第三章 函数 5.二次函数的图象和性质(含答案)

一、选择题

1、（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ）

A. （1，3） C. （-1，3）

B. （1，-3） D. （-1，-3）

2、（2019·重庆）抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（ ）

A. 直线x=2

B. 直线x=-2

C. 直线x=1

D. 直线x=-1

3、（2019·河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）

A. -2

B. -4

C. 2

D. 4

4、（2019·兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）

A. 2＞y1＞y2 C. y1＞y2＞2

B. 2＞y2＞y1 D. y2＞y1＞2

5、（2019·哈尔滨）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为（ ）

A. y=2（x+2）2+3 C. y=2（x-2）2-3

B. y=2（x-2）2+3 D. y=2（x+2）2-3

6、（2019·）要得到函数y=-

11 （x-1）2+1的图象，可以把函数y=-x2的图象（ ）

22A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

7、（2019·百色）要得到抛物线y=x2+6x+7，可把抛物线y=x2（ ）

A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度 C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

2

8、+1，（2019·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2）下列说法错误的是（ ）

到

A. y的最小值为1

B. 图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2

C. 当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D. 它的图象可以由y=x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得

9、（2019·淄博）将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是（ ）

A. a＞3

B. a＜3

C. a＞5

D. a＜5

10、（2019·河池）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（ ）

A. ac＜0 C. 2a-b=0

B. b2-4ac＞0 D. a-b+c=0

11、（2019·成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（ ）

A. c＜0 C. a-b+c＜0

B. b2-4ac＜0

D. 图象的对称轴是直线x=3

12、（2019·沈阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. abc＜0 C. a-b+c＜0

B. b2-4ac＜0 D. 2a+b=0

13、（2019·娄底）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2.其中正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

14、（2019·鄂州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

15、（2019·通辽）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

16、（2019·葫芦岛）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

17、（2019·呼和浩特）二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

18、b是非零实数，|a|＞|b|，（2019·湖州）已知a，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（ ）

A. B. C. D.

19、x+2m-4与y=x2-（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m-1）（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）

A.

518，- 77B. 5，-6 C. -1，6 D. 1，-2

20、（2019·贵阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），点B（1，1）都在直线y=

11x+上，若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是22（ ）

A. a≤-2 C. 1≤a＜

B. a＜

9 或a≤-2 8D. -2≤a＜

21、（2019·玉林）如图，抛物线C：y=

1（x-1）2-1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或2C与C1相交于点Q，向左）平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，若∠DQD1=60°，则m的值为（ ）

A. ±43 B. ±23 C. -2或23 D. -4或43 22、（2019·宜宾）已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A，与直线y=kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ）

A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形

B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60° C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形 D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形

23、（2019·福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A. y1＜y2＜y3 C. y3＜y2＜y1

B. y1＜y3＜y2 D. y2＜y3＜y1

24、（2019·资阳）如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）

A. m≥1 C. 0≤m≤1

B. m≤0 D. m≥1或m≤0

25、（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，那么c的取值范围是（ ）

A. c＜-3

B. c＜-2

C. c＜

1 4D. c＜1

二、填空题

26、（2019·哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是______．

27、（2019·荆州）二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是______．

28、（2019·白银）将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．

29、（2019·凉山州）将抛物线y=（x-3）2-2向左平移______个单位长度后经过点A（2，2）． 30、（2019·宜宾）将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______．

31、（2019·广元）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M=4a+2b+c，则M的取值范围是______．

32、（2019·天水）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b.则M，N的大小关系为M______N（填“＞”“＜”或“=”）．

33、（2019·荆门）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（-1，0），B（m，0），C（-2，n）（1＜m＜3，n＜0）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a（m-1）+2b＞0；④当a=-1时，存在点P使△PAB为直角三角形．其中正确的为______（填序号）．

34、（2019·镇江）已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是______． 35、y，z为实数，（2019·内江）若x，且x2yz4则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．

xy2z1x22xx036、（2019·雅安）函数y=的图象如图所示．若直线y=x+m与该图象恰有xx0三个不同的交点，则m的取值范围为______．

12

37、x（p＞0）（2019·大庆）如图，抛物线y=，点F（0，p），直线l：y=-p，

4p已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O.若A1F=a，B1F=b，则△A1OB1的面积为______（只用a，b表示）．

38、（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为______． 三、解答题

39、（2019·宁波）如图，二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（-2，3）． （1）求a的值和图象的顶点坐标． （2）点Q（m，n）在该二次函数图象上． ①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

40、 （2019·永州）如图，抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=-1．（1）求此抛物线对应的函数解析式；

（2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

41、（2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点． （1）求k，a，c的值；

（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．

42、（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）． （1）求b，c满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．

43、（2019·南通）已知二次函数y=x2-4x+3a+2（a为常数）．

（1）请写出该二次函数的三条性质；

（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，求a的取值范围．

44、（2019·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；

1与y轴交于点A，将点Aa（3）已知点P，a的取值范围．

121．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合图象，求，Q（2，2）

a45、y=ax2+2x-1y=kx+b，（2019·天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（a≠0）和直线l：点A（-3，-3），B（1，-1）均在直线l上．

（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

（2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；

（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

46、（2019·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x，其顶点为A. （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；

①平移抛物线y=x2-2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．

47、（2019·河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x-b与y轴交于点B；抛物线L：y=-x2+bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D. （1）若AB=8，求b的值，并求此时抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；

（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．

第三章 函数 5.二次函数的图象和性质

一、选择题

1、A 2、C 3、B 4、A 5、B 6、C 7、A 8、C 9、D 10、C 11、D 12、D 13、A 14、C 15、A 16、D 17、D 18、D 19、D 20、C 21、A 22、D 23、D 24、C 25、B 二、填空题

26、8 27、7 28、y=（x-2）2+1 29、3 30、y=2（x+1）2-2 31、-6＜M＜6 32、＜ 33、②③ 34、三、解答题

39、（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，得3=4-2a+3，解得a=2.∴二次函数的解析式为y=x2+2x+3=（x+1）2+2.∴顶点坐标为（-1，2） （2）①当m=2时，n=（2+1）2+2=11

②∵点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2.∴-2＜m＜2.∴结合图象可知，n的取值范围为2≤n＜11

40、（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，且经过点A（-3，0），∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0）．设抛物线对应的函数解析式为y=a（x-1）（x+3），把B（0，3）代入，得3=-3a，解得a=-1.∴抛物线对应的函数解析式为y=-x2-2x+3

0）B3）（2）设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b，∵点A（-3，，（0，在直线y=kx+b上，∴71ab 35、26 36、0＜m＜ 37、 38、（-1010，10102） 4443kbk1解得∴直线AB对应的函数解析式为y=x+3.过点P作PQ⊥x轴于点

b3b3.

Q，交直线AB于点M，设P（x，-x2-2x+3），则M（x，x+3），∴PM=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x.∴S△PAB=

13327327.当x=-时，S△PAB有最大值，为（-x2-3x）×3=-（x+）2+，此时点

2228282152733P的纵坐标为--2×+3=，∴△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为4822315， 2441、（1）根据题意，得二次函数y=ax2+c的图象的顶点坐标为（0，c）．将点（0，c），（1，

c4c42）2）代入一次函数的解析式，得解得将点（1，代入y=ax2+4，得2=a+4，

2k4k2.解得a=-2.∴k的值为-2，a的值为-2，c的值为4

（2）由（1）可知，二次函数的解析式为y=-2x2+4.令y=m，得2x2+m-4=0，解得x=±4m.2C两点的坐标分别为m）m）设B，（x1，，（x2，，则BC=|x1-x2|=2

4m.∴W=OA2+BC2=m2+4×24m2

=m-2m+8=（m-1）2+7.∵0＜m＜4，∴当m=1时，W有最小值，为7 2

42、（1）将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=4-2b+c，即-2b+c=0，∴c=2b

b4cb24cb2.∴b=-2m.又由（1）知，c=2b，∴c=-4m.∴n=（2）根据题意，得m=-，n=

24416m4m2==-m2-4m

4（3）如图，由（2）的结论，画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象．∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限，∴-4≤-

bb≤0.①当-4≤-≤-2，即4≤b≤8时，如图①.当x=1时，函数22b8bb28bb2.∴1+3b-=16，即取到最大值，为1+3b；当x=-时，函数取到最小值，为

244b2+4b-60=0，解得b1=6，b2=-10（不合题意，舍去）．②当-2＜-

b≤0，即0≤b＜4时，如图②.2b8bb2当x=-5时，函数取到最大值，为25-3b；当x=-时，函数取到最小值，为，∴25-248bb23b-=16，即b2-20b+36=0，解得b1=2，b2=18（不合题意，舍去）．综上所述，b的值4为2或6

43、（1）答案不唯一，如①图象开口向上；②图象的对称轴为直线x=2；③当x＞2时，y随x的增大而增大

（2）∵二次函数的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴x2-4x+3a+2=2x-1，即x2-6x+3a+3=0.∴Δ=36-4（3a+3）=-12a+24＞0，解得a＜2.∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴二次函数y=x2-6x+3a+3的图象与x轴x≤4的部分有两x2-6x+3a+3≥0.∴当x=4时，x2-6x+3a+3=3a-5≥0，个交点．结合图象（图略）可知，当x=4时，

5.∴当二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点时，a的35取值范围为≤a＜2

3解得a≥

44、（1）由题意，得A0，112，A2BB，又∵将点向右平移个单位长度，得到点，∴

aa（2）∵点A0，112，B与点关于直线x=1对称，点A，B均在抛物线上，∴抛物线

aa的对称轴为直线x=1

1＜0.结合图象（图略）可知，此时线段PQ与抛物线没有交点．②a1111当a＜0时，则-＞0.结合图象（图略）可知，此时-≤2，解得a≤-.综上所述，当a≤-aa22（3）①当a＞0时，则-时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点

1kkb1245、（1）将点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b，得解得∴直线

33kb3b.21313x-.联立y=ax2+2x-1与y=x-，得2ax2+3x+1=0.∵抛物线C222299与直线l有交点，∴Δ=9-8a≥0，解得a≤.又∵a≠0，∴a的取值范围为a≤且a≠0

88l对应的函数解析式为y=

（2）根据题意，得二次函数的解析式为y=-x2+2x-1=-（x-1）2.∵-1＜0，∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1.∵当m≤x≤m+2时，y有最大值-4，∴当y=-4时，有-（x-1）2=-4，解得x=-1或x=3.①当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x=m+2=-1时，y有最大值-4，此时m=-3；②当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x=m=3时，y有最大值-4.综上所述，m的值为-3或3 （3）

49≤a＜或a≤-2 9846、（1）对于抛物线y=x2-2x=（x-1）2-1，其开口向上，顶点A的坐标为（1，-1）；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小

（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t=t2-2t.解得t=0或3.∴“不动点”的坐标为（0，0）或（3，3）

①∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为直线x=m，与x轴的交点C的坐标为（m，0）．∵四边形OABC是梯形，∴直线x=m在y轴左侧．∵BC与OA不平行，∴OC∥AB. 又∵点A的坐标为（1，-1），点B的坐标为（m，m），∴m=-1.∴新抛物线是由抛物线y=x2-2x向左平移2个单位长度得到的．∴新抛物线对应的函数表达式为y=（x+1）2-1

47、（1）当x=0时，y=x-b=-b，∴点B的坐标为（0，-b）．∵AB=8，而点A的坐标为（0，b），∴b-（-b）=8.解得b=4.∴抛物线L对应的函数解析式为y=-x2+4x.∴抛物线L的对称轴为直线x=2.当x=2时，y=x-4=-2.∴抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标为（2，-2）

222bbbb（2）∵y=-x2+bx=-x+，∴抛物线L的顶点C的坐标为，.∵点C在l下

2424b21=-（b-2）2+1≤1.∴点C与l距离的最大值为1 方，∴C与l的距离为b-44（3）由题意，得y3=

y1y2，即y1+y2=2y3，得b+x0-b=2（-x2+bx0）．解得x0=0或x0=b-211.但x0≠0，取x0=b-.对于L，当y=0时，得0=-x2+bx，即0=-x（x-b）．解得x1=0，x2=b.∵22b＞0，∴右交点D的坐标为（b，0）．∴点（x0，0）与点D间的距离为b-b11= 22（4）①当b=2019时，抛物线L对应的函数解析式为y=-x2+2019x，直线a对应的函数解析式为y=x-2019.联立上述两个解析式，可得x1=-1，x2=2019.∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且-1和2019之间（包括-1和-2019）共有2021个整数．∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点．∴总计4042个整数点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数为4042-2=4040；①当b=2019.5时，抛物线L对应的函数解析式为y=-x2+2019.5x，直线a对应的函数解析式为y=x-2019.5.联立上述两个解析式，可得x1=-1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x-2019.5上，y取不到整数值．∴在该图象上“美点”的个数为0.∵在二次函数y=x2+2019.5x的图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知-1到2019.5之间有1010个偶数，∴“美点”共有1010个．综上所述，当b=2019时，“美点”的个数为4040；当b=2019.5时，“美点”的个数为1010