第11讲 反比例函数的图象和性质
一、 知识清单梳理 知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 k（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的x取值范围是非零的一切实数． 1.反比例函（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： 数的概念 关键点拨与对应举例 例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数． k①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) xk的符号 k>0 经过象限 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. 例：若(a，b)在反比例函数 k<0 图象经过第每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. 一、三象限 （x、y同号） 图象经过第每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 二、四象限 （x、y异号） 3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. yk的x图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在\"、\"不在\") 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x. 4.待定系数法 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 k（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线x与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. 失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：5.系数k的（2）常见的面积类型： 几何意义 图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片 y3或xy3. x（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，涉及与面积有关的问题时，①要善于把可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 思想求解. 6.与一次函（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 数的综合 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.第1页 共2页
也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 知识点三：反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； 7 .一般步骤
（2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 第2页 共2页
