2019-2020年南阳市南召县八年级上册期末数学试题(有答案)-名校密卷

一、选择题（每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入括号内 1．

﹣1的相反数是（ ）

A．1B． C． D．

2．下列运算正确的是（ ） A．3a•4a=12a C．（﹣2a）3=﹣2a3 3．估计

的值在（ ）

B．5和6之间

C．6和7之间

D．7和8之间

B．（a3）2=a6 D．a12÷a3=a4

A．4和5之间

4．八年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1﹣4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频率是（ ） A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）

A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）

6．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）

A．25人 B．35人 C．40人 D．100人

7．若2++25是完全平方式，则的值是（ ） A．﹣10

B．10

C．5

D．10或﹣10

8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7

米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2

B．36米2 C．48米2 D．72米2

二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：

= ．

12．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 ，那么 ． 13．为说明命题“如果a＞b，那么

”是假命题，你举出的反例是 ．

14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 ．

15．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线A上运动，当AP= 时，才能使△ABC与△QPA全等．

三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75） 16．（8分）四个数a，b，c，d排列成﹣bc，若

=12，求值．

，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为

=ad

17．（9分）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中1﹣a2+2a=0． 18．（9分）某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图． （2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？

19．（9分）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）

（2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n）

20．（9分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

21．（10分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：2CD2=AD2+DB2．

22．（10分）（1）问题发现

如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： ； （2）操作探究

如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜360），请判断线段BE与线段CD的数量关系，并说明理由．

23．（11分）如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒． （1）求AB与BC的长；

（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

河南省南阳市南召县八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分,共30分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入括号内 1．

﹣1的相反数是（ ）

A．1B． C． D．

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：故选：A．

【点评】此题主要考查了实数的性质，正确把握相关定义是解题关键． 2．下列运算正确的是（ ） A．3a•4a=12a C．（﹣2a）3=﹣2a3

B．（a3）2=a6 D．a12÷a3=a4

﹣1的相反数是：1﹣

．

【分析】直接利用单项式乘以单项式以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、3a•4a=12a2，故此选项错误； B、（a3）2=a6，正确；

C、（﹣2a）3=﹣8a3，故此选项错误； D、a12÷a3=a9，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．估计

的值在（ ）

B．5和6之间

C．6和7之间 ＜

＜

D．7和8之间

A．4和5之间

【分析】利用二次根式的性质，得出【解答】解：∵∴6＜∴

＜7，

的值在整数6和7之间．

＜

＜

，

，进而得出答案．

故选：C．

【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出

＜

＜

是解题关键．

4．八年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1﹣4组的频数分别为12，10，6，8，

则第5组的频率是（ ） A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【分析】直接利用频数÷总数=频率，进而得出答案．

【解答】解：∵八年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组，第1﹣4组的频数分别为12，10，6，8，

∴第5组的频率是：（40﹣12﹣10﹣6﹣8）÷40=0.1． 故选：A．

【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率求法是解题关键．

5．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）

A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）

【分析】我们可以通过其作图的步骤进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得． 【解答】解：作图的步骤：

①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′； ④过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角； 作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，

，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，

熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．

6．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有（ ）

A．25人 B．35人 C．40人 D．100人

【分析】根据参加足球的人数除以参加足球所长的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比，可得答案． 【解答】解：参加兴趣小组的总人数25÷25%=100（人）， 参加乒乓球小组的人数100×（1﹣25%﹣35%）=40（人）， 故选：C．

【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 7．若2++25是完全平方式，则的值是（ ） A．﹣10

B．10

C．5

D．10或﹣10

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【解答】解：∵2++25是完全平方式， ∴=±10， 故选：D．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．

【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴AB2=0.72+2.42=6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米，

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【解答】解：如图所示： ∵（a+b）2=21， ∴a2+2ab+b2=21，

∵大正方形的面积为13， 2ab=21﹣13=8，

∴小正方形的面积为13﹣8=5． 故选：C．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．

10．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2

【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．

【解答】解：连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°． 这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2． 故选：B．

【点评】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．

二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：

= ﹣3 ．

【分析】根据（﹣3）3=﹣27，可得出答案． 【解答】解：故答案为：﹣3．

【点评】此题考查了立方的知识，属于基础题，注意立方根的求解方法，难度一般．

=﹣3．

12．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 一个点在角的平分线上 ，那么 它到这个角两边的距离相等 ．

【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．

【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．

【点评】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．

13．为说明命题“如果a＞b，那么a＞b，但

．

”是假命题，你举出的反例是 如：当a=2，b=1时，

【分析】为说明此命题是假命题，举反例时要在a＞b的前提下寻找，还要让小于即不支持命题的结论．

【解答】解：当a=2，b=1时，满足命题的题设a＞b的要求， 而=， =1，显然

，不支持原命题的结论

．

，

故填当a=2，b=1时，a＞b，但

【点评】举反例说明命题是假命题时，在反例的选取上要注意遵循这么一个原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设的要求，而不能满足命题的结论． 14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 105° ．

【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD=BD， ∵∠B=25°，

∴∠DCB=∠B=25°， ∴∠ADC=50°， ∵CD=AC，

∴∠A=∠ADC=50°， ∴∠ACD=80°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°， 故答案为：105°．

【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．

15．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC的射线A上运动，当AP= 5或10 时，才能使△ABC与△QPA全等．

【分析】分两种情形分别求解即可．

【解答】解：当AP=5时，Rt△ABC≌Rt△QPA， 理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC， ∴∠C=∠QAP=90°， 当AP=5=BC时，

在Rt△ABC和Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），

当AP=AC=10，AQ=BC=5时，△ABC≌△PQA， 故答案为：5或10．

，

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75） 16．（8分）四个数a，b，c，d排列成﹣bc，若

=12，求值．

，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为

=ad

【分析】根据题目中二阶行列式的定义可以求得所求的值． 【解答】解：∵

=12，

∴（+3）2﹣（﹣3）2=12， 解得，=1．

【点评】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

17．（9分）先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中1﹣a2+2a=0． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3， 因为1﹣a2+2a=0，所以a2﹣2a=1， 则原式=3+1=4．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（9分）某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图． （2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？

【分析】（1）由B等级的人数除以占的百分比得出调查总人数，进而求出A等级人数，补全条形统计图即可；

（2）求出A等级占的百分比确定出a，由D的百分比乘以360即可得到D等级占的圆心角度数．

【解答】解：（1）根据题意得：46÷23%=200（人），A等级的人数为200﹣（46+70+）=20（人），

补全条形统计图，如图所示：

（2）由题意得：a%=，即a=10；D等级占的圆心角度数为32%×360°=115.2°．

【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键． 19．（9分）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）

（2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n） 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；

（2）利用分组分解法，先将前两项分为一组，根据（1）的立方差公式分解因式，再提公因式即可． 【解答】（9分）

解．（1）原式=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3……………………（2分） =a3﹣b3；……………………（4分）

（2）原式=（m﹣n）（m2+mn+n2）﹣3mn（m﹣n）……………………（6分） =（m﹣n）（m2﹣2mn+n2） ……………………（8分）

=（m﹣n）3……………………（9分）

【点评】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，熟练掌握立方差公式是关键．

20．（9分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．

【分析】求出CF=BE，根据SAS证△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根据平行线的判定推出CD∥AB．

【解答】解：CD∥AB，CD=AB， 理由是：∵CE=BF， ∴CE﹣EF=BF﹣EF， ∴CF=BE，

在△AEB和△CFD中，

，

∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴CD=AB，∠C=∠B， ∴CD∥AB．

【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

21．（10分）已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD； （2）求证：2CD2=AD2+DB2．

【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．

（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△AEC≌△BDC（SAS）；

（2）∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=∠BAC=45度． ∵△ACE≌△BCD， ∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°， ∴AD2+AE2=DE2． 由（1）知AE=DB，

∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键． 22．（10分）（1）问题发现

如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，请直接写出线段BE与线段CD的数量关系： BE=CD ；

（2）操作探究

如图②，将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α（0＜α＜360），请判断线段BE与线段CD的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；

（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解； 【解答】解：（1）BE=CD，理由如下；

∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD， ∴AE﹣AB=AD﹣AC， ∴BE=CD；

故答案为：BE=CD．

（2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质得，∠BAE=∠CAD， 在△BAE与△CAD中，∴△BAE≌△CAD（SAS） ∴BE=CD．

【点评】此题考查旋转问题，关键是根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质解答，解（2）的关键是判断出△BAE≌△CAD， 23．（11分）如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒． （1）求AB与BC的长；

（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

，

【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；

（2）分PC=CD、PD=PC、PD=CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）设AB=3，BC=4 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴AC=5，5=5，=1 ∴AB=3，BC=4，

（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，理由如下：

当P1D=P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形， ∵AB=3，BC=4， ∴∴∴

， ， （秒）

当CD=P2C时，△CDP是等腰三角形， ∴

（秒），

AB的中点也是，此时t=1.5； CP=CD，P在BC线段上，此时，t=4； DP=DC，P在线段AC上，此时t=10.6；

综上可知当t=9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形．

【点评】本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，正确解出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．