中考数学一轮复习第6课一元二次方程导学案

【考点梳理】：

2

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

22

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

2

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： (1)x1,2bb24acb；(2)x1x2，2aa2

x1x2c. a※ 5．当ax+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 x1x2（1）两根互为相反数  （2）两根互为倒数  （3）只有一个零根  （4）有两个零根 

bc2

，x1x2；Δ=b-4ac 分析，不要求背记) aab= 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0； ac=1且Δ≥0  a = c且Δ≥0； acb= 0且≠0  c = 0且b≠0；

aacb= 0且= 0  c = 0且b=0；

aac=0  c=0； a（5）至少有一个零根  （6）两根异号 

c＜0  a、c异号； acb＜0且＞0 a、c异号且a、b异号；

aacb＜0且＜0 a、c异号且a、b同号；

aa（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 （9）有两个正根 

cb＞0，＞0且Δ≥0  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

aacb＞0，＜0且Δ≥0  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

aa思考与收获 （10）有两个负根 

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

1 bb24acbb24ac. ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax+bx+c=axx2a2a2

2

7．求一元二次方程的公式：

2

x-（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

2

(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x).

（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和. 【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【考点一】：一 元二次方程的解 【例题赏析】（2014•湖南张家界，第15题，3分）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k= ．

考点：一元二次方程的解．

分析：将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值． 解答：根据题意，得

（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0， 解得k=1； 故答案是：1． 点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【考点二】：一元二次方程的解法 【例题赏析】

（1）（2015，广西钦州，7，3分）用配方法解方程x210x90，配方后可得（ ） 思考与收获 A．(x5)16 B．(x5)1 C．(x10)91 D．(x10)109 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题．

分析： 方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．

2

解答： 解：方程x+10x+9=0，

2

整理得：x+10x=﹣9，

22

配方得：x+10x+25=16，即（x+5）=16， 故选A

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （2）（2015•重庆A8，4分）一元二次方程x2x0的根是（ ） A.

22222x10,x22 B. x11,x22 x11,x22 D. x10,x22

2 C.

考点：解一元二次方程- 因式分解法．

分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答：解：x2x0，

x （x ﹣2 ）=0 ， x=0 ，x ﹣2=0 ， X1 =0 ，x2 =2 ， 故选D ． 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 2 次方程，难度适中．

【考点三】：根的判别式及其应用

【例题赏析】（2015•宁德 第7题 4分）一元二次方程2x2

+3x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根 C．没有实数根 D． 无法确定 考点： 根的判别式．

分析： 先求出△的值，再判断出其符号即可．

解答： 解：∵△=32

﹣4×2×1=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B．

点评： 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2

+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．

【考点四】：列一元二次方程解应用题 【例题赏析】 （1）（2015•黑龙江哈尔滨，第8题3分）（2015•哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩

大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2

．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（ ）

A． x（x﹣60）=1600 B． x（x+60）=1600 C． 60（x+60）=1600 D． 60（x﹣60）=1600 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 几何图形问题．

分析： 设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2

”建立方程即可．

解答： 解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得 x2

﹣60x=1600，即x（x﹣60）=1600． 故选A．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系． （2）（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第10题3分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A．x2=21 B． x（x﹣1）=21 C． x2

=21 D． x（x﹣1）=21

3

思考与收获 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

分析： 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=

．即思考与收获 可列方程．

解答： 解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21， 故选：B．

点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． （3）（2015•辽宁铁岭）（第9题，3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）

22

A．200（1﹣x）=162 B．200（1+x）=162 ‘

22

C．162（1+x）=200 D．162（1﹣x）=200 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．. 专题： 增长率问题．

分析： 此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．

2

解答： 解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）=168． 故选A．

点评： 此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．

【考点五】：根与系数的关系

2

【例题赏析】（2015•贵州省黔东南州,第5题4分）设x1，x2是一元二次方程x﹣2x﹣3=022

的两根，则x1+x2=（ ）

A． 6 B． 8 C． 10 D． 12 考点： 根与系数的关系．

222

分析： 根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x1+x2得到（x1+x2）﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．

2

解答： 解：∵一元二次方程x﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2， ∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，

2222

∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1•x2=2﹣2×（﹣3）=10． 思考与收获 故选C．

2

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

【真题专练】

2

1. （2015•丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x+2x+a=0的一个根，那么a= ．

2

2. （2015•齐齐哈尔,第14题3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是 ．

4

2

3. （2015•广东东莞8，3分）若关于x的方程x+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A． a≥2 B． a≤2 C． a＞2 D． a＜2

2

4．（2015•湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）

A． 1 B． 0，1 C． 1，2 D． 1，2，3

2

5. （2015•山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ） A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D． 公理化思想

思考与收获

6.（2015•黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）

A． x（x﹣11）=180 B． 2x+2（x﹣11）=180 C． x（x+11）=180 D． 2x+2（x+11）=180

7. （2015•辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 ．

8. （2015•甘南州第15题 6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

2

9. （2015•黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

5

22

10. （2015•湖北十堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x﹣（2m+3）x+m+2=0． 思考与收获 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

22

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1+x2=31+|x1x2|，求实数m的值． 11. （2015•长沙，第23题9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【真题演练参】

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1. （2015•丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x+2x+a=0的一个根，那么a= ﹣3 ．考点： 一元二次方程的解．

分析： 根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可． 解答： 解：将x=1代入得：1+2+a=0， 解得：a=﹣3． 故答案为：﹣3．

点评： 本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键．

2

2. （2015•齐齐哈尔,第14题3分）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x﹣

6 8x+15=0的根，则△ABC的周长是 8 ．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

分析： 先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．

2

解答： 解：解方程x﹣8x+15=0可得x=3或x=5， ∴△ABC的第三边为3或5，

但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系， ∴△ABC的第三边长为3， ∴△ABC的周长为2+3+3=8， 故答案为：8．

点评： 本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．

2

3. （2015•广东东莞8，3分）若关于x的方程x+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）

A． a≥2 B． a≤2 C． a＞2 D． a＜2 考点： 根的判别式．

2

分析： 根据判别式的意义得到△=1﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．

2

解答： 解：根据题意得△=1﹣4（﹣a+）＞0， 解得a＞2． 故选C．

22

点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与△=b﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

2

4．（2015•湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）

A． 1 B． 0，1 C． 1，2 D． 1，2，3 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值． 解答： 解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0， 解得：k≤，

则k的非负整数值为1． 故选：A．

22

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根

2

5. （2015•山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ） A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D． 公理化思想 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 计算题．

7

分析： 上述解题过程利用了转化的数学思想．

2

解答： 解：我们解一元二次方程3x﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，

从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0， 进而得到原方程的解为x1=0，x2=2． 这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选A．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

（2015•黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）

A． x（x﹣11）=180 B． 2x+2（x﹣11）=180 C． x（x+11）=180 D． 2x+2（x+11）=180 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题．

分析： 根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 解答： 解：设宽为x米，则长为（x+11）米， 根据题意得：x（x+11）=180， 故选C．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．

6. （2015•辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是 x1=﹣2，x2=4 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法．

分析： 先移项，再提取公因式，求出x的值即可． 解答： 解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0， 提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，

故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4． 故答案为：x1=﹣2，x2=4．

点评： 本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键．

7. （2015•甘南州第15题 6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 考点：

一元二次方程的应用．. 专题：

增长率问题． 分析：

（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可； （2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论． 解答： 解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得

8

57.5（1+x）=82.8

解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去） 答：增长率为20%； （2）由题意，得

82.8（1+0.2）=99.36万元

答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷． 点评：

本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．

2

8. （2015•黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x﹣x﹣1=0的两根，求+的值．

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到+=

=

，然后利用整体代入的方法进行计算．

2

2

解答： 解：∵实数a，b是方程x﹣x﹣1=0的两根， ∴a+b=1，ab=﹣1， ∴+=

=

=﹣3．

2

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

22

9. （2015•湖北十堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x﹣（2m+3）x+m+2=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

22

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1+x2=31+|x1x2|，求实数m的值． 考点： 根的判别式；根与系数的关系．

22

分析： （1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）﹣4（m+2）≥0，解不等式即可；

22

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m+2，再变形已知条件得到（x1+x2）﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．

22

解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程x﹣（2m+3）x+m+2=0有实数根，

22

∴△≥0，即（2m+3）﹣4（m+2）≥0， ∴m≥﹣

；

2

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m+2，

22

∵x1+x2=31+|x1x2|，

2

∴（x1+x2）﹣2x1x2=31+|x1x2|，

222

即（2m+3）﹣2（m+2）=31+m+2， 解得m=2，m=﹣14（舍去）， ∴m=2．

22

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，

9

方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 10. （2015•长沙，第23题9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． 专题： 增长率问题．

分析： （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 解答： 解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得

2

10（1+x）=12.1，

解得x1=0.1，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．

答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；

（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）． ∵平均每人每月最多可投递0.6万件，

∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务 ∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1

≈2（人）．

答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增

加2名业务员．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

10