二次函数综合性培优训练题及答案(供参考)

1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线yxm 与该二次函数的图象交于A、B两点，其

中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，

设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四

边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

y

A P

D

E B

O C x

图1

2、如图2，已知二次函数yax24xc的图像经过点A和 点B．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到

x轴的距离

y

－1 O 3 x －1 －9 图2

3、如图3，已知抛物线yax2bxc经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB，过点B作BC∥x轴交该抛

物线于点C.

（1） 求这条抛物线的函数关系式.

（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为t（秒) (0＜t＜4)，△PQA的面积记为S.

① 求S与t的函数关系式；

② 当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

③ 是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. y

B C

Q

x O P A

图3

4、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.

S(万元) 根据图象提供信息，解答下列问题：

（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；

（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式； 4 3 （3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；

2 （4）求第8个月公司所获利是多少元？ 1 0 1 2 3 4 5 6 t(月)

-1

-2 -3 图4

5、如图5，已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.

（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC

⊥x轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（t,0），四边形ABCD的面积为S.

① 求S与t之间的函数关系式.

② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？

③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.

y D y C 1 1 A O E B x O E x

图5 备用图

6)如图6，抛物线yx2x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边

形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

2图6

4与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B1,0. x4与x轴交于点A，

3（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

3（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C的路线

27、如图7，直线y运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S .

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = .

yMCBOAx图7 8、如图8，抛物线yx2bxc与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上 滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标； (3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上

是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标； 若不存在，请说明理由.

图8

22

9、如图9、已知抛物线y=x+(2n-1)x+n-1 (n为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

y2

10、如图10，已知点A(0,8)，在抛物线y1x2上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在

2抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限. (1)求BC的长；

(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7. (3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将 ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式. y A D C B x O 图10

11、一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是yax2c的形式. 请根据所给的数据求出

a,c的值.

（2）求支柱MN的长度.

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

10米 5米 M N 6米

二次函数综合题训练题型集合答案

1、 (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，

∴ 4=3+m. ………………………………（1分） ∴ m=1. ………………………………（2分）

2

设所求二次函数的关系式为y=a(x-1). ………………………………（3分）

2

∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)的图象上，

2

∴ 4=a(3-1),

∴ a=1. ………………………………（4分）

2

∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1).

2

即y=x-2x+1. ………………………………（5分） (2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .

∴ PE=h=yP-yE ………………………………（6分）

2

=(x+1)-(x-2x+1) ………………………………（7分）

2

=-x+3x. ………………………………（8分）

2

即h=-x+3x (0＜x＜3). ………………………………（9分） (3) 存在. ………………………………（10分）

解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分） ∵ 点D在直线y=x+1上, ∴ 点D的坐标为(1,2),

2

∴ -x+3x=2 .

2

即x-3x+2=0 . ………………………………（12分） 解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分） 解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE. ………………（11分） 设直线CE的函数关系式为y=x+b. ∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b, ∴ b=-1 .

∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .

2yx1∴  得x-3x+2=0. ………………………………（12分）

2yx2x1解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分） ∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分）

2、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入yax24xc得

1a(1)24(1)c,a1,2解得 9a3243c.c6.∴二次函数的表达式为yx4x6．

（2）对称轴为x2；顶点坐标为（2，-10）．

（3）将（m，m）代入yx24x6，得 mm24m6， 解得m11,m26．∵m＞0，∴m11不合题意，舍去．

∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴x2对称，∴点Q到x轴的距离为6． 3、（1）∵ 抛物线yax2bxc经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)，

16a4b0343∴  .解得 a,b,c0 . ………（2分） 9a3b333c03243xx. ………………（3分） 33(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)

∴ 所求抛物线的函数关系式为y（2）① 过点B作BE⊥x轴于E，则BE=3，AE=1，AB=2.

BE3，得∠BAE =60°. …………（4分） AE （ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜t≤2时，QA=t，PA=4-t.

y 3过点Q作QF⊥x轴于F，则QF=t，

2 B C 由tan∠BAE=

Q ∴ S=

1PA·QF 213(4t)t 2232t3t. ……（6分） 4 （ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤t＜4时，Q点的纵坐标为3，PA=4-t.

31这时，S=(4t)3t23. ……………………（8分）

22②（ⅰ）当0＜t≤2时，S ∵ 323t3t(t2)23. 4430，∴ 当t=2时，S有最大值，最大值S=3. ……（9分） 43（ⅱ）当2≤t＜4时，St23

2 ∵ 30， ∴ S随着t的增大而减小. 232233. 2∴ 当t=2时，S有最大值，最大值S 综合（ⅰ）（ⅱ），当t=2时，S有最大值，最大值为3.

△PQA是等边三角形. ③ 存在.

当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-t=2t，

∴ t4.

31023∴ P、Q两点的坐标分别为P1(4,0)，Q1(,). ……（13分）

333当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-t和t，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-t=t，

∴ t5

255∴ P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,3). ………………（14分） 22(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. ………………………（1分） （2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，

2

故可设其函数关系式为：y=a(t-2)-2. …………（2分 ∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得

a(t-2)-2=0，解得a=1 . ……（4分）

22

22

∴ 所求函数关系式为：S=1t-2)-2或S=1t-2t. …………（6分）

2222

（3）把S=30代入S=1t-2)-2，得1t-2)-2=30. …………（7分）

22 解得t1=10，t2=-6（舍去）. ……………………（8分）

答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. ………………………（9分）

2

（4）把t=7代入关系式，得S=1×7-2×7=10.5 ……………………………（10分）

2 把t=8代入关系式，得S=1×8-2×8=16

2 16-10.5=5.5 …………（11 答：第8个月公司所获利是5.5万元. ………………………………（12分） 2

5、（1）∵ 抛物线yax2bxc顶点为F（1,0）

∴ ya(x1)2 ………（1分） ∵ 该抛线经过点E（0,1） ∴ 1a(01)2

∴ a1

∴ y(x1)2，

D y C 1 P E B x

A O 即所求抛物线的函数关系式为yx22x1. ………（3分）

（2）① ∵ A点的坐标为（t,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上，

∴ B、C、D点的坐标分别为(t+4,0)，(t+4, (t+3))，(t,(t-1)). …（5分） ∴ S2

2

11(ADBC)AB[(t1)2(t3)2]44t28t20.………（7分） 22② S4t28t204(t1)216. ………（8分） ∴ 当t=-1时，四边形ABCD的最小面积为16， ………（9分）

此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形. ………（10分） ③ 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小. ………（11分） ∵AE=4（定值），

∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.

∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,

∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点. ∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） ∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.

∴ P(5,4) ………（13分）

33在Rt△CEB中，CE=224225,

∴ △PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+25. ………（14分）

6、解：（1）令y=0，解得x11或x23（1分）

∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）

将C点的横坐标x=2代入yx2x3得y=－3，∴C（2，－3）（1分） ∴直线AC的函数解析式是y=－x－1

（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分） 则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）

2E（(x,x2x3)（1分）

∵P点在E点的上方，PE=(x1)(x2x3)xx2（2分） ∴当x22219时，PE的最大值=（1分） 24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(3,0),F3(47),F4(47) 1(17、解：（1）令x0，则y4； 令y0则x3.∴A3,0、C0,4 ∵二次函数的图象过点C0,4， ∴可设二次函数的关系式为

yax2bx4 ┄1分

又∵该函数图象过点A3,0、B1,0

∴09a3b4,┄2分

0ab4.48，b 33428xx4 ┄3分 33解之，得a∴所求二次函数的关系式为y428xx4 334162=x1

33（2）∵y∴顶点M的坐标为1,16 ┄4分 3yM过点M作MFx轴于F

C∴S四边形AOCMSAFMS梯形FOCM =

E116116314110 2323BOFDAx∴四边形AOCM的面积为10 ┄6分 （3）①不存在DE∥OC ┄7分

∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时 1x134t412t12，∴x1 ∵DE∥OC， 5512t1238t ∴t ┄8分 523∵t8>2，不满足134524（秒） ┄10分 31142现分情况讨论如下： ⅰ当0 ⅱ当1∴

y2454t43616t，∴y2 55133616t1227tt2t ┄12分 225553616t24ⅲ当2 511∴S设点D的坐标为x4,y4

3t3y4∴， 2456t12∴y4

5∴SSAOESAOD

ByMCEDAOx13616t16t12 3325253372=t ┄13分

55243③S0 ┄14分

8010、（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC. ∵A(0,8),

∴设D点坐标为(x1,8), 代入y1x2中， 得x1=±4. 2 又∵D点在第一象限，

∴ x1=4，∴ BC=4. y （2）∵C(2,2)，D(4,8)，

D A ∴直线CD的函数关系式为y=3x-4. 设点P在线段CD上，P(x2,y2)，

∴y2=3x2-4. ∵AD=BC=4,

∴1×4(8-y2)=7， ∴y2=9. 22E B O C x ∴3x2-4=9， ∴x2=17. ∴P(17,9),

2662即当点P在(17,9)的位置时，△DAP的面积是7.

62 （3）连接AC，当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为 ABCD 的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将 ABCD分成面积相等的两部分. 设直线OE的函数关系式为y=kx,

∴k=5，∴直线OE的函数关系式为y=5x.

11、(1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

6c,将B、C的坐标代入yax2c，得  0100ac.y 解得a3,c6. C 50∴抛物线的表达式是y3x26. H 50D E (2) 可设N(5,yN)，

G B x O A 于是yN35264.5. 图12-2 50从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，

则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3). 过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH3726313.

5050根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

报童卖报问题

1某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出价格的每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社，经验表面，在一个月内（30天）里。有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份，该报亭每天从报社买进报纸的份数相同。

这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？

解：设该报亭每天从报社买进报纸x份，所获利润为y元， 根据题意得

y=20×(0.50-0.30)×150+20×(0.10-0.30)(x-150)+10×(0.50-0.30)x. 即y = - 2x + 1 200(150 ≤ x ≤ 200).

由k， = - 2 < 0可知，当150 ≤ x ≤ 200时，y随x的增大而减小 所以当x = 150时，y有最大值. 其最大值为 - 2×150 + 1 200 = 900(元).

2如图,双曲线y=k/x经过Rt△OMN斜边上的点A,与直角边MN相交于点B,已知OA=2AN,△OAB 的面积为5，则k的值是？

解答：方法一：

过A点作X轴的垂线，垂足为C点， 设OC=2a，则由比例关系得：CM=a， ∴OM=3a，

∵A、B两点都在双曲线y=k／x上， ∴AC=k／﹙2a﹚，BM=k／﹙3a﹚，

∴△OAB面积=△OAC面积＋梯形ACMB面积－△OBM面积

=½×2a×k／﹙2a﹚＋½×[k／﹙2a﹚＋k／﹙3a﹚]×a－½×3a×k／﹙3a﹚=5 解得：k=12 方法二：

关键：OA=2AN A与B x轴坐标比为2/3 过A点作X轴的平行线，交MN为D点 那么A(2a ,k/2a) B(3a,K/3a)

S⊿OAB=S梯形OADM-⊿ABD-⊿OMB=1/2（a+3a)*k/2a-1/2*a*(K/2a-K/3a)-1/2*3a*K/3a=5 k=12

3一组割草人去割两块草地，他们的工作效率都相等，大块草地是小块草地的两倍。上午全组人都在大块草地上割草，下午分成两组，一半人继续在大块草地上割草，到傍晚时恰好割完。另一半人到小块草地上割草，到傍晚时还剩下一小块。这小块若由一个人去割，正好一天可以割完。请你想办法算一算这组割草人共有多少人?

上午是1组人 ，下午是1/2组人 割完了 所以大草地3/4组人1天割大草地的 大草地是小的2倍

所以小草地割完 3/8组人干一天

实际只有1/2组干了半天，所以割了1/2÷2＝1/4 3/8 和1/4组的差是1个人干一天 所以一共

1÷（3/8-1/4）＝8人

|合作机构：

解：设有x个人，每人的工效为1,则有： x/2+x/4=2(x/4+1)

2x+x=2x+8 x=8

答：有8人。

假设全部的人员为A，那么可以梳理出来：

大块的地：总计干的工时为： A * 0.5天 + A/2 * 0.5天 = 全部工作量

小块的地：总计干的工时为： A/2 * 0.5天 +1 （表示1人干一天） = 全部工作量 由于条件: 大的比小的大一倍

总公式为： A * 0.5 + A/2 * 0.5 = 2 * （A/2 * 0.5天 +1） 然后2边想抵消 得出 ：得出： A = 8 人

A/2 * 0.5 = 2