2012东城区初三数学二模试题及答案

数 学 试 卷

学校 姓名 考号 考 1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号. 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 知 5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

11. 的绝对值是

211 A. B.  C. 2 D. -2

222. 下列运算中，正确的是

A．a2a3a5 B．a3a4a12 C．a6a3a2 D．4aa3a

3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率

是

1133A． B． C． D．

83854．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．．．．

B C A

5． 若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是 A．9 B．10 C．11 D．12

6. 在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下： 金额（元） 学生数（人） 20 3 30 7 35 5 50 15 100 10 D

y Ox 则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是

A．30，35 B．50，35 C．50，50 D．15，50 7．已知反比例函数yk2x22的图象如图所示，则一元二次方程x(2k1)xk10根的情况是

A．没有实根 B． 有两个不等实根 C．有两个相等实根

D．无法确定

228.用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数ymin{x1,1x}，则y的图象为

-101x-101x-101x-1y1y1y1y101xABCD二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 反比例函数ykx的图象经过点（－2，1），则k的值为_______．

10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 . 主视图 左视图 俯视图 11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处． 使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．

12. 如图，Rt△ABC中，ACB90，CAB30，BC2，

O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋

A1

转120到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过 部分的面积（即阴影部分面积）为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 先化简，再求值：(2x1)2(x2)(x2)4x(x1)，其中x

14. 解分式方程：

x1x212x3．

H A

O

332C B

O1

H1C1

．

15．如图，点A、B、C的坐标分别为（3，3）、（2，1）、（5，1），将△ABC先向下平移4个单位，得△A1B1C1；

再将△A1B1C1沿y轴翻折，得△A2B2C2. （1）画出△A1B1C1和△A2B2C2； （2）求线段B2C长.

16. 如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF∥AB，AEEC．

求证：ADCF．

B D A E F

C

O y A B C x

17. 列方程或方程组解应用题

为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐”的口号. “五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的

45米，求他家4、5两月各行驶了多少千米.

还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升. 若小明家的汽车平均油耗为0.1升/千

18．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，点Q的坐标为(0，2)． （1）求直线QC的解析式；

（2）点P(a，0)在边AB上运动，若过点P、Q的直线将矩形ABCD的周长分成3∶1两部分，求出此时

a的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD是∠ABC的平分线. （1）求证：AB=AD；

（2）若∠ABC＝60°，BC=3AB，求∠C的度数

20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且AED=45． (1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2) 若⊙O的半径为3，sinADE=

56ADBC，求AE的值．

21．某商店在四个月的试销期内，只销售A，B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图l和图2．

(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______； (2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；

(3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．

图1 图2

22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm

的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究. （1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.

图1

AMBDNC 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x的一元二次方程x2axb0，a0,b0. （1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系； （2）若a∶b=2∶3，且2x1x22，求a，b的值；

（3）在（2）的条件下，二次函数yx2axb的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），

与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x－y的最大值.

22DFA图4CEB22

24. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，

垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边

形PQED的面积； ②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

DBOEAEQAO

C图1

DCR图2PB

25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最

小，求出P、Q两点的坐标．

y E A D O F

C x B

北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）

数学试卷参

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题 号 答 案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 11 126 C 7 A 12 8 A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题 号 9 10 答 案 －2 圆柱 π 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）

解: 原式4x24x1x244x24x ………………3分

x3 . ………………4分 3322当x时 ，

2715 . ………………5分 3344233原式2x1x2114．（本小题满分5分） 解：

x23 ………………1分

去分母得 x-1+1=3（x-2）

解得 x=3. ………………4分

经检验：x=3是原方程的根.

所以原方程的根为x=3. ………………5分

15．（本小题满分5分） 解：（1）A1 点的坐标为（3，－1），B1点的坐标为（2，－3），C1点的坐标为（5，－3）；

A2 点的坐标为（－3，－1），B2点的坐标为（－2，－3），

C2点的坐标为（－5，－3）. 图略，每正确画出一个三角形给2分. （2）利用勾股定理可求B2C＝16．（本小题满分5分） 证明：∵ CF∥AB，

∴ ∠A=∠ACF, ∠ADE=∠CFE. -------2分

65. ………………5分

在△ADE和△CFE中， ∠A=∠ACF， ∠ADE=∠CFE，

AEEC，

A

D B E F

∴ △ADE≌△CFE. --------4分 ∴ ADCF. ------5分 17．（本小题满分5分）

C

解：设小刚家4、5两月各行驶了x、y千米. --------------------------1分

4yx100,依题意，得  ----------------------------3分 50.1x0.1y260.x1500,解得  -------------------------------4分

y1100.答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米. -----------5分

18．（本小题满分5分）

解：（1）由题意可知 点C的坐标为（1，1）．

…………………………………1分

设直线QC的解析式为ykxb． ∵ 点Q的坐标为(0，2)，

∴ 可求直线QC的解析式为yx2．…………………………………2分 （2）如图，当点P在OB上时，设PQ交CD于点E，可求点E的坐标为（

则APADDE2由题意可得 25252a，CEBCBP332a)．

32a．

a2，1）．

a3(3∴ a1． …………………………………4分

由对称性可求当点P在OA上时，a1

∴ 满足题意的a的值为1或－1． …………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）

解：（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，

∴ ∠1=∠2.

∵ AD//BC，∴∠2=∠3. ∴ ∠1=∠3.

A3DB12EFC∴AB=AD. ---------------------2分

（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.

∴ EF=AD=AB.

∵ ∠ABC＝60°，BC=3AB， ∴ ∠BAE=30°. ∴ BE=∴ BF=

123AB. AB=

122∴ BD=DC.

BC.

∴ ∠C=∠2.

∵ BD是∠ABD的平分线，

∴ ∠1=∠2=30°.

∴ ∠C=30°. -------------------------5分

20.（本小题满分5分）

解：（1）CD与圆O相切． …………………1分 证明：连接OD，则AOD=2AED =245=90． …………………2分 ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC．

D ∴CDO=AOD=90．

∴ODCD． …………………3分 ∴CD与圆O相切．

A O （2）连接BE，则ADE=ABE．

∴sinADE=sinABE=

56C B E ． …………………4分

∵AB是圆O的直径，

∴AEB=90，AB=23=6． 在Rt△ABE中，sinABE=∴AE=5 ．

21．（本小题满分5分）

解：(1)30％； ……………………2分 (2)如图所示. ……………………4分

(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A品牌的月销量呈下降趋势，而B品牌的月销量呈上

升趋势．所以该商店应经销B品牌电视机． …………………5分

AEAB=

56．

DFACEB22．（本小题满分5分）

解：（1）将图4中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图下中

的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD．…………………2分

（2）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30．

∵ 纸带宽为15，

∴ sin∠ABM=

AMAB153012．

∴∠AMB=30°． …………………5分

五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程x22axb20有实数根,

∴ Δ=(2a)24b20,有a-b≥0,（a+b）（a-b）≥0. ∵ a0,b0, ∴ a+b＞0,a-b≥0.

∴ ab. …………………………2分

（2） ∵ a∶b=2∶3，

∴ 设a2k,b3k.

2

2

解关于x的一元二次方程x24kx3k20，

得 xk或-3k.

当x1k,x2= -3k时，由2x1x22得k2. 当x13k,x2= -k时，由2x1x22得k∴ a4,b23. …………………………5分

（3） 当a4,b23时，二次函数yx8x12与x轴的交点为、C的交点坐标分别为A（－

6，0）、（－2，0），与y轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D为（－4，－4）. 设z＝3x－y ，则y3xz.

画出函数yx8x12和y3x的图象，若直线y3x平行移动时，可以发现当直线经过

点C时符合题意，此时最大z的值等于－6 ……………7分

24. （本小题满分7分）

解：（1）四边形ABCE是菱形.

证明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，

∴ EC∥AB，EC＝AB.

2225（不合题意，舍去）.

∴ 四边形ABCE是平行四边形. 又∵ AB＝BC，

∴四边形ABCE是菱形. ……………2分

（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下： 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO， ∴ S△PBO＝ S△QEO

∵ △ECD是由△ABC平移得到的， ∴ ED∥AC，ED＝AC＝6. 又∵ BE⊥AC， ∴BE⊥ED

∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED

11＝×BE×ED＝×8×6＝24. ……………4分 22

DCR123EQAOGPB②如图，当点P在BC上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似. ∵∠2是△OBP的外角， ∴∠2＞∠3.

∴∠2不与∠3对应 . ∴∠2与∠1对应 .

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3 .

过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点 . 可证 △OGC∽△BOC . ∴ CG:CO＝CO:BC . 即 CG:3＝3:5 . 9

∴ CG= .

5

97

∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .

551818

∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.

557

∴ x＝

57

∴ BP＝ . ……………7分

5

25．（本小题满分8分）

解：（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+2. 则4a2b209a3b202

2a3解得 

4b3H ∴ y23223x43243x2．……………2分

y 23(x1)2（2）由yxx2＝83．

E A D GH B ∴ 顶点坐标为G（1，

83）．

过G作GH⊥AB，垂足为H． 则AH＝BH＝1，GH＝

83－2＝

23O F ．

MC x ∵ EA⊥AB，GH⊥AB，

∴ EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位线 ． ∴EA＝3GH＝

43过B作BM⊥OC，垂足为M ．

．

则MB＝OA＝AB．

∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°， ∴ ∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF． ∴ R t△EBA≌R t△FBM． ∴ FM＝EA＝

43∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，

．

．……………5分 3（3）要使四边形BCGH的周长最小，可将点C向上 平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，

得点C1的坐标为（－1，1）． 可求出直线BC1的解析式为y 直线y13x4313x43∴ CF＝FM＋CM＝

7．

53与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1，

23）．

点G的坐标为（1，

）．……………8分