重庆市江津三校2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．一元二次方程x2﹣3x+4=0根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根

D．无法确定

3．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

4．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（ ）

A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6

6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是（ ） A．24 B．26或16 C．26 D．16

7．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=﹣1

B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3

8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）

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A．2 B．4 C．4 D．8

9．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

10．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）

A．（，1） B．（1，﹣） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）

11．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

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A． B． C． D．

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②

abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

A．2

B．3 C．4 D．5

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13．抛物线y=kx2﹣2

x+1与坐标轴的交点个数是2，则k的取值范围是 ．

14．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2．

15．若点A（a﹣2，5）与点B（8，﹣5）关于原点对称，则a= ．

16．△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转 度后能与原来图形重合．

17．今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工 人．

18．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分面积为S，则下列结论： ①△A1AD1≌△CC1B；

②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x=2时，△BDD1为等边三角形； ④S=

（x﹣2）2（0≤x≤2）．

其中正确的是 （将所有正确答案的序号都填写在横线上）

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三、解答题（本大题2个小题，共14分） 19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；

（3）求出线段B1A所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围．

20．解下列方程：

（1）（3x+5）2﹣（x﹣9）2=0 （2）6+3x=x（x+2）．

四、解答题（本大题4个小题，共10分） 21．先化简，再求值．

，其中a2﹣2a﹣1=0．

22．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销

商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．

（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至

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3月共盈利多少元？

23．已知二次函数y=x2﹣2（m+1）x+m（m+2）

（1）求证：无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．

（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，试求二次函数的最小值． 24．对x，y定义一种新运算x[]y=

（其中a，b均为非零常数），这里等

=﹣2b．

式右边是通常的四则混合运算，例如：0[]2=（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题． ①求a，b的值；

②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），则称M是m的函数，当自变量m在﹣1≤m≤3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；

（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y都成立（这里x[]y和y[]x均有意义），求a与b的函数关系式？

五、解答题（本大题2个小题，共24分）

25．经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在下列横线上：

销售单价x（元） ； 销售量y（件） ；

销售玩具获得利润w（元） ；

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

26．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

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边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2求点F的坐标．

DQ，

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2016-2017学年重庆市三校九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选C．

2．一元二次方程x2﹣3x+4=0根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根

D．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵△=（﹣3）2﹣4×1×4=﹣7， ∴方程无实数根． 故选C．

3．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【考点】二次函数的性质．

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【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）． 故选A．

4．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（ ） A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2 【考点】一元二次方程的定义．

【分析】由一元二次方程的定义可知|m|=2，且m﹣2≠0，从而可求得m的值．

【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=2，且m﹣2≠0． 解得：m=﹣2． 故选：C．

5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（ ）

A．y=（x﹣2）2 B．y=x2 C．y=x2+6 D．y=（x﹣2）2+6 【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】先确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点平移的规律得到点（1，3）平移后对应点的坐标为（2，6），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（2，6），所以新抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+6． 故选D．

6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是（ ） A．24 B．26或16 C．26 D．16

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

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【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．

【解答】解：∵x2﹣12x+20=0，即（x﹣2）（x﹣10）=0， ∴x﹣2=0或x﹣10=0， 解得：x=2或x=10，

当x=2时，三角形的三边2+6=8，不能构成三角新，舍去；

当x=10时，符合三角形三边之间的关系，其周长为爱6+8+10=24， 故选：A．

7．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=﹣1

B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．

【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x=．

又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2． 故选B．

8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）

A．2

B．4 C．4 D．8

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【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=然后利用CD=2CE进行计算． 【解答】解：∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=

OC=2

， ．

OC=2

，

∴CD=2CE=4故选：C．

9．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．

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【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0，

所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选C．

10．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（ ）

A．（，1） B．（1，﹣） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．

【解答】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴， ∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，

∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，

在Rt△OMQ中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM=

，

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则P的对应点Q的坐标为（1，﹣故选B

），

11．如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断．

【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x（0≤x≤2）， 当F在AD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（2＜x

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≤4）， 图象为：

故选A

12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②

abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣

＞1，于

是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0． 【解答】解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x=﹣

＞1，

∴2a+b＞0，故①正确； ②∵a＜0，﹣∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0，

∴abc＞0，故②错误；

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＞0，

③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确； ④∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，故④错误； ⑤∵x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确． 故选：B．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13．抛物线y=kx2﹣2且k≠0 ．

【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】根据抛物线y=kx2﹣2k的取值范围．

【解答】解：∵y=kx2﹣2∴k≠0，

∵二次函数y=kx2﹣2∴△=8﹣4k×1≥0， ∴k≤2，

综上可知：k≤2且k≠0， 故答案为：k≤2且k≠0．

14．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2．

【考点】二次函数的最值．

【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．

【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm． 则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，

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x+1与坐标轴的交点个数是2，则k的取值范围是 k≤2

x+1与x轴有交点，得出b2﹣4ac≥0，进而求出

x+1为二次函数，

x+1的图象与x轴有2个交点，

当x=﹣=﹣=8时，S有最大值是：．

故答案是：．

15．若点A（a﹣2，5）与点B（8，﹣5）关于原点对称，则a= ﹣6 ． 【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵点A（a﹣2，5）与点B（8，﹣5）关于原点对称， ∴a﹣2=﹣8， 解得，a=﹣6， 故答案为：﹣6．

16．△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转 120 度后能与原来图形重合． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．

【分析】连接OA、OB、OC，可证OA=OB=OC，A、B、C三点可看作对应点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，可知旋转角至少是120°． 【解答】解：连接OA、OB、OC，旋转中心为点O， 根据等边三角形的性质可知，

OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， 所以，至少现在120度后能与原来图形重合．

17．今年3月12日植树节活动中，某单位的职工分成两个小组植树，已知他们植树的总数相同，均为100多棵，如果两个小组人数不等，第一组有一人植了6棵，其他每人都植了13棵；第二组有一人植了5棵，其他每人都植了10棵，则该单位共有职工 32 人． 【考点】应用类问题．

【分析】设一组x人，二组y人，x，y均为正整数，根据题意可以列出两个不等式100＜5+13（x﹣1）＜200，100＜4+10（y﹣1）＜200，求出x和y的取值范围，再根据x和y都是整数，推出x和y的值．

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【解答】解：设一组x人，二组y人，x，y均为正整数， 100＜5+13（x﹣1）＜200， 100＜4+10（y﹣1）＜200， 100＜13x﹣8＜200， 100＜10y﹣6＜200， 108＜13x＜208， 106＜10y＜206， 9≤x≤17， 11≤y≤20，

5+13（x﹣1）=4+10（y﹣1）， 13x﹣8=10y﹣6， y=

，

y是整数，那么13x的个位数字为2， x的个位数字为4， 满足要求的数为x=14， y=

=18，

两组一共：14+18=32人， 故答案为32．

18．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分面积为S，则下列结论： ①△A1AD1≌△CC1B；

②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x=2时，△BDD1为等边三角形； ④S=

（x﹣2）2（0≤x≤2）．

其中正确的是 ①②③ （将所有正确答案的序号都填写在横线上）

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【考点】几何变换综合题．

【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；

②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．

③当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．

④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．

【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD，BC∥AD ∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1， ∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1， 在△A1AD1与△CC1B中，

故①正确； ②∵∠ACB=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AB=1， ∴AC=2， ∵x=1， ∴AC1=1，

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∴△AC1B是等边三角形， ∴AB=D1C1， 又AB∥D1C1，

∴四边形ABC1D1是菱形， 故②正确； ③如图所示：

则可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1为等边三角形，故③正确． ④易得△AC1F∽△ACD， ∴解得：

=

，

（0＜x＜2）；故④错误；

综上可得正确的是①②③． 故答案为：①②③．

三、解答题（本大题2个小题，共14分） 19．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）分别写出A、B两点的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；

（3）求出线段B1A所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围．

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【考点】作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）从直角坐标系中读出点的坐标．

（2）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．

（3）先设出一般的一次函数的解析式，再把点的坐标代入求解析式即可． 【解答】解：（1）从图中可得出： A（2，0），B（﹣1，﹣4）

（2）画图正确；

（3）设线段B1A所在直线l的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵B1（﹣2，3），A（2，0）， ∴

， ，

∴线段B1A所在直线l的解析式为：

，

线段B1A的自变量x的取值范围是：﹣2≤x≤2．

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20．解下列方程：

（1）（3x+5）2﹣（x﹣9）2=0 （2）6+3x=x（x+2）．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】应用因式分解法，求出每个一元二次方程的解各是多少即可． 【解答】解：（1）∵（3x+5）2﹣（x﹣9）2=0， ∴（3x+5+x﹣9）（3x+5﹣x+9）=0， ∴（4x﹣4）（2x+14）=0， ∴4x﹣4=0或2x+14=0， 解得x=1或x=﹣7．

（2）∵6+3x=x（x+2）， ∴x2﹣x﹣6=0， ∴（x﹣3）（x+2）=0， ∴x﹣3=0或x+2， 解得x=3或x=﹣2．

四、解答题（本大题4个小题，共10分） 21．先化简，再求值．【考点】分式的化简求值．

【分析】按运算顺序，先算括号里面的，再算分式的除法， 【解答】解：原式=[

﹣

]÷

，

，其中a2﹣2a﹣1=0．

==﹣=﹣

， ，

×，

第20页（共29页）

∵a2﹣2a﹣1=0， ∴a2﹣2a=1， ∴原式=﹣=﹣1．

22．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销

商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．

，

（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可． （2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案． 【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意列方程：150（1+x）2=216，

解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%． 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．

（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）． 所以该经销商1至3月共盈利：×=500×546=273000（元）．

23．已知二次函数y=x2﹣2（m+1）x+m（m+2）

（1）求证：无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．

（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，试求二次函数的最小值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．

【分析】（1）设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），根据抛物线与x轴的交点问题，得到方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）=0的两根分别为a与b，

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根据根与系数的关系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函数图象与x轴两个交点之间的距离可表示为|a﹣b|，然后根据代数式的变形得到|a﹣b|==

，再利用整体代入的方法得到|a﹣b|=

=2，

由此可判断函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值． （2）根据抛物线的对称轴方程得到x=﹣

=2，解得m=0，则抛物线解析

式为y=x2﹣2x，然后配成顶点式得到二次函数的最小值．

【解答】（1）证明：设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0）， 则a+b=2（m+1），ab=m（m+2）， 所以|a﹣b|=

=

=

=2，

即无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值； （2）解：根据题意得x=﹣

=2，解得m=0，

则抛物线解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， 所以二次函数的最小值为﹣1．

24．对x，y定义一种新运算x[]y=

（其中a，b均为非零常数），这里等

=﹣2b．

式右边是通常的四则混合运算，例如：0[]2=（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题． ①求a，b的值；

②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），则称M是m的函数，当自变量m在﹣1≤m≤3的范围内取值时，函数值M为整数的个数记为k，求k的值；

（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y都成立（这里x[]y和y[]x均有意义），求a与b的函数关系式？ 【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）①结合新运算的定义，代入数据，解二元一次方程组即可得出结论；

②将a、b的值代入原定义式中，用m表示出M，由二次函数的性质即可找出M的取值范围，从而得出k的值；

（2）x[]y=y[]x得出关于a、b、x、y的等式，由对任意实数x，y都成立，找出

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恒为0的代数式a+4b=0，从而得出结论． 【解答】解：（1）①由1[]2=3，﹣1[]3=﹣2，得

，解得

．

答：a的值为8，b的值为﹣1． ②把a=8，b=﹣1代入x[]y=

，得x[]y=

，

+，

M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2）=﹣2m2+2m+4=﹣2又∵﹣1≤m≤3，

∴当m=时，M取最大值； 当m=﹣1时，M=0； 当m=3时，M=﹣8． ∴﹣8≤M≤=4， ∴k=8+4+1=13． （2）∵x[]y=y[]x， ∴

=

，

∴ay2﹣ax2+4by2﹣4bx2=0， ∴a（y2﹣x2）+4b（y2﹣x2）=0， 即（a+4b）（y2﹣x2）=0． ∵对任意实数x，y都成立， ∴a+4b=0， ∴a=﹣4b．

五、解答题（本大题2个小题，共24分）

25．经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在下列横线

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上：

销售单价x（元） x ； 销售量y（件） 1000﹣10x ；

销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 ；

（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．

【分析】（1）销售量=600﹣减少的数量，利润=每件的获利×销售量； （2）依据商场获得了10000元销售利润列出关于x的方程求解即可；

（3）接下来，依据销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务列不等式组求解即可．

【解答】解：（1）销售单价（元）x，销售量y=600﹣10（x﹣40）=1000﹣10x， 销售玩具获得利润w（元）=（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000． 故答案为：x；1000﹣10x；﹣10x2+1300x﹣30000． （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000 解之得：x1=50，x2=80

答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润． （3）根据题意得解之得：44≤x≤46，

w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250， ∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65， ∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大． ∴当x=46时，W最大值=80（元）．

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为80元．

26．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

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边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2求点F的坐标．

DQ，

【考点】二次函数综合题． 【分析】方法一：

（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．

（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．

（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2方法二： （1）略．

（2）求出P，Q的参数坐标，并得出周长的函数表达式，求出P点，进而求出E点坐标，并求出△AEM的面积．

（3）求出D点坐标，并求出DQ长度；再求出F，G的参数坐标，并得到FG的函数表达式，利用FG=DQ，求点F的坐标．

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DQ，即可求得．

（4）利用点P，B求出直线PB的斜率及中点坐标，进而GH的直线方程，再与抛物线联立，进而求出G，H坐标． 【解答】方法一：

解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）， 令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，

设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2， =∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴当m=﹣2时矩形的周长最大．

∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b， 解得k=1，b=3，

∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1）， ∴EM=1，AM=1， ∴S=•AM•EM=．

（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1， ∴N应与原点重合，Q点与C点重合， ∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4， ∴D（﹣1，4） ∴DQ=DC=∵FG=2∴FG=4，

设F（n，﹣n2﹣2n+3）， 则G（n，n+3）， ∵点G在点F的上方，

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，

DQ，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4， 解得：n=﹣4或n=1． ∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）． 方法二： （1）略．

（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣2t+3）， ∴矩形PQMN周长为：2PQ+2PM，

∴2PQ+2PM=2（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣2t+3）， ∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2， ∴当t=﹣2时，周长最大， ∴P（﹣2，3），

∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴lAC：y=x+3，

∵点E在直线AC上，且EX=PX， 把x=﹣2代入， ∴E（﹣2，1），

∴S△AEM=AM×EM=×1×1=，

（3）∵D为抛物线顶点，∴D（﹣1，4），Q（0，3）， ∴DQ=∵FG=2

DQ=2

×

=4，

，

∴t2+3t﹣4=0， ∴t1=﹣4，t2=1，

∴F1（﹣4，﹣5），F2（1，0）．

拓展：方法二追问（4）：在（2）的条件下，若直线l与抛物线相交，交点为G、H（G点在H点右侧）且点P与点B关于直线l对称，求出点G、H坐标． （4）∵点P与点B关于直线L对称， ∴PB被GH垂直平分， ∵P（﹣2，3），B（1，0），

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∴KPB=∵PB⊥GH，

=﹣1，

∴KPB×KGH=﹣1， ∴KGH=1，

∵F为PB的中点， ∴FX=

=﹣，FY=

，

∴⇒，

∴G（，），H（，）．

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2017年1月18日

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