浙教版数学九年级上册单元练习卷第一章 二次函数

一．填空题（共8小题，3*8=24）

1．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式： ． 2．把二次函数y＝x﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）+k的形式，那么h+k＝ ．

3．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．

2

2

2

4．如图，已知抛物线y1＝﹣2x+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．那么使得M＝1的x值为 ．

2

5．已知如图二次函数y1＝ax+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ．

2

6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax（a＜0）的图象上，则a的值为 ．

2

7．如图，二次函数y＝ax+bx+4（a＜0）的图象与y轴交于点A，且点B，C都在该抛物线上，以C为圆心，以CO的长为半径的圆恰好经过点A，B，若点B的坐标为（1，5），则a的值为 ．

2

8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于 ．

二．选择题（共10小题，3*10=30） 9．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y＝2x﹣1

2

B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝+1

10．已知抛物线y＝ax+bx+1的大致位置如图所示，那么直线y＝ax+b不经过（ ）

2

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2

11．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）+3上，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b

B．b＜a＜c

2

C．c＜a＜b D．a＜b＜c

12．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（ ） A．t≤0

B．0＜t≤1

2

C．1≤t＜5 D．t≥5

13．二次函数y＝（x﹣2）+3，当0≤x≤5时，y的取值范围为（ ） A．3≤y≤12

2

B．2≤y≤12 C．7≤y≤12 D．3≤y≤7

14．二次函数y1＝x+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A．2＜x＜3

B．x＞2

C．x＜3

D．x＜2或x＞3

（x

15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为y＝﹣﹣4）+3，由此可知铅球推出的距离是（ ） A．2m

B．8m

2

2

C．10m

2

D．12m

16．下表是满足二次函数y＝ax+bx+c的五组数据，x1是方程ax+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）

x y 1.6 ﹣0.80 1.8 ﹣0.54 2.0 ﹣0.20 2.2 0.22 2.4 0.72 D．2.2＜x1＜2.4

A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0

2

C．2.0＜x1＜2.2

17．一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax+bx+c在同一坐标系内的图象可能为（ ）

A． B．

C．

2

D．

18．已知二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x＝1，分析下列六个结论： ①3a+c＞0；

②若﹣1＜x＜2，则ax+bx+c＞0； ③（a+c）＜b ④a+3b+9c＞0

⑤a（k+1）+b（k+1）＜a（k+2）+b（k+2）（k为实数） ⑥am+abm≤a（a+b）（m为实数） 其中正确的结论有（ ）

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

三．解答题（共7小题，66分）

19．（8分）已知抛物线y＝ax+bx+3过A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式．

2

（2）设P是该抛物线上的动点，当△PAB的面积等于△ABC的面积时，求P点的坐标． 20．（8分）已知点（2，8）在函数y＝ax+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5． （1）求a，b的值．

（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值． 21．（8分）如图，抛物线y＝﹣x+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B （1）求n的值

（2）设抛物线顶点为D，与x轴另一个交点为C，求四边形ABCD的面积．

2

2

22．（10分）已知二次函数y＝ax+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）． （1）求此二次函数的解析式；

（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．

23．（10分）如图，已知直线＝﹣2x+m与抛物线y＝ax+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上． （1）求m的值； （2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．

2

2

24．（10分）某商店以15元/件的价格购进一批纪念品销售，经过市场调查发现：若每件卖20元，则每天可以售出50件，且售价每提高1元，每天的销量会减少2件，于是该商店决定提价销售，设售价x元件，每天获利y元． （1）求每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）若该商店雇用人员销售，在营销之前，对支付给销售人员的工资有如下两种方案： 方案一：每天支付销售工资100元，无提成； 方案二：每销售一件提成2元，不再支付销售工资．

综合以上所有信息，请你帮着该商店老板算一算，应该采用哪种支付方案，才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大？最大利润是多少？

25．（12分）如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax+bx+n（a≠0）过E、A′两点． （1）填空：∠AOB＝ °，用m表示点A′的坐标：A′ ； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N： ①求a、b、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理

2

参

一．填空题（共8小题）

1．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式： y＝x﹣1 ． 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c＜0即可．

【解答】解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是y＝x﹣1． 故答案为y＝x﹣1．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一． 2．把二次函数y＝x﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）+k的形式，那么h+k＝ 3 ．

【分析】利用配方法把二次函数的表达式y＝x﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）+k的形式，求出h、k的值各是多少，代入代数式计算即可．

【解答】解：∵y＝x﹣4x+5＝（x﹣2）+1， ∴h＝2，k＝1， ∴h+k＝2+1＝3． 故答案为：3．

【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．

3．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．

2

2

2

2

2

2

2

2

22

【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间 【解答】解： 依题意，令h＝0得 0＝20t﹣5t

2

得t（20﹣5t）＝0 解得t＝0（舍去）或t＝4

即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单

4．如图，已知抛物线y1＝﹣2x+2，直线y2＝2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0．那么使得M＝1的x值为

或

．

2

【分析】利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案． 【解答】解：如图，∵y1＝﹣2x+2，

∴抛物线与坐标轴的交点是：（﹣1，0），（1，0），（0，2）． ∵直线y2＝2x+2，

∴该直线与坐标轴的交点是：（﹣1，0），（0，2）． 即A（﹣1，0），B（1，0），C（0，2）． 根据图示知，①当﹣1＜x＜0时，y1＞y2， ∴使得M＝1时，y2＝2x+2＝1，解得：x＝﹣； ②当x＞0时，y2＞y1，

使得M＝1时，即y1＝﹣2x+2＝1，解得：x1＝

2

2

，x2＝﹣

（舍去），

∴使得M＝1的x值是﹣或．

故答案是：﹣或．

【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．

5．已知如图二次函数y1＝ax+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ﹣2＜x＜8 ．

2

【分析】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2． 故答案为：﹣2＜x＜8．

【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．

6．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax（a＜0）的图象上，则a的值为 ﹣

．

2

【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥x轴于D，然后求出

∠BOD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝OB，再利用勾股定理列式求出OD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵四边形OABC是边长为1的正方形， ∴∠BOC＝45°，OB＝1×过点B作BD⊥x轴于D，

∵OC与x轴正半轴的夹角为15°， ∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°， ∴BD＝OB＝

，

＝

，

OD＝＝，

∴点B的坐标为（，﹣

2

），

∵点B在抛物线y＝ax（a＜0）的图象上， ∴a（

）＝﹣

2

，

解得a＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，

然后求出点B的坐标是解题的关键．

7．如图，二次函数y＝ax+bx+4（a＜0）的图象与y轴交于点A，且点B，C都在该抛物线上，以C为圆心，以CO的长为半径的圆恰好经过点A，B，若点B的坐标为（1，5），则a的值为 ﹣ ．

2

【分析】根据题意得出A（0，4），进而根据圆的性质得出C的纵坐标为2，设C的坐标为（x，2）由AC＝BC，根据勾股定理列出x+（2﹣4）＝（x﹣1）+（2﹣5），求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得a的值． 【解答】解：∵二次函数y＝ax+bx+4（a＜0）的图象与y轴交于点A， ∴A（0，4），

∵以C为圆心，以CO的长为半径的圆恰好经过点A，B， ∴OC＝AC＝BC， ∴C的纵坐标为2， 设C的坐标为（x，2），

∵AC＝BC，A（0，4），B（1，5），

∴AC＝BC，即x+（2﹣4）＝（x﹣1）+（2﹣5）， 解得x＝3， ∴C（3，2），

把B（1，5），C（3，2）代入y＝ax+bx+4得

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，

解得，a＝﹣．

故答案为﹣．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理的列出方程是解题关键．

8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函

数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于 ．

【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝2，DE＝＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出答案．

【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA， ∴BF∥DE∥CM， ∵OD＝AD＝3，DE⊥OA， ∴OE＝EA＝OA＝2，

＝

，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF，

＝

，代入求出BF和CM，相加即可求出

由勾股定理得：DE＝＝，

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x， ∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE， ∴

＝

，

＝

，

∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，

即＝，＝，

解得：BF＝x，CM＝﹣x，

∴BF+CM＝故答案为：

．

【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题． 二．选择题（共10小题）

9．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A．y＝2x﹣1

2

B．y＝x+1 C．y＝ D．y＝+1

【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【解答】解：A、y＝2x﹣1是二次函数，此选项正确； B、y＝x+1是一次函数，此选项错误； C、y＝是反比例函数，此选项错误；

2

D、y＝+1不是整式函数，此选项错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

10．已知抛物线y＝ax+bx+1的大致位置如图所示，那么直线y＝ax+b不经过（ ）

2

2

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据二次函数图象开口向下可得a＜0，再根据二次函数图象的对称轴求出b的取值范围，然后根据一次函数图象的性质作出判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线对称轴在y轴的左边， ∴﹣

＜0，

解得b＜0，

∴直线y＝ax+b的图象经过第二、四象限，且与y轴负半轴相交，不经过第一象限． 故选：A．

【点评】本题考查了二次函数图象与一次函数图象与系数的关系，根据抛物线确定出a、b的取值范围是解题的关键，也是难点．

11．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）+3上，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b

B．b＜a＜c

C．c＜a＜b

2

2

D．a＜b＜c

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2（x+1）+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值a、b、c的大小．

【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，

而B（﹣1，b）直线x＝﹣1上，C（3，c）点离直线x＝﹣1最远，A（﹣2，a）离直线x＝﹣1的距离较近， ∴c＜a＜b． 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

12．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（ ） A．t≤0

B．0＜t≤1

C．1≤t＜5

D．t≥5

2

2

【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，由于t＜x＜5时，y的值随x值的增大而减小，于是得到1≤t＜5． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1， 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线开口向下，

所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， 而t＜x＜5时，y随x的增大而减小， 所以1≤t＜5． 故选：C．

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．二次函数y＝（x﹣2）+3，当0≤x≤5时，y的取值范围为（ ） A．3≤y≤12

B．2≤y≤12

C．7≤y≤12

D．3≤y≤7

2

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当0≤x≤5时，y的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）+3，

∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小， ∵0≤x≤5，2﹣0＝2，5﹣2＝3，

∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3，当x＝5时，y取得最大值，此时y＝12， ∴当0≤x≤5时，y的取值范围为3≤y≤12， 故选：A．

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

14．二次函数y1＝x+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（ ） A．2＜x＜3

B．x＞2

C．x＜3

D．x＜2或x＞3

2

2

【分析】先画出来那个函数的大致图象，然后写出抛物线在一次函数图象下方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：当2＜x＜3时，y1＜y2． 故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解． 15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为y＝﹣﹣4）+3，由此可知铅球推出的距离是（ ） A．2m

B．8m

C．10m

D．12m

2

2

（x

【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：令函数式y＝﹣

（x﹣4）+3，中，y＝0，

2

0＝﹣（x﹣4）+3，

2

解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， 即铅球推出的距离是10m． 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

16．下表是满足二次函数y＝ax+bx+c的五组数据，x1是方程ax+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）

x y 1.6 ﹣0.80 1.8 ﹣0.54 2.0 ﹣0.20 2.2 0.22 2.4 0.72 D．2.2＜x1＜2.4

2

2

A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2

【分析】在直角坐标系中描出五点，能很直观的发现答案． 【解答】解：如图

由图象可以看出二次函数y＝ax+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2． ∴故选C．

2

【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，采取与二次函数图象相结合的方法来求得答案．

17．一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax+bx+c在同一坐标系内的图象可能为（ ）

2

A． B．

C．

2

D．

【分析】先由二次函数y＝ax+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝cx+b图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，由直线可知，b＞0，错误； B、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＜0，正确； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＜0，由直线可知，c＞0，b＞0，错误； D、由抛物线可知，a＜0，b＝0，c＞0，由直线可知，c＞0，b＞0，错误． 故选：B．

【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 18．已知二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x＝1，分析下列六个结论： ①3a+c＞0；

2

②若﹣1＜x＜2，则ax+bx+c＞0； ③（a+c）＜b ④a+3b+9c＞0

⑤a（k+1）+b（k+1）＜a（k+2）+b（k+2）（k为实数） ⑥am+abm≤a（a+b）（m为实数） 其中正确的结论有（ ）

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】利用对称轴方程得到b＝﹣2a，再利用x＝﹣1时，a﹣b+c＜0得到3a+c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间可对②进行判断；利用x＝﹣1时，a﹣b+c＜0；x＝1时，a+b+c＞0得到（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，则可对③进行判断；利用x＝时得到a+b+c＞0，则可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；利用x＝1时，y有最大值得到am+bm+c≤a+b+c，然后利用a＜0可对⑥进行判断．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣

＝1，

2

∴b＝﹣2a，

∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴0＜x＜2，ax+bx+c＞0，所以②错误；

∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，

2

∴（a+c）﹣b＜0，所以③正确； ∵x＝时，y＞0，即a+b+c＞0，

22

∴a+3b+9c＞0，所以④正确； ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 而k+2＞k+1≥1，

∴a（k+1）+b（k+1）＞a（k+2）+b（k+2），所以⑤错误； ∵x＝1时，y有最大值， ∴am+bm+c≤a+b+c， 而a＜0，

∴am+abm≥a+ab，所以⑥错误． 故选：B．

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了二次函数的性质． 三．解答题（共7小题）

19．已知抛物线y＝ax+bx+3过A（﹣3，0），B（1，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式．

（2）设P是该抛物线上的动点，当△PAB的面积等于△ABC的面积时，求P点的坐标． 【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式； （2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可． 【解答】解：（1）把A与B坐标代入得：

，

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

解得：，

2

则该抛物线的表达式为y＝﹣x﹣2x+3；

（2）由抛物线解析式得：C（0，3）， ∴△ABC面积为×3×4＝6，

∴△PAB面积为6，即×|yP纵坐标|×4＝6，即yP纵坐标＝3或﹣3，

2

当yP纵坐标＝3时，可得3＝﹣x﹣2x+3， 解得：x＝﹣2或x＝0（舍去）， 此时P坐标为（﹣2，3）；

当yP纵坐标＝﹣3时，可得﹣3＝﹣x﹣2x+3， 解得：x＝﹣1±

，

，﹣3）或（﹣1﹣

，﹣3）．

2

此时P坐标为（﹣1+

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

20．已知点（2，8）在函数y＝ax+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5． （1）求a，b的值．

（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值． 【分析】（1）将点（2，8）和（﹣1，5）分别代入解析式即可求出a、b的值； （2）将点（12，m）和（n，17）分别代入解析式即可得到m、n的值． 【解答】解（1）由题意可知：

2

2

，解得．

2

（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x+4，得：m＝144+4，17＝n+4， 解得m＝148，n＝±

．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟悉待定系数法求函数解析式． 21．如图，抛物线y＝﹣x+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B （1）求n的值

（2）设抛物线顶点为D，与x轴另一个交点为C，求四边形ABCD的面积．

2

【分析】（1）先把（1，0）代入函数解析式，可得关于n的一元一次方程组，解即可求n；

（2）先过D作DE⊥x轴于E，利用顶点的计算公式易求顶点D的坐标，通过观察可知S四边形ABCD＝S△ACD+S△

ABC，进而可求四边形

ABCD的面积．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+5x+n经过点A（1，0）， ∴0＝﹣1+5+n， ∴n＝﹣4，

（2）过D作DE⊥x轴于E，

此函数的对称轴是x＝﹣＝2.5，顶点的纵坐标＝＝，

∴D点的坐标是（2.5，），

并知C点的坐标是（4，0）， B点坐标为：（0，﹣4），

∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•OB＝×3×+×3×4＝

．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积计算，解题的关键是会解二元一次方程组，并求出二次函数顶点的坐标．

22．已知二次函数y＝ax+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．

2

（1）求此二次函数的解析式；

（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．

【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）﹣4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解． 【解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4， ∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）﹣4． ∵二次函数图象经过点（﹣1，12）， ∴12＝16a﹣4， ∴a＝1，

∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）﹣4＝x﹣6x+5． （2）当y＝0时，有x﹣6x+5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）； 当x＝0时，y＝x﹣6x+5＝5， ∴点C的坐标为（0，5）．

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示． 设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：

，解得：

，

2

2

2

2

2

2

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．

∵B（5，0）、C（0，5）， ∴BC＝5

．

∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，

∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5

．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．

23．如图，已知直线＝﹣2x+m与抛物线y＝ax+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求m的值； （2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．

2

【分析】（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m，即可求解；

（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；

（3）分∠ABP＝90°、∠AP（P′）B＝90°、∠PAB＝90°三种情况，求解即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6； （2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）+4， 解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+4＝﹣x+2x+3； （3）①当∠ABP＝90°时，

2

222

2

直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6， 则直线PB的表达式中的k值为，

设直线PB的表达式为：y＝x+b，

将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，

解得：b＝﹣，

即直线PB的表达式为：y＝x﹣，

当x＝1时，y＝﹣1， 即点P（1，﹣1）（舍去）； ②当∠AP（P′）B＝90°时， 点P′（1，0）； ③当∠PAB＝90°时， 同理可得：点P（﹣7，0），

故点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本知识，要注意类讨论，避免遗漏，本题较为简单．

24．某商店以15元/件的价格购进一批纪念品销售，经过市场调查发现：若每件卖20元，则每天可以售出50件，且售价每提高1元，每天的销量会减少2件，于是该商店决定提价销售，设售价x元件，每天获利y元． （1）求每件售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）若该商店雇用人员销售，在营销之前，对支付给销售人员的工资有如下两种方案： 方案一：每天支付销售工资100元，无提成； 方案二：每销售一件提成2元，不再支付销售工资．

综合以上所有信息，请你帮着该商店老板算一算，应该采用哪种支付方案，才能使该商店每天销售该纪念品的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可； （2）分别求出两种方案的最大利润，即可判断；

【解答】解：（1）y＝（x﹣15）[50﹣2（x﹣20）]＝﹣2（x﹣30）+450， 当x＝30时，y的最大值为450，

答：每件售价为30元时，每天获得的利润最大，最大利润是450元．

（2）方案一：每天的最大利润为450﹣100＝350（元），

2

方案二：y＝（x﹣15﹣2）[50﹣2（x﹣20）]＝﹣2（x﹣31）+392， ∴每天的最大利润为392元， 392＞350，

∴采用方案二支付，利润最大；

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值值问题，属于中考常考题型．

25．如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax+bx+n（a≠0）过E、A′两点．

（1）填空：∠AOB＝ 45 °，用m表示点A′的坐标：A′ （m，﹣m） ； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N： ①求a、b、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理

2

2

【分析】（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB＝2BC，表示出AB，得到AB＝OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即可确定出A′坐标；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由

＝，表示出P坐标，由抛物线的

顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；

（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y＝ax+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；

②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围．

【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m， ∵AB＝2BC， ∴AB＝2m＝0B， ∵∠ABO＝90°，

∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠AOB＝45°，

由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）； 故答案为：45；m，﹣m；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下： 由已知得：A（2m，2m），B（2m，0）， ∵

＝，

2

∴P（2m，m），

∵A′为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）﹣m， ∵抛物线过点E（0，n），P ∴n＝a（0﹣m）﹣m，

2

2

即m＝2n，

∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2， ∵∠EOD′＝∠ABC＝90°， ∴△D′OE∽△ABC；

（3）①当点E与点O重合时，E（0，0）， ∵抛物线y＝ax+bx+n过点E，A′，

2

∴，

整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am； ②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，

∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小， 若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5， ∴a（3m）﹣（1+am）•3m＝0， 整理得：am＝，即抛物线解析式为y＝

x﹣x，

2

2

由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y＝x，

联立抛物线与直线OA解析式得：，

解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m）， 令5m＝5，即m＝1， 当m＝1时，a＝；

2

若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）﹣（1+am）•2m＝2m， 解得：am＝2， ∵m＝1， ∴a＝2，

则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤2．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．