产品结构优化中应注意的几个问题

第３￣Ｉ（２００６）　石油化工技术经济　・管理科学・　产品结构优化中应注意的几个问题　焦秀琦　（石油化工管理干部学院，北京，１０００１２）　摘要：在运用线性规划方法优化企业的产品结构时，应当在目标函数中引入产品价格和各种资源的价格等信息，用　单位产品的毛利作为目标函数　决策变量的系数。并应根据使硬约束成为紧约束的原则，不断调整软约束的资源可用　量，尽可能使所有的约束条件都达到紧约束的程度，才能保证得到最优方案。　关键词：　目标函数毛利紧约束松弛变量　石化企业存在着产品品种繁多、产品关联程　企业生产计划的优化时，需要注意以下几个问题。　度较高的特点，因此比较适合用线性规划方法优　化产品的生产结构。但是，由于线性规划方法在　１经典的线性规划问题　建立数学模型和求解过程中要用到一些数学方法　现以某石化企业为例，该企业可生产９种产　和技巧，因此许多线性规划方法的研究者和应用　品，月生产能力为ｌ　３００　ｔ，使用６种原料和５种公　者大多来自于数学专业，他们往往偏重于研究建　用工程资源，根据生产工艺条件的要求，每生产１　立数学模型和对数学方法的论证，而对实际应用　ｔ产品２至少要生产出０．５　ｔ的产品３，各种产品　问题中的条件和要求关注不够，导致线性规划理　所消耗的原料和公用工程资源的单位消耗系数以　论上的方法与解决实际问题有一定的距离，使线　及原料和资源总用量如表１所示，９种产品的单　性规划方法并没有发挥出应有的作用。笔者通过　位利润列在表的最下一行。问企业应如何安排月　多年来的实际应用，感到在用线性规划方法解决　度生产计划，才能使每月的利润最大。鼍　表１月度生产计划　ｔ　这是一个经典的线性规划问题，我们可以直　接给出它的数学模型如下：　收稿日期：２００６—０２－１５。　作者简介：焦秀琦，男，１９５７年出生，１９８５年毕业于清华大学　设９种产品的月产量分别为ｘ。到墨，每月的　经济管理学院，硕士。现为石油化工管理干部学院剐教授。　维普资讯 http://www.cqvip.com

石油化工技术经济　第２２卷　利润总额为Ｚ，则目标函数为：　１２０Ｘ￣＋１４０Ｘ６＋１３０Ｘ７＋１２０Ｘ８＋１２５Ｘ９　Ｚ　＝１３０Ｘ１＋１２５Ｘ２＋１　１５Ｘ３＋１３５Ｘ４＋　需要满足的约束条件有：　Ｉ＋Ｘ２＋ｘ　＋ＸＩ＋ｘ　十ｘ６＋Ｘ１＋ｘｓ＋Ｘ９≤、３００　．５　一Ｘ３≤０　Ｕ．　．７５Ｘ１＋０．４４　＋０．７３２Ｘ３＋０．８２４ｘ４＋０．６７　＋０．６７｜）ｉｆ　＋０．７３３Ｘ７＋０．７３３Ｘ８＋０．８２４Ｘ９≤９００　．１７Ｘｌ＋０．２４Ｘ２＋０．０４６Ｘ３＋０．２ｏ６ｘ４＋０．０７２Ｘ￣＋０，０７２Ｘ６＋０．０４６Ｘ７＋０．０４６Ｘ８＋０．２ｏ６ｘ９≤１７０　．Ｏ１６Ｘ３＋０．０５　＋０．０５　＋０．Ｏ１ｘ７＋０．Ｏ１Ｘ８≤１３　［＝ｏ．Ｏ０３　８Ｘ２＋０．００３　８Ｘ３＋０．００３　８Ｘ７＋０．Ｏ０３　８Ｘ８≤３　西，０３Ｘ１＋０．０３　＋０．０３Ｘ３＋０．０３　＋０．０３Ｘ６＋０．０３Ｘ７＋０．０３Ｘｓ≤３０　．２１Ｘ１＋０．３１　＋０．２１Ｘ３＋０．２１　＋０．２１瓦＋０．２１　＋０．２１Ｘ８≤２００　１Ｘｌ＋１２Ｘ２＋ｌＯＸ３＋ｌｌ墨＋ｌ３　＋１２墨＋ｌ４墨＋ｌ５　＋ｌ０　≤１５　６００　Ｆ２１Ｘｌ＋２２　＋２１Ｘ３＋２２Ｘ４＋２３五十２２　＋２３Ｘ７＋２３　＋２１Ｘ９≤２８　０００　．４　１＋２．５Ｘ２＋２．３Ｘ３＋２．６Ｘ４＋２．５Ｘ５＋２．５　＋２．６ｘ７＋２．６Ｘｓ＋２．５Ｘ９≤３　２００　０　Ｉ＋２１　＋１９Ｘ３＋１９Ｘ４＋２０Ｘ５＋２１　＋２０　＋２１Ｘ８＋１９Ｘ９≤２６　０００　３７　１＋４３８Ｘ２＋４４０　＋４４３ｘ４＋４４０Ｘ５＋４４２Ｘ６＋４４１ｘ７＋４３９Ｘ￣＋４４０Ｘ９≤５７０　０００　。、　、　、墨、　、　、　、　、Ｘ９≥０　对上述问题用单纯形法求解可以得出：Ｘ　＝　业产品生产计划的优化时，需要首先解决目标函　９１．６，　＝１７４．４，　３＝８７．２，　４＝３９１．４、　５＝０、Ｘ６　数的系数确定和可用资源总量的确定这两个问　＝１６１．１、ｘ，＝３５５．１、　＝０、Ｘ９＝０，每月的最大利　题。　润为Ｚ…＝１６５　２８９元。　从理论上来说，这就是原问题的最优解。但　２如何确定目标函数系数的问题　是在现实的生产经营活动中，这样的最优解根本　在经典的线性规划模型中，目标函数通常为：　无法让企业所接受。而事实上企业在实际生产决　Ｚ　＝∑ｃｆ五，其中的ｃｆ为产品＿『的单位利润。但　策中应用线性规划方法的时候，也根本不是像以　是在企业实际的生产经营活动中，在尚未确定产　上所说的那样，先确定出各种资源的可用数量，冉　品生产数量的情况下根本无法计算出单位产品的　用线性规划方法计算出各种产品的最优产量。实　利润，因为单位利润与成本的分摊有关。通常的　际情况往往是颠倒过来，即先根据装置的生产规　情况往往是比较容易得到产品价格和各种资源的　模和加工能力，以及生产工艺条件的要求和市场　价格等信息，这就需要我们首先根据产品和各种　对各种产品的需求量预测数据等因素，初步确定　资源的价格，结合单位产品的消耗系数计算出各　出各种产品的生产数量，再根据单位产品的消耗　个产品的毛利，用单位毛利作为目标函数的系数，　系数倒推反算求出各种原料和资源的需要数量，　然后在最终计算结果中扣除计划期的固定成本，　从而组织原材料和资源的采购计划。　即可得到净利润。　有人可能会说，这样安排的生产计划很难保　因此，我们建议将目标函数中的系数ｃ　用产　证是最优的，也就无法保证企业获得最大的利润。　品价格ｐ　和资源价格ｑ　来表示。在传统的单纯　我们承认，这种初步的计划可能并非最优，但它是　形法计算表中，通常是将单位产品的利润ｃ　放在　我们进行方案优化的基础。只有从此出发不断地　表的最下面一行，现在假定当前已知的信息是产　进行优化和调整，才能得到既符合实际的生产经　品价格和各种资源的价格，那么就应当将产品价　营状况，又能为企业所接受的更加合理的优化方　格放在单纯形表的第一行，将资源价格放在表的　案。　最右边一列，然后根据单位收入减去单位变动成　根据我们的实践，在用线性规划方法进行企　本的关系，即可计算出单位产品的毛利，放在单纯　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期（２００６）　焦秀琦．产品结构优化中应注意的几个问题　形表的最下面一行。由于计划期内固定成本为一　毛利，即边际贡献。　常数，并不会影响最终优化结果，可在计算结束后　扣除即可。　在目标函数中引入产品价格和资源价格至　少有两个好处，一是掌握了各种资源的价格信　息后，可以将资源的市场价格与优化结果中的　资源的影子价格进行比较，以便决定对每种资　源是增加购入还是卖出；二是掌握了产品的价　设产品价格为ＰＳ，资源价格为ｑ　，单位产品消　耗系数口　表示第　种产品消耗第ｉ种资源的数　量，期间固定成本为Ｆ，则目标函数可以改写为：　＝格信息后，可以根据产品市场价格的变动及时　（Ｐ　一∑口　ｇｉ）置＋（尸２一∑８　）　＋　…＋（Ｐ　一∑ａｉ．ｑ　）　一Ｆ　调整优化方案。　在上例中，我们将９种产品的市场价格列在　＝∑（　一∑口　）　一Ｆ　第一行，将６种原料和５种资源的价格列在最右　Ｊ＝１　１　边一列，则目标函数中的系数可以通过表２计算　￣ｅｅ（Ｐ　一∑ａｑｑ　）的表示产品　的单位产品　得出。　表２目标函数中的系数　３如何确定资源总用量的问题　的用量。　在用线性规划方法解决企业生产计划问题　在上例中，由于月生产能力１　３００　ｔ属于硬约　时，我们可以将约束条件大致区分为两类，即软约　束，所以可首先假定９种产品每月的产量分别为各　束和硬约束。通常情况下，各种资源的用量基本　生产１４４．４　ｔ，结合单位消耗系数矩阵可以初步计　上都属于软约束，即根据生产的需要可以随时增　算出各种原料和资源的大致用量分别为：９２０、１６０、　加购入量或适当卖出。而生产能力、工艺条件要　２０　２　２　３０　２２７、１５　６００　２８　６００、３　２５０　２６　０００　５７２　求和工作时间的等通常属于硬约束，尽管可　０００。为了使优化范围有一定的变动空间，我们可　以通过加班加点等措施来有限地增加生产能力和　以将各种资源约束进行适当的放宽，例如都增加　工作时间，但这些资源的可变范围极小，不像原材　２％左右，所以各种原料和资源的总量可以初步确　料等资源那样可以随意增减。因此，在用线性规　定为９４５、１６５、３０、３、３５、２３５、１７　５００、２９　２００、３　３２０、　划方法安排最优生产计划时，通常不可能一开始　２６　５００、５８３　０００。这样，就形成了对下列问题进行　就直接给出各种资源的可用量，而是需要根据一　线性规划的求解（见表３）。　定的原则，先确定出各种资源用量的大致范围，进　对上述问题用单纯形法求解可以得出（见　行优化计算，再根据优化结果适当增减各种资源　表４）。　维普资讯 http://www.cqvip.com

・５６‘　石油化工技术经济　第２２卷　表４单纯形法求解结果　每月的最大毛利为Ｚ　＝１５　７９２　５５４元。　硬约束都成为紧约束。总之，衡量一个优化结果　是否达到了生产中实用意义上的最优方案，就是　４如何调整最优方案的问题　看它的约束条件是否都达到了紧约束的标准。只　从理论上来说，以上优化结果即为最优生　有当所有的约束条件都成为紧约束时，这样才能　产方案。但是，通过进一步的分析可知，由于　既充分发挥生产能力和资源潜力，同时又没有闲　存在着对某些软约束的资源用量估算不足的　置的资源造成不必要的浪费。　可能性，就会出现优化结果中某些软约束条件　从以上计算结果中可以看出，紧约束是原料　成为紧约束，而某些硬约束的松弛变量却大于　Ａ及原料Ｄ，电和氮气也是紧约束，而生产能力和　零的情况。在这种情况下，可以断定，这样的　其他原料及资源都有剩余，说明这并非最优方案。　结果并非真正意义上的最优方案，仍有可调整　因此我们可以适当地增加原料Ａ和原料Ｄ以及　的余地。　电与氮气的总用量，由于原料Ｄ的影子价格最　调整的方法就是对于那些成为紧约束的软约　高，意味着每增加一个单位的原料Ｄ的用量，所　束，可以适当地放宽约束边界，增加其资源用　能够增加的毛利最大，所以可以将原料Ｄ的用量　量。由于硬约束一般都是不可调整的约束条件，　由３　ｔ增加为４．３　ｔ，重新进行优化计算，用单纯形　应当最大限度地发挥其效用，尽可能地使所有的　法求解可以得出（见表５）。　表５单纯形法求解结果　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期（２００６）　焦秀琦．产品结构优化中应注意的几个问题　每月的最大毛利为ｚ一＝１８　０３１　８０２元。　３２　９７３　ｔ和５８７．６　ｔ，所以应增加原料Ｆ的　从以上结果可以看出，紧约束现在已经改变　用量后重新优化，将原料Ｆ的用量由２３５　ｔ增加为　为原料Ｆ和水资源，它们的影子价格分别为　２５０　ｔ，用单纯形法求解可以得出（见表６）。　表６单纯形法求解结果　每月的最大毛利为ｚ一＝１８　２２３　２４４元。　现，由于本案例中产品８的毛利远高于其他产　经过以上两次的调整，紧约束又改变为原　品的毛利，所以如果没有其他的约束条件加以　料Ｄ、原料Ｅ和水资源，它们的影子价格分别　，那么在各种原料和资源用量分别为９５３、　为ｌ　０３７　１９８元／ｔ、９９　４３５元／ｔ、５８７．６元／ｔ，所　６１　１４　５　３９１　２７３　１９　５００　２９　９００　３　３８０　．　以仍然需要不断地调整影子价格最高的那种　２７　３００、５７０　７００的条件下，得到本问题的最优　资源的用量。经过反复的优化计算，我们发　解（见表７）。　表７问题的最优解　每月的最大毛利为Ｚ　＝２０　４５９　９９８元。这　时既没有能力过剩，也没有资源浪费。　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　Ｄｅｓｅｒｖｉｎｇ　Ａｔｔｅｎｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｒｏｄｕｃｔｓ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｊｉａｏ　Ｘｉｕｑｉ　（ＳＩＮＯＰＥＣ　ｎ口ｇｅ，聃ｍ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００１２）　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　Ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｗｉｔｈ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ．ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｓ　ｐｒｉｃｅｓ　ｏｆ　ｐｒｏｄ—　ｕｃｔｓ　ａｎｄ　Ｖ￣ＯＵＳ　ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ｉｎｄｕｃｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ｇｒｏｓｓ　ｐｒｏｆｉｔ　ｏｆ　ｕｎｉｔ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ａｓ　ｔｈｅ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｏｆ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ａｖａｉｌａｂｌｅ　ｑｕａｎｔｉｔｙ　ｏｆ　ｓｏｆｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｉ￣ｓｏｕｒｃｅｓ　ｓｈｏｕｌｄ　ｂｅ　ａｄｊｕｓｔｅｄ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｔｕｒｎｉｎｇ　ｈａｒｄ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｉｎｔｏ　ｔｉｇｈｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ａｓ　ｌｏｎｇ　ａｓ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｔｉｇｈｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｓｃｈｅｍｅ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｎｓｕｒｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｇｒｏｓｓ　ｐｒｏｆｉｔ，ｔｉｇｈｔ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ｓｌａｃｋ　ｖａｒｉａｂｌｅ