Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．２，ＰＰ．２３０—２３２ Ｊｕｎｅ ２０１ １ ＩＳＳＮ １００３—７９８５ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｖｅｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ Ｚｈｕａｎｇ Ｇｕｉｆｅｎ Ｃｈｅｎ Ｊｉａｎｌｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｍｉｎｇ ２１ １ １８９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｍ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ．ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｆｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ＝０．Ｔ＝ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔ ｍａｔｉｃｅｓ Ｐ ａｎｄ ｒｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｐ ＰＡ＝Ａ＝Ａ ． Ｔ＝ＰＡＤ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｆｌ ｍａｔｒｉｘ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｌｅｔ Ｔ＝ Ｄ ｂｅ ａ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｍｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．ｔｈｅｎ Ｔ ｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｄｅｘ ｋ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ａｎｄ Ｕ （Ｖｋ）ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ＾ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ａｎｄ Ｕ （Ｖｋ）ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａ１ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ａｎｄ Ｕ （Ｖｋ）ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｒｅｃｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｉｎｇ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ；Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ； ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅ ｄｏｉ：ｌ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３—７９８５．２０ｌ１．０２．０２５ １『．１ ｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎｄ ｕｎｌｅｓｓ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｓｐｅｃｉｉｆｅｄ，Ｒ 上ｄｅｎｏｔｅｓ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｔｙ １， （Ｒ）ａｎｄ Ｍ（尺）ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｍ×，ｚ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｉｎｇ ｏｆ ａｌｌ ｎ×ｎ ｍａｔｉｒｃｅｓ ｏｖｅｒ Ｒ．ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｇｉｖｅｎ ａｎ ｍ ｘ ｎ ｍａｔｒｉｘ Ａ ｏｖｅｒ ａ ｒｉｎｇ Ｒ，Ａ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ（ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ）ｒｅｇｕｌｒａ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｆｉｎ ｎ ｘｍ ｍａｔｒｉｘＡ—ｓｕｃｈ ｔｈａｔＡＡ Ａ＝Ａ．Ａ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｌｆ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆＡ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｙｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｒｅｇｕｌａｒ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ Ａ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ Ａ ｆ１ １．Ａｎ ｎ ｘ ｎ ｍａｔｒｉｘ Ｔ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｒｉｎｇ Ｒ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｈａｖｅ Ｄｒａ— ｚｉｎ ｉｎｄｅｘ ｋ ｉｆ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａ１ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｆ ｕｎｉｑｕｅ）ｓｏｌｕｔｉｏｎ Ｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：１） Ｔ ＝Ｔｋ“Ｚ：２１ＺＴＺ＝Ｚ：３）ＴＺ＝Ｚ ． ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｉｎｄｅｘ ｋ ｏｆ Ｔ．Ｉｆ ｋ＝１．ｔｈｅｎ Ｔ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｖ ｒ ａｎｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ Ｔ． Ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ａ ｓｑｕａｒｅ ｍａ． ｔｒｉｘ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ Ｒｅｆｓ．『１—２１．Ｃｈｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ Ｄｒａ． ｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ＧＤＨ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｉｎ Ｒｅｆ．Ｉ ４１，ｔｈｅ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｆａｃｔｏｒｉｚａ— ｔｉｏｎ ｔｏ ｈａｖｅ ａ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ．Ｍｏｔｉｖａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｔｕｄｉｅｓ．ｗｅ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ Ｐａｐｅｒ．Ｔ＝ Ｑ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ＧＤＨ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｆＰ ｉｓ ｒｉｇｈｔ ｈｉｇｈ ａｎｄ Ｄ ｉｓ ｌｅｆｔ ｈｉｇｈ．Ｐ ｉｓ ｉｆｇｈｔ ｈｉｇｈ ｉｆＰｘ＝０ ｉｍｐｌｉｅｓ ｘ：０ ａｎｄ Ｑ ｉｓ ｌｅｆｔ ｈｉｇｈ ｉｆ ｘＱ＝０ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ２０１Ｏ＿ｏｌ－２１ Ｂｉｏｇｒａｐｈｉｅｓ：Ｚｈｕａｎｇ Ｇｕｉｆｅｎ（１９７７一），ｆｅｍａｌｅ，ｇｒａｄｕａｔｅ；Ｃｈｅｎ Ｊｉａｎｌｏｎｇ （ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ），ｍａｌｅ，ｄｏｃｔｏｒ，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，ｊｌｃｈｅｎ＠ｓｅｎ．ｅｄｕ．ｃｎ． Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍｓ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒｌａ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆ Ｎｏ． １０５７１０２６．１０８７１Ｏ５ｌ１、Ｓｐｅｃｉｌａｉｚｅｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｕｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｐｒｏ— ｇｒａｍ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎｆ Ｎｏ．２００６０２８６００６，２００８０２８６００２４）． Ｃｉｔａｔｉｏｎ：Ｚｈｕａｎｇ Ｇｕｉｆｅｎ，Ｃｈｅｎ Ｊｉａｎｌｏｎｇ．Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｖｅｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ［Ｊ】．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｅｄｉ— ｔｉｏｎ），２Ｏ１１，２７（２）：２３０—２３２．ｆ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１ｏｏ３—７９８５．２０１１． ０２．０２５１ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ Ｐ Ａ＝Ｐ，Ａ ｗｈｅｎｅｖｅｒ Ｐ，Ａ ＝Ｐ Ａｐ ａｎｄ ＡＱｌ＝ＡＱ２ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ＰＡＱ１＝ＰＡＱ２．Ｃｌｅａｒｌｙ ＧＤＨ—ｆａｃ— ｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｓ．ｂｕｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｅ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅｏｒｅｍ １，ｔｈｅｏｒｅｍ ２ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｅｍ ３， ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｈａｖｅ ａ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｉｆ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ．Ｈｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｎ Ｒｅｆｓ．『６—７１ ｃａｎ ｂｅ ｄｅ— ｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅｏｒｅｍ １ Ｌｅｔ Ａ∈Ｍｍ （Ｒ）ｂｅ ａ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｔ ＝ Ｑ ｂｅ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｌｅｔ Ａ。＝Ａ，Ａ．＝ ＡＱ（ＰＡＱ） ， ＞１．Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖ— ａｌｅｎｔ： １１ Ｔ ｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｄｅｘ足： ２１ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ａｎｄ Ｕｋ＝Ａ Ａ ｋＱＴＰＡ ｋ＋ｌ ｎ—Ａ Ａｋｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ； ３）ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ａｎｄ Ｖｋ＝Ａ ＱＴＰＡ Ａ ＋Ｊ 一Ａ Ａ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＴＤ ＰＡ Ｑ＝ＰＶ； Ａ Ｑ：Ｔ“ ＰＡ Ｕｉ Ｑ＝ Ｐ Ａ Ｑ “’＝Ｔ“‘Ｐ Ａ Ｏ＝ ｅｖ； Ａ ａＴ“ Ｐｒｏｏｆ １）甘２） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｔ ｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ １ｎｄｅｘ ｋ，ｌｅｔ Ｚ＝Ｔ ，ｔｈｅｎ Ｔ ＝Ｔ Ｚ Ｔ ａｎｄ ＰＡ女Ｑ＝ＰＡｔＱＺ ＰＡ Ｑ．Ｓｉｎｃｅ Ｔ＝ＰＡＱ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ＰＡ Ｑ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｇｅｎ— ｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｓｏ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ Ａ ＝Ａ ＱＺ ＰＡ ，ｉ． ｅ．，Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ．Ｌｅｔ Ａ ∈Ａ ｛１｝，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｒｅｆ．『１１，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ （Ａ』『Ａ ＱＴＰＡ ）（Ａ Ａ Ｑｚ“ ＰＡ ）“ ＝Ａ Ａ ａｎｄ （Ａ Ａ ＱＺ“ ＰＡ ）“ （Ａ Ａ ＱＴＰＡ ）＝Ａ Ａ Ｓｏ Ａ Ａ ＱＴＰＡ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ ｉｎ Ａ；Ａ （Ｒ）Ａ［Ａｔ．Ｂｙ ｔｈｅｏ— ｒｅｍ １ ｉｎ Ｒｅｆ．【８】，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈａｔ ＝Ａ ＡｔＱＺ ｌＡ ＋Ｊ 一 Ａ Ａ ｉｓ ｉｎＶｅｒｔｉｂｌｅ ｉｎ （尺）．ＣｏｎＶｅｒｓｅｌｙ，ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔ ｉｓ ｉｎｖｅｎｉｂ１ｅ，ａｎｄ １ｅｔ Ｚ＝ＰＡ ｔ ’Ｑ．Ｆｉｒｓｔ，ｗｅ ０ｂｔａｉｎ Ａ ＝Ａ Ｑ Ａ Ａ Ｕ ＝Ａ Ａ Ｑ ＝ Ａ Ａ Ａ Ａ ＝Ａ Ａ 』『’ ¨ｚ＝Ｐ（Ａ Ｑ ）Ｕ Ｑ＝ ｌＡ Ｑ＝ｒ， Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｖｅｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ Ｎｅｘｔ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＺＴＺ＝ＰＡ （Ａ ＡｔＵ ）ＱＴＰＡ Ｑ＝ ＰＡ ｋＵ １ ０Ａ Ａ ｋＱＴＰＡ Ｕ １Ｑ：ｚ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｕ２ ：（Ａ Ａ ＱＰＡ ＋ｊ ～Ａ；Ａｔ）・ （ＡｋＡ ＱＴ２ＰＡ ＋Ｊ 一Ａ；Ａ ） ＝（Ａ Ａ ＱＴ２ＰＡ ＋Ｉｎ－ＡｉＡ ）・ （Ａ；Ａ ＱＰＡ ＋Ｉｎ—ＡｉＡ ） Ｕｋ＝Ａ；Ａ ＱＰＡ ＋ｊ 一Ａ；Ａｔ Ｓ＝Ａ Ａ ＱＴ２ＰＡｋ＋Ｉ 一Ａ Ａ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＝ ・Ｓ＝Ｓ・ Ｓｉｎｃｅ Ｕｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ，ｓｏ ｉｓ Ｕｋ ａｎｄ ＝ Ｓ＝ｓｕｉ ． Ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＴＺ＝ＰＡｔ Ｑ＝ＺＴ．Ｈｅｎｃｅ， ＝ＰＡ ｋＵ Ｑ． ２） ）Ｌｅｔ ａｉ∈Ａ ｛Ｉ｝，ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｕｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉ— ｂｌｅ．Ｔｈｅｎ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １ ｉｎ Ｒｅｆ．［８】，Ａ Ａ ＱＴＰＡ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔ— ｉｂｌｅ ｉｎ Ａ Ａ Ｍ （Ｒ）Ａ Ａ ，ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ Ｚ∈Ｍｎ（Ｒ）ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＡｉＡ ＱＴＰＡ ＺＡ；Ａ ＝Ａ Ａ ＝Ａ；Ａ ＺＡ Ａ ＱＴＰＡ ． Ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ Ａ ｋ ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｆｔ ｓｉｄｅ ａｎｄ Ａ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｓｉｄｅ， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ Ａ ＺＡｋＡ ｉｓ ａｎ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ Ａ女ＱＴＰＡ Ａ ｉｎ Ａ Ａ Ｍｍ（Ｒ）Ａ ｋ一．ＳＯ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １ ｉｎ Ｒｅｆ．［８］， ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｅ ｉｓ ａｎａｌｏｇｏｕｓ．Ｓｉｎｃｅ Ａ Ｕｋ＝Ａ ＱＴＰＡ ＝ ｈｅｎｃｅ Ｔ ＝ＰＡ Ｕｉ Ｑ＝ＰＶ； Ａ Ｑ Ａｎｄ Ａ ｋｖｌ ：Ａ ＱＴＰＡ Ｕ ２ Ｔ ＝Ｔ“ ＰＡ Ｑ Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，ｗｅ ｈａｖｅ ｒ Ｐｖ ２Ａ ＱＴｋ’ Ｗｅ ａｌｓｏ ｏｂｔａｉｎ ‘． “ＰＡ Ｑ：ｅｖｌ Ａ ＱＴｋ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２ Ｌｅｔ Ａ∈Ｍｍ （Ｒ）ｂｅ ａ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ Ｔ＝ＰＡＱ ｂｅ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｌｅｔ Ａ１＝Ａ，Ａ ＝ ＡＱ（ＰＡＱ） ～ＰＡ．ｉ＞１．Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖ． ａｌｅｎｔ： １）Ｔｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｄｅｘ ； ２３１ ２）ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒｌａ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｈｔａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ｎａｄ Ｕ ＝Ａ Ａ ＱＰＡ ＋Ｉ 一Ａ Ａｔ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ； ３）ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ｎａｄ ｖ ｋ＝Ａ ｋＱＰＡ ＋Ｉ ｎ—Ａ ｋ—ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ Ｄ．＝ ＰＡ Ｑ＝Ｔｋ 尸 Ａ Ｑ＝ 、 ｌＡ『Ｕ；、Ｑ Ｐｒｏｏｆ Ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １，ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ ｉｆｆ Ｕｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ＝ ・Ｓ＝Ｓ・ ｗｈｅｒｅ Ｓ：Ａ Ａ ｋＱＴ２ＰＡ ｋ＋Ｉ —ｎＡ；Ａ ｋ．Ｓｏ ｉｆ Ｕｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ， ｈｔｅｎ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ：Ａ』『Ａ Ｑ ｐ－１）ｋＰＡ￡＋， 一Ａ Ａ ｎａｄ Ｓ ＝ＡｉＡ Ｑ 一 ＰＡ ＋， 一Ａ；Ａ Ｌｅｔ Ｐ＝ｋ＋２，ｑ＝ｋ，ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ＝Ｓ ．Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ，ｓｏ ｉｓ Ｓ，ｔｈｕｓ，Ｕｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ．Ｎｏｗ ｗｅ ｐｒｏｖｅ Ｔｋ～ＰＡ Ｑ．Ｆｉｒｓｔ，ＵｋＳ～＝Ｓ－Ｚ ，ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １， Ｔｔ，Ｉ＿ “ＰＡｔＳ Ｑ．ｓｉｎｃｅ ＰＡ Ｓ＝Ｔｋ“ＰＡ ＝Ｔ２ＰＡ ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＰＡ ＝Ｔ２ＰＡ Ｓ ＰＡ Ｑ＝Ｔ２ＰＡ Ｓ Ｑ Ｔｈｕｓ Ｔ ＝ＴｋＩ１（ ＳＩ１ Ｑ）＝Ｔｋ＿。ＰＡ Ｑ Ｓｉｎｃｅ Ａ ＝Ａ ＱＰＡ ＝ＬＡ ，Ａ ： Ａ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ Ｔ ＝ Ａ Ｑ：Ｔｋ Ａ Ｑ Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ １ Ｌｅｔ Ｔ∈Ｍｎ（Ｒ），ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ｒａｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ： １）Ｔ ｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｄｅｘ ： ２１ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ｎａｄ ＝（Ｔｋ）～Ｔ２ Ｉ 一（ ）一Ｔｋ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ； ３ １ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｔ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｒ ｎａｄ ＝ （Ｔ ）一＋Ｉ 一Ｔ （Ｔ ）一ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ Ｔ ＝ “ｌ ２＝Ｔｋ。’￣Ｖ ２Ｔｋ：Ｔｋ １ Ｔｋ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３ Ｌｅｔ Ａ∈Ｍ…（Ｒ）ｂｅ ａ ｓ。ｑｕａｒｅ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｔ＝ＰＡＱ ｂｅ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｌｅｔ Ａ１＝Ａ，Ａｆ＝ ＡＱ（ＰＡＱ） ＰＡ。ｉ＞１．Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕｉｖ— ａｌｅｎｔ： １）Ｔ ｈａｓ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｄｅｘ ； ２）ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒｌａ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔＡ ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ｎａｄ ＝Ａ ＡｔＱＰＡ＋Ｉ 一Ａ Ａ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ； ３）ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｎａｔｕｒｌａ ｎｕｍｂｅｒ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ａ｝ｉｓ ｒｅｇｕｌｒａ ２３２ Ｚｈｕａｎｇ Ｇｕｉｆｅｎ ａｎｄ Ｃｈｅｎ Ｊｉｎｌａｏｎｇ ａｎｄ ＝ＡＱＰＡ ＋ｌ 一Ａ ｉｓ ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ Ｔ＝Ｊ Ｔ／ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ．Ｎｏｗ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ １ ｎｄ ｔａｈｅｏｒｅｍ ３，ｗｅ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ １，２ ａｎｄ ３ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＝ＰＡ ￡， “ Ｑ＝Ｐ “ Ａ Ｑ ，ｏｎ ｔｈｅ ｉｎ Ｒｅｆ．【６】．Ａｎｄ ｗｅ ａｌｓｏ ｏｂｔｉａｎ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏＮ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｐｒｏｏｆ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ａ ＝Ａ ＱＰＡ＝ＡＱＰＡ ＝ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ，（ ） ＝Ａ［ＡＱＰＡ ＱＰＡ＋， 一ＡｆＡ ＝ ＡｋＡ ＱＴＰＡ＋Ｉ 一Ａ Ａ ．Ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ，ｗｅ ｏｂｔｉｎ ａ（ ） ：Ａ Ａ ＱＴ ＰＡ＋Ｊ 一ＡＫＡ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ 【１】Ｃｈｅｎ Ｊ Ｌ．Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ【Ｊ】． ＮｏｒｔｈｅａｓｔＭａｔｈ １９９６，１２（４）：４３１—４４Ｏ． ［２】Ｇｏｕｖｅｉａ Ｍ Ｃ，Ｐｕｙｓｔｊｅｎｓ Ｒ．Ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅ ａｎｄ Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ【Ｊ】．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ Ａｐ— ｐｌ，１９９１，１５０：３６１—３６９． （ ） ＝ＡＩＡ ＱＴｋ ＰＡ＋ —Ａ Ａ ＝ Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ（ｆ／ｋ） ＝ ．Ｓｏ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ２，（１）铸（２）甘（３） Ｓｉｎｃｅ Ａ ＝Ａ ＱＰＡ，ｔｈｅｎ ＰＡ ＝ＰＡ ＱＰＡ ’＝ＴＰＡ Ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ２， ［３】Ｃｈｅｎ Ｊ Ｌ．Ｇｒｏｕｐ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ａｎｄ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｖｅｒ ｒｉｎｇｓ【Ｊ】．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｉｎｉｃａ，１９９４，３７（３）：３７５—３８０． 【４】Ｊｉｎｇ Ｓ Ｙ，Ｌｉｕ Ｘ Ｊ．Ｇｅｎｅｒａａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｈ ｔｕｎｉｖｅｒｓｌａ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ１．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｉｎｉｃａ，１９９９，４２（２）： ２３３—２４０． 【５】Ｃｈｅｎ Ｊ，Ｃｈｅｎ Ｊ Ｌ．Ｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅｓ ｏｆ ｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｗｉｔｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ—ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ【Ｊ】，Ａｃｔａ Ｍａｔｈ Ｓｉｎｉｃａ，２００ｌ， ＾＝Ｔｋ。。ＰＡ ｆ Ｑ＝Ｔｋ （ＴＰＡ ＰＡ Ｓｉｎｃｅ Ａ ）Ｄｆ “ Ｑ＝…＝ ４４（５）：９０９—９１６． 【６】Ｃｈｅｎ Ｊ Ｌ，Ｗｅｉ Ｙ Ｍ．Ｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｓｅ 【Ｊ】，ＮｏｒｔｈｅａｓｔＭａｔｈ ２００６，２２（１）：１５—２０． “ Ｑ 、＝ 、Ａ ，［７】Ｐｕｙｓｑｅｎｓ Ｒ，Ｇｏｕｖｅｉａ Ｍ Ｃ．Ｄｒａｚｉｎ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｏｖｅｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｉｎｇ［Ｊ】．Ｌｉｎｅａｒ Ａ ｅｂｒａ Ａｐｐｌ，２００４，３８５： ｗｅ ｏｂｔｉｎ ｐ＝ ａ１Ａ ｋＱ． １０５—１１６． Ｌｅｔ Ａ∈Ｍ…（Ｒ）ｂｅ ａ ｓｑｕａｒｅ ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ Ｔ：ＰＡＱ ｂｅ ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｍ ２ ｗｅ ｃａｎ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ 【８】Ｐａｔｒｉｃｉｏ Ｐ，ＰｕｙｓＯｅｎｓ Ｒ．Ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｔｉｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｔｗｏ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ａ ｒｉｎｇ［Ｊ】．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ Ａｐｐｌ，２００４，３７７： 】２５一】３９． ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ Ｒｅｆ．［７】．Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａｎｙ Ｔ∈ （Ｒ）， 环上矩阵的Ｄｒａｚｉｎ可逆性 庄桂芬 陈建龙 （东南大学数学系，南京２１ｉ１８９） 摘要：为了研究任意环上具有广义分解的矩阵的Ｄｒａｚｉｎ可逆性，利用广义分解的一些性质，给出了任意环上具有 广义分解的矩阵的Ｄｒａｚｉｎ可逆的充分必要条件：设Ｔ＝ＰＡＱ为具有广义分解的矩阵，则Ｔ的Ｄｒａｚｉｎ指标为ｋ当 且仅当ｋ为使得Ａ 正则且Ｕｋ（ ）可逆的最小自然数当且仅当ｋ为使得Ａ 正则且Ｕ （Ｖｋ）可逆的最小自然数 当且仅当ｋ为使得Ａ 正则且 （ ）可逆的最小自然数．同时给出了几种计算Ｄｒａｚｉｎ逆的公式，推广了任意环 上具有泛分解的矩阵Ｄｒａｚｉｎ逆的结果． 关键词：环；广义分解；Ｄｒａｚｉｎ逆；群逆 中图分类号：Ｏ１５３．３
