1. 设
计算A41 + A42 + A43 + A44 = ?, 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.
解. A41 + A42 + A43 + A44
=
2. 计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式.
解.
3. 计算n阶行列式 (n 2).
解. 当
+
= +
+ +
=－
=－ － = 0
当
4. 设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
=
行列式 即为y2前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
5. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.
证明: (n为奇数). 所以|A| = 0.
6. 设
证明: 可以找出数(0 < < 1), 使 (提示: 使用罗尔定理).
证明: ,
由罗尔定理, 存在数(0 < < 1), 使 .
7. 试证: 如果n次多项式
多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)
对n + 1个不同的x值都是零, 则此
证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x0, x1, …, xn. 将它们代入多项式, 得关于
Ci方程组
…………
系数行列式为x0, x1, …, xn的范德蒙行列式, 不为0. 所以
8. 设
解. = = = =
