例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

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例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

圆锥曲线中求离心率的常见问题

整理者：童继稀

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质,它的变化直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的重要要素。纵观近年的高考，离心率也是圆锥曲线客观题的考查重点,通常有求椭圆和双曲线的离心率和离心率取值范围两种题型，属于中档次的题型。试题既不需要深奥的知识，也没有高难的技巧，许多题目源于将课本中若干基础知识串并联、类比、改造而成.本文通过实例归纳了求椭圆或双曲线的离心率和离心率的取值范围两种题型的常用方法.

题型一：求离心率e

方法1：直接求出a、c，再求解离心率e

当圆锥曲线的标准方程已知或者a、cce易求时,可直接利用率心率公式a来解决。

x2y21例1．［2013·高考陕西卷(文）] 双曲线169的离心率为_______。

ec4a52

4,b3,c5，故离心率解析：由双曲线方程不难得出a。

例2．［2013·浙江卷］ 如图所示,F1,F2是椭圆C1：错误!＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，

B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ） A．错误! B． 错误! C．错误! D．错误!

F23,设双曲线方程为12|解析：由椭圆方程知|F22|AFFxy2||A1|421(a0,b0)2|AFFa,得ab2||A1|2,则222|AF2|2a|AF1|2a。

tFAFAF90，由勾股定理：(2)a(2)a(23),得a1F2中,12在Rc6ea2.

方法2:采用圆锥曲线的统一定义求解

2。故

从“焦点-准线”的观点来看，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（不包括一些退化情形）。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比)称为圆锥曲线的离心率。根据e1的取值范围不同，曲线也各不相同:当e0时，轨迹为圆;当0e时,轨迹为双曲

时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物线；当e1线.

x2y22120,b0)的右焦点为b例3．设椭圆a（a

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F1，右准线为

例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

到准线

解析:如图所示， AB是过F1且垂直于x轴的弦，由ADl1于D可知AD为F1l11ABAF11e2ADAD2的距离，根据椭圆的第二定义，

。

方法3：构造a、c的齐次方程，解出e

22a,b,cbac根据题设条件建立之间的等量关系，再借助椭圆中（或双曲线22中bca）消去b，从而构造a、c的齐次方程，进而根据离心率的定义两边同时除以a的齐次得到关于e的方程，便可解方程得到离心率e。

1例4．[2014·江西卷] 过点M(1，1)作斜率为2交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．

22xy21(a0,b0)2的直线与椭圆C:ab相

解析:设点A(x1，y1)，点B(x2，y2）,点M是线段AB的中点,所以x1＋x2＝2,y1＋y2＝2，且x12y121a2b2222222(xxx)(x)(yy)(yy)xyx2y21121212121x21y22222a2b2abb，两式作差可得a，即,所以

y1y2b22x1x2ab2b21kAB22a。由题意可知，直线AB的斜率为－错误!，所以a2，即

c1()22得a。由a＝

122

222222b2a2cc2，再两边同时除以a2b2＋c2可知a,即a22e以2，故选D．

即

e2，所

例5．[2015·新课标卷Ⅱ(理）］ 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A．5 B．2 C．3 D．2

解析：设双曲线方程为

22xy21(a0,b0)2ab0ABM120，过点M，如图所示，

Nx轴，垂作M，

ABBM，

足为N。

故点M的坐

2222abac,

N3atBMN中，BNa，M在R(2,a3)a标为M22a即c2，代入双曲线方程化简得

c2()22aa，两边同时除以得

2

2即e2，所

例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

以e2,故选D．

题型二：求解离心率e的取值范围

方法1：运用函数思想求解离心率的范围

通过已知条件分析，利用圆锥曲线的性质建立离心率的函数关系，转换为求函数值域的问题.

x2y2122例6．［2008·全国卷Ⅱ(理)］ 设a1,则双曲线a(a1)是（ )

的离心率e的取值范围

2)A．(2，

B．(2，5)

2， C．(25)

D．(2，5)2

22c(a1)12a2e()1(1)2aaa，则可把e解析：根据题意可知

看成是关于a的函数。

(1,)上单调递减,得2e5，即又因对应函数在a22e5，故选B。

方法2：构建关于e的不等式,求e的取值范围

根据已知和潜在条件构建一个关于基本量a,b,c的齐次不等式（通常要借助一些不等式

性质、平面解析几何知识，函数性质与数形结合思想等来探求），再化简为e形式,便可求得离心率范围。

22xy21(ab0)2FPF9012例7．设P是椭圆ab上一点，且,其中F1,F2是椭圆的两个焦

点，求椭圆离心率的范围。

PF2a，由12解析1：（利用二次方程有实根建立不等式）据椭圆定义可知PF222222PFPF2(ac)。 PFPFFF4cFPF9021212得1,则1222222PF,PFx2ax2(ac)0的两个根，则有4a8c0,又因e1,12因此，是方程

2e,12解得。

（，0）1c解法2:（利用x或y的有界性建立不等式）可知FFP(xc,)y,FP(xc,)y12F（，），设Px（，y），则有2c0，则

FPF2P01FPF9012。由知

F1PFP2,即

2222(xc)(xc)y0,得xyc。

将之与椭圆方程联立,消去ya2c2a2b2x22ab可得

2FPF90知12，但由椭圆范围及 3

例谈圆锥曲线中求离心率的常见问题

22222cbcac2222acab222022a22ca0xa，即ab，可得2e[,1)2故。

c2ea2ec1a，解得。

例8．［2013·重庆卷］ 设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为

60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2｜，其中A1，B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ) A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!

解析：由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴)对称。由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小

22xy21(a0,b0)2于或等于60°,不失一般性，设双曲线方程ab，则由作图易知双曲线的渐

3bb1b23()3近线的斜率a必须满足3a，所以3a。又因双曲线的离心率为

cbe1()2aa

e，所以错误! 错误!参考文献

张利平,揭秘高考圆锥曲线离心率的几种常规求法，数学学习与研究 2015。 9； 蔡勇全，确定圆锥曲线离心率取值范围的九种策略,中学数学研究 2013年第2期；

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