2016年七年级秋季培优讲义整式专题(一)

【知识解读】

整式加减：

1. 代数式的概念

代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.

2. 代数式的值

用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值. 3. 整式的加减

（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.

（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.

（3）单项式和多项式统称为整式.

（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.

（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.

本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等. 整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.

整式加减涉及的概念

准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点： 1. 理解四式（单项式、多项式、整式、n次m项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）

2. 掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）. 3. 熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.

整式加减的一般步骤

1. 根据去括号法则去括号. 2. 合并同类项.

【例题精讲】

【例1】（1）已知关于x、y的单项式4x2y3与单项式8xm1y2n1的和为一个单项式，求mn. （2）已知关于x、y的单项式4xbyc与单项式8xm1y2n1的和为4axnym，求abc.

12（2）已知mn4，mn1，求(2mn2m3n)(3mn2n2m)(mn4nm)的值.

【例2】（1）先化简，再求值：4x2y[6xy2(4xy2)x2y]1，其中x，y＝2.

【例3】已知多项式m(x3x23x)n(2x2x)x35是关于x的二次多项式，当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，此多项式的值.

【例4】已知多项式x2axyb与bx23x6y3的差的值与字母x的取值无关，求代数式

23(a22abb2)(4a2abb)的值.

【练1】若代数式(2x2axy6)(2bx23x5y1)的值与字母x的取值无关，求代数式

2a32b2(4a32b2)的值.

【例5】已知A3x24xycy2，Bax23xy，Cx2bxy2y2，且ABC3x2xy y2，求a、b、c.

【例6】（1）当x＝2时，代数式ax3bx1的值等于－17，那么当x＝－1时，求代数式12ax3bx35的值. （2）已知代数式ax3bxc，当x＝0时的值为2，当x＝3时的值为1，求当x＝－3时代数式的值.

（3）已知x2x1，求x42x3x22x2012的值.

【练2】如果a2a10，求a32a22的值.

【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电. 2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：

月用电量类型 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量 不超过180度 超过180度，不超过400度 超过400度 用电量180度及以下，每度电价格为0.573元； 电费标准 超过180度而不超过400度的部分，每度电价格为0.623元； 超过400度的部分，每度电价格为0.873元. 如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：

1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5（元）.

（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费 元，5月用电量为210度，则应付费

元，6月份电量为450度，则应付费 元； （2）若小华家7月份的用电量为x度，请用x表示应付的电费；

（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量； （4）若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档.

【例8】观察下面有规律的三行单项式：

x， 2x2， 4x3， 8x4， 16x5， 32x6，……① 2x， 4x2， 8x3， 16x4，

32x5，

x6，……②

2x2， 3x3， 5x4， 9x5， 17x6， 33x7，……③

（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为 ； （2）第二行第n个单项式为 ；

（3）第三行第8个单项式为 ；第n个单项式为 ；

【例9】已知(x2x16)12111a2x1a1x22ax1a是x关0a于

x的恒等式，a11a9a7a5a3a1的值.

【练3】已知(2x1)5a525xa4x4a3x3a2xa1xa0是关于x的恒等式，求a2a4的值.

求

【例10】（1）已知x，y为整数，且5|(x9y)，求证：5|(8x7y).

（2）已知x、y、z均为整数，且11|(7x2y5z)，求证：11|(3x7y12z).

【跟踪练习】

1. 单项式x3y2z的系数是 ，次数是 .

2. 已知多项式2x2ym1xy23x36是关于x、y的六次四项式，单项式3x2ny5m与该多项式次数相同，则mn＝ . 3. 3x45x2y2xy47是 次 项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 . 4. 多项式xm(n1)x1为关于x的二次二项式，则m＝ ，n＝ .

5. 已知3xm1y3与mx4yn2是同类项，则m＝ ，n＝ ，3xm1y3mx4yn2 . 43127. 已知两个多项式的和是5x22x1，其中一个多项式是2x23x5，则另一个多项式是 .

6. 如果(a1)2|b2|0，则代数式5aba3b24baa3b2b2a3的值为 . 8. 电影院里第一排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有 . 9. 某城市广场，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a米和b米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r米，则这个花坛的占地面积为 . 10.（1）化简：3x2{3x2[3x2(3x2x)2]2}2； （2）化简：x{2y4[x2(2y)3x](xy)}1；

（3）已知多项式A2x29x11，B3x25x4，求(A2B).

11.（1）(3a28a)(2a313a22a)2(a33)，其中a＝－2；

（2）若|a21||ab2|1c，且a、b、c都为正整数，求6ab5(abab)2c的值.

12. 已知m、n为正整数，单项式(n2m)xn1ym1为五次单项式，①试求m、n的值；②当x＝－1，y＝1

时，求此单项式的值.

13. 已知m、x、y满足条件：①

3215(x2)22|m2|0；②a3by1与b2a3是同类项，求代数式222222(2x3xy6y)m(3xxy9y)的值.

14. 已知多项式3x22x4与多项式A的和为6x－1，且式子A(mx1)的计算结果中不含关于x的一次

项，求m的值.

15.（1）多项式ax5bx31，当x＝2时，其值为－5，则x＝－2时，该多项式的值为多少？

（2）若4x215x50，求代数式(15x218x9)(3x219x31)8x的值. （3）若3x3x1，求9x412x33x27x2003的值.

（4）已知x＝2时，多项式ax5bx4cx3dx2exf的值和bx4dx2f的值为4和3，则当x＝－

2时，求ax5bx4cx3dx2exf的值.

16. 武汉某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件售价80元，T恤每件售价50元，厂方在开展促销活动

期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T恤x件（x＞50）.

（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T恤需付款 元（用含x的式子表示）；

若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T恤需付款 元（用含x的式子表示）； （2）若x＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的

购买方案，并说明理由.

17. 观察下面的三个数列：

①－1， ＋2， －3， ＋4， －5， ＋6，…… ②－3， 0， －5， ＋2， －7， ＋4，…… ③－2， ＋4， －6， ＋8， －10， ＋12，…… （1）这三个数列的第n个数分别是 ；

（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明

理由；

（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.

18.（1）已知a、b为整数，且n10ab，如果17|(a5b)，请你证明：17|n.

（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个

三位数也是11的倍数.