和差积商的变化规律

一、和的变化规律

(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数． 例如：

3＋5=8 a＋b=c (3＋2)＋5=8＋2 (a＋m)＋b=c＋m

a＋(b＋m)=c＋m (二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数． 例如： 8＋6=14

(8－4)＋6=14－4 a＋b＝c

(a－m)＋b=c－m(a≥m) a＋(b－m)=c－m(b≥m)

(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的加数，那么，它们的和不变． 例如： 8＋3=11

(8＋2)＋(3－2)=11 (8－6)＋(3＋6)=11 a＋b=c

(a＋m)＋(b－m)=c(b≥m) (a－m)＋(b＋m)＝c(a≥m)

(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(m＋n)． 例如： 5＋3=8

(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7) a＋b＝c

(a＋m)＋(b＋n)=c＋(m＋n)

(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(m＋n)． 例如： 30＋18=48

(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9) a＋b＝c

(a－m)＋(b－n)=c－(m＋n)

(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．

例如： 8＋5=13

(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3) (8＋2)＋(5－4)=13－(4－2) a－b=c

(a＋m)＋(b－n)=c＋(m－n)(m＞n) ＝c－(n－m)(n＞m) 二、差的变化规律

(一)如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数． 例如： 9－5=4

(9＋3)－5=4＋3 (9－2)－5=4－2 a－b＝c (a＋m)－b=c＋m (a－m)－b＝c－m(c≥m)

(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数． 例如： 9－5=4

9－(5＋3)=4－3 9－(5－3)=4＋3 a－b＝c

a－(b＋m)=c－m(a≥b＋m) a－(b－m)=c＋m(b≥m)

(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等． 例如： 15－8=7

(15＋3)－(8＋3)=7 (15－5)－(8－5)=7 a－b＝c

(a＋m)－(b＋m)=c

(a－m)－(b－m)=c(a≥m b≥m)

(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(m＋n)． 例如： 18－12=6

(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3) a－b＝c

(a＋m)(b－n)＝c＋(m－n)(b≥n)

(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(m＋n) 例如： 18－12=6

(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1) a－b＝c

(a－m)－(b＋n)=c－(m＋n)(c≥m＋n)

(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．

例如： 20－12=8

(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3) (20＋5)－(12＋6)=8－(6－5) a－b＝c

(a＋m)－(b＋n)=c＋(m－n)(m＞n) (a＋m)－(b＋n)＝c－(n－m)(m＜n)

(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当 m＜n时，它们的差要增加(n－m)．

例如： 40－22=18

(40－3)－(22－2)=18－(3－2) (40－5)－(22－7)=18＋(7－5) a－b＝c

(a－m)－(b－n)＝c－(m－n)(m＞n) (a－m)(b－n)＝c＋(n－m)(n＞m) 三、积的变化规律

(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍． 例如：

8×5=40

(8×3)×5=40×3 8×(5×4)=40×4 a×b＝c

(a×m)×b＝c×m a×(b×m)=c×m

(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍． 如：25×4=100 (25÷5)×4=100÷5 25×(4÷2)=110÷2 a×b＝c (a÷m)×b=c÷m a×(b÷m)=c÷m

(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变． 例如： 45×10=450

(45×2)×(10÷2)=450 (45÷5)×(10×5)=450 a×b=c

(a×m)×(b÷m)＝c (m≠0) (a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)

(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍． 例如： 4×5=20

(4×3)×(5×2)=20×(3×2) a×b=c

(a×m)×(b×n)＝c×(m×n)(m≠0，n≠0)

(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍． 例如： 20×8=160

(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4) a×b=c

(a÷m)×(b÷n)=c÷(m×n)(m≠0，n≠0)

(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．

例如： 8×6=48

(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2) (8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2) a×b=c

(a×m)×(b÷n)＝c×(m÷n)(m＞n)(n≠0) (a×m)÷(b÷n)=c÷(n÷m)(m＜n)(m≠0) 四、商的变化规律

(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变． 例如： 42÷6=7

(42×2)÷(6×2)=7 (42÷3)÷(6÷3)=7 a÷b=c

(a×m)÷(b×m)＝c(m≠0) (a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)

(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m倍． 例如： 16÷2=8

(16×3)÷2＝8×3 (16÷2)÷2=8÷2 a÷b=c

(a×m)÷b＝c×m(m≠0) (a÷m)÷b＝c÷m (m≠0)

(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍． 例如： 44÷11=4

44÷(11×2)=4÷2 44÷(11÷11)＝4×11 a÷(b×m)=c÷m(m≠0) a÷(b÷m)＝c×m (m≠0)

(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍．

例如： 72÷9=8

(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3) a÷b＝c

(a×m)÷(b÷n)＝c×(m×n)(m，n≠0)

(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍． 例如： 72÷6=12

(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2) a÷b＝c

(a÷m)÷(b×n)＝c÷(m×n)(m≠0 n≠0)

(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．

例如： 96÷24=4

(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2) (96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2) a÷b＝c

(a×m)÷(b×n)＝c×(m÷n)(m＞n，n≠0) (a×m)÷(b×n)＝c÷(n÷m)(m＜n，m≠0)

(七)如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．

例如： ÷16=4

(÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2) (÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2) a÷b＝c

(a÷m)÷(b÷n)=c÷(m÷n)(m＞n n≠0) (a÷m)÷(b÷n)=c×(n÷m)(m＜n m≠0) 加减法混合运算的性质 (一)交换的性质

在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如 a＋b－c=a－c＋b (a≥c) ＝b－c＋a (b≥c)

(二)结合的性质

在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如

a－b＋c－d＋m

=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d) ＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m) =a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)

可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．