曲线运动专题

本章知识点主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试卷，学习过程中应加强综合能力的培养。

一、夯实基础知识

1、深刻理解曲线运动的条件和特点

（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。

1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就（2）曲线运动的特点：○是通过这一点的曲线的切线方向。②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方

3做曲线运动的质点，向是不断变化的。○其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。 2、深刻理解运动的合成与分解

物体的实际运动往往是由几个的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

1分运动的性；○2运动的等效性（合运动和分运运动的合成与分解基本关系：○

3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、动是等效替代关系，不能并存）；○位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）

3.深刻理解平抛物体的运动的规律 （1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。

（2）．平抛运动的处理方法

通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

(3)．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度V0方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图1所示的坐标

图1

系，在该坐标系下，对任一时刻t.

①位移

分位移xV0t,y1gt12gt,合位移s(V0t)2(gt2)2,tan.

22V02为合位移与x轴夹角.

②速度

1 / 13

22分速度VxV0, Vy=gt, 合速度VV0(gt),tangt. V0为合速度V与x轴夹角

(4)．平抛运动的性质

做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。 4.深刻理解圆周运动的规律

(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。

(2)．描述匀速圆周运动的物理量

①线速度v，物体在一段时间内通过的弧长S与这段时间t的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t。线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。

②角速度，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间t的比值叫做匀速圆周运动的角速度。即=θ/t。对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s。

③周期T和频率f

(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:V2r2frr T(4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受

V2422mrm2r42mf2r. 合外力提供。FnmanmrT5.深刻理解万有引力定律

1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，（1）万有引力定律：○

2公式：FG跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。○

-11

2

2

m1m2， 2r3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互G=6.67×10N.m/kg.○

作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。

1讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况：（2）万有引力定律的应用：○ 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G

Mm。所以重力加速度g= 2(Rh)G

M2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周，可见，g随h的增大而减小。○2(Rh)2 / 13

期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量

3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速M。○

GMV2MmMm度、周期、动能、动量等状态量。由G2=m得V=，由G2= mr(2π

rrrr/T)得T=2π

2

GMMm121Mmr3。由G2= mrω2得ω=，由E=mv=G。 k

r322rrGM1第一宇宙速度V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；○2第(3)三种宇宙速度：○

二宇宙速度V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

二、重点难点

1．平抛运动与类平抛运动：

求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析：在初速度方向加速度为零，以初速度做匀速直线运动；在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度，做静止开始的匀加速直线运动，加速度的大小由合外力决定．通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解．

2．圆周运动中的向心力：

向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力向心力是按力的作用效果来命名的，故在分析做圆周运动的物体受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力，但对各种情况下向心力的来源应明确．

圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择．

42F = m = mrω = mω = mr2 = 4π2mrf2

rT2

υ2

3．圆周运动中的临界问题:

（1）没有别的物体支持的质点做圆周运动，如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在竖直平面内做圆周运动，在通过轨道最高点时的速度的临界值为υ = Rg．当υ≥Rg时，物体能通过最高点。当υ＜Rg时，物体还没有到最高点时，就脱离了轨道．

（2）受别的物体约速的质点做圆周运动，如套在圆环上的物体，有轻杆或管约束的物体在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，物体通过最高点的速度可以为任何

3 / 13

值，即υ≥0．当υ＞Rg时，环、杆或管对物体的作用力方向向下；当υ= Rg时，没有作用力；当0＜υ＜Rg时，作用力方向向上．

4、研究天体运动的基本方法：

研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．（

υm1m2即 G2 = m2 = m2ω2r = m2

rr

2

22

）r T5、卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系

GM1

，即线速度 υ∝；②ω = rr

GM1

。 3，即角速度ω∝rr3①υ=

4242r3T2GM3③T = ，即周期T∝r，或3 = ，即开普勒第三定律。④a = 2，即rrGMGM1

向心加速度a∝2 r6“双星”和“黑洞

“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力．

黑洞”是近代引力理论预言的一种特殊天

体，它的质量十分巨大，以致于其脱离速度有可能超过其空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出．已知物体从地球上的脱离速度（即第二宇宙速度）是υ= 2GM

R≤2．

c

2GM，故一个质量为M的天体，若它是一个黑体，则其半径R应有：R

一、基础训练题

1．关于力和运动，下列说法中正确的是 ( ABD ) A．物体在恒力作用下有可能做曲线运动

4 / 13

B．物体在变力作用下有可能做直线运动 C．物体只有在变力作用下才可能做曲线运动 D．物体在恒力或变力作用下都有可能做曲线运动

2．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内 (B ) A．速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变 B．速度一定在不断地改变，加速度可以不变 C．速度可以不变，加速度一定不断地改变 D．速度可以不变，加速度也可以不变

3．关于两个互成角度(0，180)的初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（CD）

A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动

C．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．一定是匀变速运动

4．如图，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4m/s，则船从A点开出的最小速度为 （ B ） A．2m/s B．2.4m/s C．3m/s D．3.5m/s

5、如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：（ D ）

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度； C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c； D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 错解：c加速可追上b，错选C。

分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小

均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由V2

a 地球 c 图21

b GM/r知，Vb=Vc错；由加速度a=GM/r可知ab=ac2

当c加速时，c受到的万有引力F2

速时，b受到的万有引力F>mv/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。对这一选项，不能用V5 / 13

GM/r来分析b、c轨

道半径的变化情况。

对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由VGM/r知，r减小时V逐渐增大，故D选项

正确。典型错误：混淆稳定运动和变轨运动

二、巩固训练题

1．如图，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是（ C ）

A．形变量越大，速度一定越大C．形变是为零，速度一定不为零

．形变量越大，速度一定越小 ．速度为零，可能无形变

2．（如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；B、C处物块的质量相等，为m，A处物块的质量为2m；A、B与轴O的距离相等，为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（ ABC ）

A．C处物块的向心加速度最大 B．B处物块受到的静摩擦力最小

C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块 D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块

3．两个正、负点电荷，在库仑力的作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法中正确的是（ BC ）

A．它们所受的向心力大小不相等B．它们做匀速圆周运动的角速度相等

C．它们的线速度与其质量成反比．它们的运动半径与电荷量成反比

4、人造卫星不但可以探索宇宙，把它和现代的遥感设备相结合，还可快速实现地球资源调查和全球环境监测。下列不同轨道卫星，适宜担当此任务的是（C） A.同步定点卫星 B.赤道轨道卫星 C.极地轨道卫星 D.太阳同步卫星 5、由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许

6 / 13

多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱F

的物理量是电场强度，其定义式为E = ，在引力场中可以有一 个类似的物理量来反

q映各点引力场的强弱．设地球质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 （AD）

A．G

Mm

B．G(2R)2(2R)2

．G

Mmg

D．

4(2R)26、在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为

（ A ）

A．20dh B．0dhC．20hdh D．0d

7、氢原子中的电子绕原子核旋转和人造地球卫星绕地球旋转相比较（不计算空气阻力），正确的是（AB）

A．轨道半径越大，线速度都越小B．轨道半径越大，周期都越大

C．电子从内层轨道向外层轨道跃迁时，总能量（动能和电势能）不变，人造卫星从远地点向近地点运动时，总能量（动能和重力势能）也不变

D．电子可以在大于基态轨道半径的任意轨道上运动，卫星可以在大于地球半径的任意轨道上运动

8、某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则（ B ）

A．r1＜r2，Ek1＜Ek2B．r1＞r2，Ek1＜Ek2

．r1＜r2，Ek2＞Ek2D．r1＞r2，Ek1＞Ek2

9、．在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O在匀强磁场

中做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，其俯视图如图所示．若小球运动到A点时，绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的是（ A ）

A．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，半径不变

7 / 13

B．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，周期一定不变 C．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，速度增大 D．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，但半径减小 10、．如图所示，绝缘细线拴住一带负电的小球，在方向竖直向下的匀强电场中的竖直平面内做圆周运动．则正确的说法是（ C ）

A．当小球运动到最高点a时，细线的张力一定最小 B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大 C．小球可能做匀速圆周运动 D．小球不可能做匀速圆周运动 三、综合应用题

1、如图23所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满足的条件。

错解1:VmML 0m5gL

V0 错解2:VmM0m2gL

图23

分析纠错：子弹击中木球时，由动量守恒定律得：

mV0=(m+M)V1 下面分两种情况：

（1）若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：

(mM)g(mM)V22/L

由机械能守定律得：

12(mM)V2122(mM)V212(mM)gL 由以上各式解得：V0mMm5gL.

(2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L时满足：

12(mM)V21(mM)gL 解得：VmM0m2gL. 8 / 13

所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动，V0应满足的条件是：

V0mMm5gL或V0mMm2gL

但是，审题时不少学生对上述的两个物理过程分析不全，不是把物理过程（1）丢掉，就是把物理过程（2）丢掉。典型错误：物理过程分析不全掉解

2．某滑板爱好者在离地h＝1.8m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移S1＝3m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v＝4m／s，并以此为初速沿水平地面滑行S2 ＝8m后停止．已知人与滑板的总质量m＝60kg．求

(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小；

(2)人与滑板离开平台时的水平初速度．(空气阻力忽略不计，g=10m／s2)

答案：(1)设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为，根据动能定理有

1fS20mv2

2mv26042由①式解得fN60N

2S228(2)人和滑板一起在空中做平抛运动，

设初速为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有

tv02h gS1 t由③、④两式解得

v0S12hg3m/s5m/s

21.810

9 / 13

3．水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形

ABCD；摆长l =4a的摆，悬挂在A点（如图1—14所示），开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为7mg；若以初速度v0竖直向下

将摆球从P点抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点．求v0的许可值范围（不计空气阻力）．

答案：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R1=4a，R2=3a，R3=2a，R4=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．

当摆球从P点开始，沿半径R1=4a运动到最低点时的速度v1，

22mv04mga① 根据动量定理mv11212当摆球开始以v1绕B点以半径R2=3a作圆周运动时，摆线拉力最大，为Tmax=7mg，这时摆球的运动方程为Tmax2mv1② mg3a由此求得v0的最大许可值为v0≤10ga．

当摆球绕C点以半径R3=2a运动到最高点时，为确保沿圆周运动， 到达最高点时的速度v3≥gR32ga（重力作向心力）

22mv0mga由动能定理mv312122得v0v32ga≥4ga ∴4ga≤v0≤10ga 4、[天津卷.25]（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期。

（1）可见得A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体（视为质点）

对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2。试求m的（用m1、m2表示）；

10 / 13

/

/

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的两倍，它将有可能成为黑洞。若

可见星A的速率v＝2.7m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（G＝6.67×1011N·m/kg2，ms＝2.0×1030kg） 【解读】：（22分）

（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀

速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有

FA＝m1ω2r1 FB＝m2ω2r2 FA＝FB

设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得 r＝

m1m2mr1① 2由万有引力定律，有

FmA＝G

1m2r2 将①代入得

Fm3A＝G1m2(m2

1m2)r2令F＝GmA1m/r2

1 比较可得

m/=m32(m② 1m2)（2）由牛顿第二定律，有

11 / 13

m1m/v2G2m1③

r1r1又可见星A的轨道半径

r1＝

vT④ 2由②③④式可得

3m2v3T (m1m2)22G（3）将m1＝6mI代入⑤式，得

3m2v3T⑤ 2(6mIm2)2G代入数据得

3m23.5ms⑥ 2(6msm2)设m2＝nms，（n＞0），将其代入⑥式，得

3m2nms3.5ms⑦ 26(6msm2)(1)2n3m2 可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得 2(6msm2)n6(1)2nms0.125ms3.5ms⑧

若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2ms，由此得出结

论：暗星B有可能是黑洞。

【备考提示】：本题涉及的知识点较多，涉及的物理过程复杂，求解时要善于分析不同

物理过程所对应的物理规律，通过认真审题挖掘隐藏的条件，建立相应

12 / 13

的物理模型，以确定其运动规律。

13 / 13