分位数回归及其实例

一、分位数回归的概念

分位数回归(Quantile Regression)：是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。与传统的OLS只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。

传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X的影响过程。普通最dx——乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X对于因变量y的均值影响。如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx-—乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE）；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx—-乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计（MⅥ甩）。但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。最小二乘回归假定自变量X只能影响因变量的条件分布的位置,但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面.

为了弥补普通最dx-—乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷,Koenkel”和Pxassett于1978年提出了分位数回归（Quantile Regression）的思想。它依据因变量的条件分位数对自变量X进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X对于因变量y局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X对于因变量y的变化范围以及条件分布形状的影响。

分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。中位数回归是分位数回归的特殊情况,用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。

一般线性回归模型可设定如下：

x(t)t(I(t0)),(0,1).

在满足高斯—马尔可夫假设前提下，可表示如下：

E(y|x)01x12x2...kxk

其中u为随机扰动项0,1,2,...,k为待估解释变量系数。这是均值回归（OLS)模型表达式，类似于均值回归模型，也可以定义分位数回归模型如下：

Qy(|x)01x12x2...kxkQu()

对于分位数回归模型，则可采取线性规划法（LP）估计其最小加权绝对偏差,从而得到解释变量的回归系数，可表示如下：

minEx(y01x12x2...kxk)

ˆ(|x)aˆ0aˆ1x1aˆ2x2求解得:Qy其中，

ˆkxk alog(yi,T/yi,0)01ln(yi,0)2ln(I/GDP)3ln(ng)4ln(h)i,0,T1

从参数的估计方法来看，一般线性回归模型的原理是使得被解释变量y与其拟合值之差（称作残差）的平方和最小，而分位数回归是使得这个残差的绝对值的一个表达式最小，这个表达式不可微,因此传统的求导方法不再适用,而是采用线性规划方法或单纯形算法。这也是它与一般线性回归最大的不同点之一.随着计算机技术的不断突破，上述算法可以很方便地由各种软件实现。现在主流统计、计量与科学计算软件SAS、STATA、EViews、MATLAB等中都可以加载分位数回归软件包。

分位数回归能够捕捉分布的尾部特征，当自变量对不同部分的因变量的分布产生不同的影响时．例如出现左偏或右偏的情况时。它能更加全面的刻画分布的特征，从而得到全面的分析，而且其分位数回归系数估计比OLS回归系数估计更稳健。近10多年来，分位数回归在国外得到了迅猛的发展及应用，其研究领域包括经济、医学、环境科学、生存分析以及动植物学等方面.

二、分位数回归的实例

下面举一个实例，关于我国地区经济增长收敛的分位数回归分析。 β-收敛的分位数回归分析。

绝对β—收敛的检验

分三阶段对中国经济增长的绝对收敛情况分位数回归方法进行分析。 表1 1978-2007年关于中国经济绝对收敛的OLS估计和分位数回归结果 变量

lnyt0分位数 0.1 0。25 0。5 0.75 0.9

1978-1991 -0.2448(-6.93*＊*) —0。2711(—5。49**＊） —0.3253（—4。28*＊*) -0。2301（-2.05＊＊) -0.3854（-5。

1992-2003 0。

1309(2.84*＊* ）

0。1554(1.72*) 0。1914(2。17＊＊) 0.1842( 1.55） 0.2328(7。43

2004-2007 -0.1098（-6。15**＊） —0。0482（-0.76) -0.0386(—0。88) -0.0497(—1.01） —0.1067(—2。

86***）

常数

分位数回归结果分析

＊**) 0。1727(2。96**＊)

0.3483（ 0.99 ) 0。2172（0.31） 0。0158(0。02） 0.2203( 0。24) —0。0141(—0。06) 0.13(0.42)

20＊*） —0.0806（-2.59＊＊）

1。4088（8.11＊*＊） 0。84（1.54） 0.8556(2.08**

) 1.0185(2。20**） 1.5943（3。30***) 1.2535（4.30＊＊*）

OLS 0.1 0。25 0.5 0.75 0。9

-0.2791(-4。06***)

2.8573（12。75*＊*） 3。0627（9.77＊**) 3.4860(7.70**＊） 3。09(4。36＊＊＊) 4.1783(9。6*＊*) 3.2428（7。95＊＊＊）

OLS

通过观察表1，看出人均生产总值在第一阶段从十分位到九十分位β系数显著为负，存在着绝对收敛，而且β系数的绝对值呈现逐渐增加的趋势。而从1992年到2003年这一阶段可以明显看出十分位，四分之一分位，中位数，四分之三分位，九十分位β系数均为正，而且显著性水平都很高，β系数从十分位的0。1309增加到九十分位的0。2328，存在着显著的递增趋势，因此不存在绝对收敛。在第三阶段，只有十分位和九十分位β系数通过了显著性检验，其余水平下的β系数都不是很显著，但是总体上β系数均是负的，说明这阶段也存在着绝对β-收敛。这与许绍元、李善同（2006)得到的结果相似，他们认为我国的地区差距经历了一个先缩小后持续扩大的历程。与20世纪90年代相比，近年来我国的地区差距发展趋势出现了一定的变化，2000-2004年，我国的地区差距仍然在持续扩大，但扩展的速度比20世纪90年代有所减缓，2004年出现了地区差距缩小的迹象。