2017高考数学试题分类汇编——专题三 三角函数

xxx1.（15北京理科）已知函数f(x)2sincos2sin2．

222(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 求f(x)在区间[π，0]上的最小值．

【答案】（1）2，（2）12 2【解析】

试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为

f(x)Asin(x)m形式，再利用周期公式T2求出周期，第二步由

于x0,则可求出3x，借助正弦函数图象 找出在这个范44432时，f(x)取得最小值为：1. 42析

：

(

Ⅰ

)

围内当x试

4题

2，即x解

f(x)2sinx2cosx22sin2x2211cosxsinx2 222222 sin(x)sinxcosx4222222； 1(1)f(x)的最小正周期为T(2)x0,33x，当x,x时，444424f(x)取得最小值为：12 2x． 2考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 2.（15北京文科）已知函数fxsinx23sin2（Ⅰ）求fx的最小正周期； （Ⅱ）求fx在区间0,2上的最小值． 3【答案】（1）2；（2）3.

考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（15年广东文科）已知．

求

的值；

求

【答案】（1）

；（2）．

的值．

考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.

4.（15年安徽文科）已知函数f(x)(sinxcosx)cos2x （1）求f(x)最小正周期；

2（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为12，最小值为0

考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.

5.（15年福建理科）已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到：先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右

平移

p个单位长度. 2(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b． （1)求实数m的取值范围；

2m2-1. （2)证明：cos(a-b)=5【答案】(Ⅰ)f(x)=2sinx，x=kp+【解析】

p(k?Z).；(Ⅱ)（1）(-5,5)；（2）详见解析． 2试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移：g(x)kg(x)或g(x)g(x)k；横向伸缩或平移：

g(x)g(x)（纵坐标不变，横坐标变为原来的

1倍），g(x)g(xa)(a0时，向

左平移a个单位；a0时，向右平移a个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f(x)=2sinx，则

f(x)+g(x)=2sinx+cosx，利用辅助角公式变形为f(x)+g(x)=5sin(x+j)（其中

sinj=12），方程f(x)+g(x)=m在[0,2p)内有两个不同的解a,b，等价,cosj=55于直线ym和函数y=5sin(x+j)有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得a+b=2(解．

试题解析：解法一：(1)将g(x)=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标

3pp-j)和a+b=2(-j)，进而利用诱导公式结合已知条件求

22不变）得到y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移

p个单位长度后得到2y=2cos(x-p)的图像，故f(x)=2sinx，从而函数f(x)=2sinx图像的对称轴方程为2px=kp+(k?Z).

2(2)1)f(x)+g(x)=2sinx+cosx=5(21sinx+cosx) 55=5sin(x+j)（其中sinj=12,cosj=） 55依题意，sin(x+j)=mm|<1，在区间[0,2p)内有两个不同的解a,b当且仅当|故m的

55取值范围是(-5,5).

2)因为a,b是方程5sin(x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解， 所以sin(a+j)=mm，sin(b+j)=. 55当1£m<5时，a+b=2(p-j),a-b=p-2(b+j); 2当-5(2)1) 同解法一.

2) 因为a,b是方程5sin(x+j)=m在区间[0,2p)内有两个不同的解， 所以sin(a+j)=mm，sin(b+j)=. 55p-j),即a+j=p-(b+j); 2当1£m<5时，a+b=2(当-5是

cos(a-b)=cos[(a+j)-(b+j)]=cos(a+j)cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)

m2m22m2=-cos(b+j)+sin(a+j)sin(b+j)=-[1-()]+()=-1.

5552考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（15年福建文科）若sin5，且为第四象限角，则tan的值等于（ ） 13A．

125125 B． C． D． 512512【答案】D 【解析】

试题分析：由sin5122，且为第四象限角，则cos1sin，则1313tansin cos5，故选D． 12考点：同角三角函数基本关系式．

7.（15年福建文科）已知函数fx103sin（Ⅰ）求函数fx的最小正周期； （Ⅱ）将函数fx的图象向右平移

xxxcos10cos2． 222个单位长度，再向下平移a（a0）个单位长度后6得到函数gx的图象，且函数gx的最大值为2． （ⅰ）求函数gx的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得gx00． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）（ⅰ）gx10sinx8；（ⅱ）详见解析． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将fx化为

2f(x)10sinx5，然后利用T求周期；（Ⅱ）由函数fx的解析式中给x6减

，再将所得解析式整体减去a得gx的解析式为gx10sinx5a，当sinx取61的时，gx取最大值105a，列方程求得a13，从而gx的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得gx00，可解不等式gx00，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数

x0．

试题解析：（I）因为fx103sinxxxcos10cos2 22253sinx5cosx5

10sinx5．

6所以函数fx的最小正周期2． （II）（i）将fx的图象向右平移

个单位长度后得到y10sinx5的图象，再向下平6移a（a0）个单位长度后得到gx10sinx5a的图象． 又已知函数gx的最大值为2，所以105a2，解得a13． 所以gx10sinx8．

（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得gx00，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx080，即sinx04． 5由

443知，存在00，使得sin0．

5352由正弦函数的性质可知，当x0,0时，均有sinx因为ysinx的周期为2，

4． 5所以当x2k0,2k0（k）时，均有sinx4． 5因为对任意的整数k，2k02k02031，

4． 5所以对任意的正整数k，都存在正整数xk2k0,2k0，使得sinxk亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得gx00． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．

8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）【答案】D

1133 （B） （C） （D）

22221【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.

29.(15年新课标1理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的

单调递减区间为 (A)（

）,k

(b)（

）,k

(C)（）,k(D)（）,k

【答案】B

10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

y3sin(6x)k，据此函数

可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】

试题分析：由图象知：ymin2，因为ymin3k，所以3k2，解得：k5，所以这段时间水深的最大值是ymax3k358，故选C． 考点：三角函数的图象与性质．

11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

6

【答案】8 【解析】

试题分析：由图像得，当sin(6x)1时ymin2，求得k5，

当sin(6x)1时，ymax3158，故答案为8.

考点：三角函数的图像和性质.

12.（15年天津理科）已知函数fxsinxsinx22，xR 6(I)求f(x)最小正周期； (II)求f(x)在区间[-pp,]上的最大值和最小值. 3413,f(x)min.

24【答案】(I); (II)f(x)max

考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（15年天津文科）已知函数

fxsinxcosx0,xR, 若函数fx在区

间,内单调递增,且函数fx的图像关于直线x对称,则的值为．

【答案】【解析】

π 2试题分析：由fx在区间,内单调递增,且fx的图像关于直线x对称,可得

2π ,且fsin2cos2π2sin21,

4所以2πππ. 422考点：三角函数的性质.

14.（15年湖南理科）

A.

5 B. C. D. 12346【答案】D. 【解析】

试题分析：向右平移个单位后，得到g(x)sin(2x2)，又∵|f(x1)g(x2)|2，∴

不妨

2x122k，2x2222m，∴x1x22(km)，又∵

x1x2min3，

∴

236，故选D.

考点：三角函数的图象和性质.

10.（15年江苏）已知tan2，tan【答案】3 【解析】

12tan()tan7试题分析：tantan()3. 1tan()tan1271，则tan的值为_______. 7考点：两角差正切公式

11.（15年江苏）在ABC中，已知AB2,AC3,A60. （1）求BC的长； （2）求sin2C的值. 【答案】（1）7（2）【解析】

43 7考点：余弦定理，二倍角公式

专题四 解三角形

1.（15北京理科）在△ABC中，a4，b5，c6，则

【答案】1 【解析】 试

题

分

析

：

sin2A sinC．

ssiAnCin2A2CsAs2ia2nicnbc2boccs222251 536616考点：正弦定理、余弦定理

2.（15北京文科）在C中，a3，b【答案】

6，2，则． 34

【解析】

试题分析：由正弦定理，得

362ab，即，所以sinB，所以B. 2sinAsinB43sinB2考点：正弦定理.

C的对边分别为a，b，c，B，s3.（15年广东理科）设ABC的内角A，若a3，B1，2iCπ，则b 6【答案】1．

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题． 4.（15年广东文科）设

的内角

，，的对边分别为，，．若

，

，

，且，则（ ）

A．B．C．D．

【答案】B 【解析】

试题分析：由余弦定理得：

，所以

，即

所以，故选B．

考点：余弦定理．

，解得：或，因为，

A5.(15年安徽理科) 在ABC中，

求

4,AB6,AC32,点D在BC边上，ADBD，

的

长

。

AD

6.（15年安徽文科）在ABC中，AB6，A75，B45，则AC。

【答案】2 【解析】

试题分析：由正弦定理可知：

ABACsin[180(7545)]sin456ACAC2 sin60sin45考点：正弦定理.

87.（15年福建理科）若锐角ABC的面积为103，且AB5,AC，则BC等于________．

【答案】7

【解析】

试题分析：由已知得ABC的面积为

1ABACsinA20sinA103，所以2AsinA32，

A(0,)，

2所以

3．由余弦定理得

22BC2ABAC2ABcAoCs4A9，BC7． 考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．

008.（15年福建文科）若ABC中，AC3，A45，C75，则BC_______．

【答案】2 【解析】

试题分析：由题意得B180AC60．由正弦定理得

00ACBC，则sinBsiAnBCACsinA，

sinB3所以BC32222．

考点：正弦定理． 9.(15年新课标1理科)

10.（15年新课标2理科）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面

积的2倍。 (Ⅰ)求

sinB;

sinC(Ⅱ) 若AD=1，DC=

2求BD和AC的长. 2

11.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. （I）求

sinB；

sinC（II）若BAC60,求B.

【答案】（I）

1；30. 2

考点：解三角形

12.(15年陕西理科)C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量ma,3b 与ncos,sin平行． （I）求； （II）若a7，b2求C的面积．

【答案】（I）

33；（II）． 32试题解析：（I）因为m//n，所以asinB-由正弦定理，得sinAsinB-3bcosA=0，

3sinBcosA=0

又sin0，从而tanA=3， 由于0A，所以A3

(II)解法一：由余弦定理，得a=b+c-2bccosA 而a=7b=2,22223

得7=4+c-2c，即c-2c-3=0 因为c>0，所以c=3. 故ABC的面积为

2133bcsinA=. 22

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

13.（15年陕西文科）ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m(a,3b)与n(cosA,sinB)平行.

(I)求A；

(II)若a7,b2求ABC的面积. 【答案】(I)A3；(II)33. 2试题解析：(I)因为m//n，所以asinB3bcosA0

由正弦定理，得sinAsinB3sinBcosA0， 又sinB0，从而tanA由于0A 所以A3，

3

(II)解法一：由余弦定理，得

a2b2c22bccosA，而a7,b2，A得74c2c，即c2c30 因为c0，所以c3， 故ABC面积为

223，

133bcsinA. 227sin2 sinB解法二：由正弦定理，得3从而sinB21 727 7又由ab知AB，所以cosB故sinCsin(AB)sin(B3)

sinBcos3cosBsin3321， 14所以ABC面积为

133absinC. 22考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.

14.（15年天津理科）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ABC的面积为315，bc2,cosA,则a的值为. 【答案】8

【解析】

142试题分析：因为0A，所以sinA1cosA15， 4又SABCbc2115得b6,c4，bcsinAbc315,bc24，解方程组28bc24由余弦定理得

1a2b2c22bccosA6242264，所以a8.

4考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

15．（15年天津文科）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为315,1bc2,cosA,

4（I）求a和sinC的值； （II）求cos2A 的值. 6【答案】（I）a=8,sinC【解析】

151573；（II）. 816

考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.