1e2nn1x2n2 在

0,上一致收敛。

n绝对收敛，则函数级数

例3、5 级数

nan1an1nsinnx若与级数ancosnx在R上绝对一致收敛。

n1证明 由于级数

nan绝对收敛，从而数nann1n1收敛，当xR有limn2nancosnxcosnxlim0. nnannansinnxsinnxlim0.

nnnann由推广一知道函数项级数limansinnx与limancosnx在R上均绝对一致收敛。

同样有

limn2nn

3、3 函数项级数阿贝尔判别法的推广

定理 阿贝尔判别法的推广

定义 1 如果存在C，使得

x2x1x3x2xnxn1C,(n1,2,)，则称序列an是有界变

差序列且凡是有界变差序列都是收敛的。 如果（1）

（2）bn是收敛级数，则级数anbn收敛。 an是有界变差序列；

n1n1证明 由条件（2），对任给

0，存在自然数Nnpk1，当nN时，恒有

，

bksupsnA1.这里，supsn为

ak1k1） ak,(i1,2,)的上确界，supanA（根据条件（1）

如果取

knk,knk,MsupsnA1，则由引理知，当nN时，

有

kk1n1ksupsnA1(supsnA),(m1,2,)，根据柯西收敛准则，级数nnn1收敛。

应当指出，并非一切有界变差函数，都可以写成两个递增单调函数之差，如耳判别法来简单地证明定理。

例3、6 判定级数e1(sin2)2xxsin2xfx01x0x0,因此，不能直接利用阿贝

sin21cos3e1sin212sin22ncosencos的收敛性。

331解 （1）

esin21sin2x2e2esin2e,x1, 即 en有有界倒数，

xxx1sin2于是在区间1,有有界变差，从而序列anen(n1,2,)有有界变量。

1sin(n)sin3nnk2212，

（2）bkk1k13sin32sin62所以所给级数收敛，应当看到，阿贝耳判别法对此级数失效。

3、4 函数项级数柯西积分判别法的推广

有界变差函数是一类非常重要的函数，它在实变函数理论中占有重要的位置。有界变差函数总可以分解为两个单调递增函数的差或者两个单调递减函数的差。因此有关级数和无穷积分的一些涉及到以单调函数为条件的收敛性的判别法。就容易地将单调性条件减弱为有界变差条件[1]，从而推广这些定理。

本文仅拟对级数收敛的柯西积分判别法加以推广，从而针对文[1]进一步阐述上述观点。

主要结果

所谓级数收敛的柯西积分判别法是：假设

f(x)是1,上的正的单调递减的连续函数，则级数f(n)收敛的充

n1分必要条件是无穷积分

1，主要结果是： f(x)dx收敛。我们将“正的单调递减”条件减弱为“有界变量”

 定理3、4 设函数

f(x)在无穷区间1,上连续且有有界变差，则级数f(n)收敛的充分必要条件是无穷积分

n11f(x)dx收敛。

f(x)在无穷区间1,上连续且有有界变差，所以

x证明 因为函数

及

均在无穷区间

f1(x)Vf(t)Vf(t)， （6）

I1I1f2(x)Vf(t)Vf(t)f(x) （7）

I1I1x1,上单调递减又连续，且f(x)f1(x)f2(x)，所以

nmnm1nf(x)dxinnm1f1(x)dxf(x)f(i1)f(i)f(nm)f(n)f(i).21212imimnm1imnm1nm1imnm1in1同理

nmnf(x)dxf1(n)f2(nm)nm1f(i).

2nm1in1所以

f1(nm)f2(n)in1f(i)nmnf(x)dxf1(n)f2(nm)f(i) （8）

因为 级数

nmnm1nf(x)dxf1(n)f2(nm)f(x)在无穷区间1,上有有界变量，所以x时，f(x)必有极限。

in1f(i)nnmn （9） f(x)dxf2(n)f1(nm). ，

f(x)n1收敛，则

nlimf(n)0,故

limf(x)0.于是由（6）、（7）两式，推得

nlimf1(x)0, limf2(x)0.由不等式（8），可得

n

nmnnm1nm1f(x)f(i)f1(nm)f2(n),f(i)f1(n)f2(nm),in1in1 ，

由柯西收敛准则，

nmnf(x)dx收敛。由柯西收敛准则，可知无穷积分

1f(x)dx收敛。

n反之，设无穷积分

1f(x)dx收敛，由于f(x)在无穷区间1,上有有界变差而导致limf(x)存在，所以

nnlimf(x)0。否则，若limf(x),0,会导致无穷积分1f(x)dx发散。