机械工程控制基础 第五章

本章介绍了单输入单输出控制系统稳定性的定义及其判定依据。对于不同的系统，稳定性的定义不同。系统的稳定性指标是控制系统设计过程中需要考虑的众多性能指标中最重要的指标，不稳定的系统是无法使用的。主要包括赫尔维茨判据、劳斯判据、幅角原理、奈奎斯特稳定性判据等概念。重点是赫尔维茨稳定性判据和劳斯稳定性判据及其在系统分析中的应用。难点是应用复变函数的幅角原理推导奈奎斯特稳定性判据和对稳定裕度的理解。 随堂测试：

一、 知识点名称1：控制系统稳定性的基本概念

1.是保证控制系统正常工作的先决条件。（） A．稳定性 B．快速性 C．准确性 D．连续性

正确答案：A

解析：不稳定的系统是无法使用的。 2.是控制系统最重要的性能指标。（）

A．稳定性 B．快速性 C．准确性 D．连续性

正确答案：A

解析：稳定性是控制系统最重要的性能指标 知识点名称2：单输入单输出控制系统稳定的条件 1. 单输入单输出控制系统稳定的条件为（）

A 特征方程根具有副实部 B特征方程根具有副实部

C极点位于复平面的右半部D极点位于虚轴上 正确答案：A

解析：单输入单输出控制系统稳定的充分必要条件为特征方程根全部具有副实部

2.某单位反馈系统的开环传递函数为GS值范围为（）

A.K>0 B.K>1 C. 0-1 正确答案：A

解析：其特征方程为s2ksk0，根据二阶螺丝准则和朱里准则，该系统稳定条件为10;k0;k0；所以的K的取值范围为K>0 知识点名称3：赫尔维茨稳定性判据

1.赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正，是线性系统稳定的条件。（） A.充分B 必要

C充要 D即不充分也不必要 正确答案：C

解析：线性系统稳定的充要条件赫尔维茨矩阵的各项主子式行列式的值全部为正.

2.如果满足主子式前提下，若所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正。（） Aai0,奇，奇 B ai0,奇，偶 C ai0,偶，偶 D ai0,奇，偶

K,则该系统稳定的SSKK

正确答案：B

解析：如果满足ai0条件，若所有奇次顺序赫尔维茨矩阵的主子式为正，则所有偶次顺序赫尔维茨矩阵的主子式必为正；反之亦然。 知识点名称4：劳斯稳定性判

1.将线性定常单输入单输出方程写成则DSansnan1sn1asan 所有系数均为实数。 01a00,方程各项系数的符号一致与方程各项系数非0是这个方程的根没有正实部的条件。 A.充分B 必要

C充要 D即不充分也不必要 正确答案：B

1方程各解析：这个方程的根没有正实部的必要(但非充分)条件为：○2方程各项系数非0 项系数的符号一致○

2.劳斯判据只适用于特征方程是的代数方程。 A.实系数B 虚系数 C 正数D负数 正确答案：A

解析：赫尔维茨和劳斯判据均只适用于特征方程是实系数的代数方程。 知识点名称5：幅角原理

1. 是奈奎斯特稳定判据的数学基础。（） A幅角原理B赫尔维茨定理 C 劳斯判据D幅频特性

正确答案：A

解析：幅角原理是奈奎斯特稳定判据的数学基础。 2.两个复数积的幅角等于它们的幅角。（） A 和B差 C积D商 正确答案：A

解析：两个复数积的幅角等于它们的幅角和。 知识点名称6：根据奈奎斯特图判断系统稳定性

1. 下列判别系统稳定性的方法中，哪一个是在频域里判别系统稳定性的判据（）。 A.劳斯判据

B.赫尔维茨判据 D.根轨迹法

C.奈奎斯特判据

正确答案：C

解析：在频率中，奈奎斯特判据用来判断系统的稳定性。

2.利用奈奎斯特稳定性判据判断系统稳定性时，Z=P-N中Z表示的意义为（）

A开环传递函数零点在S左半平面的个数 B开环传递函数零点在S右半平面的个数 C闭环传递函数零点在S右半平面的个数 D闭环特征方程的根在S右半平面的个数 正确答案：D

解析：在奈奎斯特稳定性判据中，Z表示闭环特征方程的根在S右半平面的个数

知识点名称7：根据伯德图判断系统的稳定性

1.Bode图的低频段特性完全由系统开环传递函数中的积分环节数和决定。（A）

A微分环节B比例环节 C 振荡环节D比例积分环节 正确答案：A

解析：Bode图的低频段特性完全由系统开环传递函数中的积分环节数和微分环节决定

2.伯德图中的高频段反映了系统的（）。

A．稳态性能

B．动态性能· D．以上都不是

C．抗干扰能力

正确答案：A

解析：Bode图的低频段特性完全由系统开环传递函数中的积分环节数和微分环节决定

知识点名称8：系统的相对稳定性 1.可以用确定系统的相对稳定性。（） A 相位裕度 B幅值裕度 C幅频特性D 相位裕度和幅值裕度 正确答案：D

解析：为了确定系统的相对稳定性，相位裕度和幅值裕度必须同时给出

2.对于最小相位系统，只有时系统才是稳定的。( )

A相位裕度为正B 幅值裕度为正

C相位裕度为负 D相位裕度与幅值裕度均为正 正确答案：D

解析:只有相位裕度与幅值裕度均为正时，最小相位系统才是稳定的。负的稳定裕度时，系统是不稳定的。 单元测试：

一、 单选（共40分，每题5分）

1. 劳斯判据应用于控制系统稳定性判断时是针对于（） A闭环系统的传递函数B开环系统的传递函数

C闭环系统中开环传递函数的特征方程D闭环系统的特征方程 正确答案：A

解析:劳斯判据应用的条件是闭环系统的传递函数

2. 关于劳斯—胡尔维茨稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据，以下叙述中正确的是（ ）

A.劳斯—胡尔维茨判据属于代数判据，是用来判断开环系统稳定性的 B.奈奎斯特判据属与几何判据，是用来判断闭环系统稳定性的 C.奈奎斯特判据是用来判断开环系统稳定性的 D.以上叙述均不正确 正确答案：B

解析:奈奎斯特判据属于几何稳定性判据，是用来判断闭环系统稳定性的。

3.一个单位反馈系统的开环传递函数为G(s)K，当K增

s(s1)(s2)大时，对系统性能能的影响是（）

A.稳定性降低 B.频宽降低 D.阶跃输入误差减小

C.阶跃输入误差增大 正确答案：A 解析:

4.设计控制系统时，稳定性是。（） A 不必判断 B绝对必要

C 有时是必须的 D有时是必要的，根据系统而定 正确答案：C 解析:

5.控制系统的稳定性与有关。（） A系统的结构参数 B初始条件 C 干扰 D外部条件 正确答案：A

解析:稳定性是系统的一种固有属性，只与本身的结构参数有关 6.单位负反馈系统的开环传递函数为Gks定的K值范围为（） AK>-1 B K<-1 C K>-2 C K<-2 正确答案：A

1a0,所以K>-1；○20，解析:根据赫尔维茨定理判据的条件：○i2101kss1，则闭环系统稳

则K>-1;综上：K>-1

7.是评价系统稳定程度的指标。（） A稳定裕度 B 相位裕度 C幅值裕度 D相对稳定裕度 正确答案：A

解析:稳定裕度是评价系统稳定程度的指标。 8.a值为时，开环传递函数为Gs相位稳定裕度为45。（） A0.84 B 0.85 C 0.74 D 0.93 正确答案：A

1因为180w45w1351800arctanaw 解析: ○cccas1的单位负反馈系统，气象为2s2Gjwc1○

awcwc221所以a1=0.84 wc二、 多选（共40分，每题8分） 1.关于系统稳定的说法正确的是（） A．线性系统稳定性与输入无关 B．线性系统稳定性与系统初始状态无关 C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关 D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关 正确答案：A、B、D

解析:线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。

2.一个线性系统稳定与否不取决于（） A．系统的结构和参数 B．系统的输入 C．系统的干扰 D．系统的初始状态 正确答案：B、C、D

解析:线性系统稳定与否只取决于系统本身的结构和参数。 3.利用赫尔维茨判据，则系统稳定的充要条件不正确为：特征方程的各项系数均为；各阶子行列式都。（） A正、大于0 B 正、小于0 C 负、大于0 D 负、小于0 正确答案：B、C、D

解析: 利用赫尔维茨判据，则系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为正；各阶子行列式都大于零。 4.下列哪项是不正确（）

A赫尔维茨判据、劳斯判据又称为代数稳定性判据 B奈奎斯特判据、劳斯判据又称为代数稳定性判据 C赫尔维茨判据、奈奎斯特代数稳定性判据 D赫尔维茨判据、奈奎斯特代数稳定几何性判据 正确答案：B、C、D

解析:赫尔维茨判据、劳斯判据又称为代数稳定性判据 5.下列说法不正确的有（）

A 系统的稳定决定于特征方程的解 B系统的稳定决定于微分方程的解 C系统的稳定决定于积分方程的解 D系统的稳定决定于微积分方程的解 正确答案：B、C、D

解析:系统的稳定仅取决于特征方程的解。 三、判断题（共20分，每题2分）、 1.开环传递函数为GS正确答案：对

解析：由赫尔维茨判定定理可以得出其满足稳定性条件。

2.特征方程为s30.8Ks24KS260的系统稳定时，K值取为K<2.18. () 正确答案：错

解析：由赫尔维茨稳定性判据，可得到保证系统稳定的K取值范围为 K>2.18

3.劳斯阵列第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的左根数目。 （） 正确答案：错

解析：劳斯阵列第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。

4.正半次穿越是对数相频特性曲线始于-180o向下。 （）

100的单位负反馈系统是稳定的。（）

s0.2s1正确答案：错

解析：正半次穿越是对数相频特性曲线始于-180o向上。

5. 最小相位系统，必须同时具有正幅值裕度和正幅值裕度，闭环系统稳定。 （） 正确答案：对

解析：由书上知识可知。

6.奈奎斯特判据属于代数稳定性判据。（） 正确答案：错

解析：奈奎斯特判据属于几何稳定性判据。

7.劳斯判据系统稳定性的充要条件是特征方程系数所组成的阵列第二列元素符号一致。 正确答案：错

解析：劳斯判据系统稳定性的充要条件是特征方程系数所组成的阵列第一列元素符号一致。

8.正穿越是相频特性由下而上穿过90线。（） 正确答案：错

解析：正穿越是相频特性由下而上穿过180线 9.系统稳定时，只需要相位裕度为正即可。（） 正确答案：错

解析：系统稳定时，相位裕度和幅值裕度都必须为正。 10.系统的传递函数完全由系统的结构和参数决定。（） 正确答案：对。

解析：由书上知识可知。 单元作业：

1.系统稳定性的定义是什么？一个系统稳定的充分和必要条件又是什么？

答：系统的稳定性是指系统在初始状态的作用下，由它引起的系统的时间响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向与零的能力。若随时间的推移，系统能回到平衡位置，则系统是稳定的；若随时间的推移，系统偏离平衡位置愈来愈远，则系统是不稳定的。

系统稳定的充要条件是系统所有的特征根的实部区不小于零，或系统传递函数的所有极点金分布在S平面的左半平面内。 2.奈奎斯特稳定判据的主要内容为什么？

答：奈奎斯特判据：控制系统稳定的充要条件是奈奎斯特曲线逆时针包围（1，j0）点的圈数等于开环传递函数中右半S平面的极点数P，即N=P；否则闭环系统不稳定。 3.什么是系统稳定裕度？

答：稳定裕度是衡量系统稳定程度的指标。 单元讨论

试着梳理本章脉络和稳定性的概念及判定

1本章这是结构图 ○

图1.知识结构图

定义 系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除时，系统自动恢复到平衡位置的能力 数学定义 设线性系统在领初始条件下输入一个理想脉冲函数t，相当于受到一个脉冲扰动。系统输出为单位脉冲响应函数x0t。若判定 系统稳定的充要条件是系统的特征根全部落在S平面的左半部分（所有特征根均具有负实部） 特性 它是系统去掉扰动后本身自由运动性质，是系统的一种固有特性。对于线性系统，这种固有特性只取决于系统的结构参数，而与初始条件及干扰作用无关 备注 若有部分闭环极点位于虚轴上，其余极点均位于S平面左半部，则零输入响应趋于幅振荡或恒定值，系统临界稳定，实不可取的，很容易因为系统的结构或参数细微变化转化成不稳定的系统 lim xt0，0t系统稳定；若lim xt，0t系统不稳定