8．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，第1页 共8页
∠ABO=β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为 ( )
A．α=β B．α=2β C．α＋β=90° D．α＋2β=180° 二、填空题 (每题3分，共30分)
9．如图，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任
意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有 种．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使
点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= ．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，且BD=BC，过点D分
别作．DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．给出以下四个结论：①DE=DF；②点D是AC的中点；③DE垂直平分AB；④AB=BC＋CD．其中正确的结论是 ．(填序号)
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的
垂线BD，CE．若BD=4 cm，CE=3 cm，则DE= cm．
13．如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D，
BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，则∠EDF= ．
14．如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方
向的C处，他先沿正东方向走了320 m到达B地，再沿北偏东30°的方向走，恰能到达目的地C，那么，由此可知，B，C两地相距 m．
15．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2
个单位长度后，得到△A'B'C'，连接A'C，则△A'B'C的周长为 ．
16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数
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为 ．
17．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小
刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE=PD，这时他发现么∠OEP与∠ODP之间有一定的等量关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系 ．
18．已知在△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边且与△ABC全等的三
角形，这样的三角形一共能作出 个．
三、解答题 (共76分)
19．(本题6分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB． (1) 求∠CAD的度数；
(2) 延长AC至点E，使CE=AC，求证：DA=DE．
20．(本题6分) 如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． (1) 求证：△ABE≌△DCE；
(2) 当∠AEB=50°时，求∠EBC的度数．
21．(本题6分) 如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中
点，连接OE．
(1) 求证：△AOB≌△DOC； (2) 求∠AEO的度数．
22．(本题6分) 如图，已知AD，BF相交于点O，点E，C在BF上，BE=FC，AC=DE，
AB=DF．
求证：OA=OD，OB=OF．
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23．(本题6分) 如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸
线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线? 画出图形并说明理由．
24．(本题8分) 如图，∠ABC=90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
(1) 求证：∠FMC=∠FCM .
(2) AD与MC垂直吗? 请说明理由．
25．(本题8分) 在△ABC中，已知AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E
是AB边上一点
(1) BF垂直CE，垂足为点F，交CD于点G (图1)，求证：AE=CG；
(2) AH垂直CE的延长线，垂足为点H，交CD的延长线于点M (图2)，找出图中
与BE相等的线段，并加以证明．
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26．(本题8分) 如图，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，
E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
(1) 求证：DE平分∠BDC；
(2) 若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
27．(本题12分)
(1) 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E
在BC的延长线上，且CE=CA，试求∠DAE的度数．
(2) 如果把(1)中条件“AB=AC”去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变
吗? 请说明理由．
(3) 如果把(1)中条件“∠BAC=90°，改为“∠BAC>90°”，其余条件不变，那么
∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系? 请给出证明．
28．(本题10分) 四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
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参
一、选择题
1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．A (提示：延长FD至G，使GD=DF，连接BG，EG，可证△DFC≌△DGB，∴BG=CF，可证△EDF≌△EDG，∴EF=EG，在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE>EG．又EF=EG，BG=CF，∴BE+CF>EF) 8．B [提示：∵ △AOB≌△ADC，∴ AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴ ∠BAC=∠OAD=α，
1在△ABC中，∠ABC=(180°－α)．∵ BC∥OA，∴ ∠OBC = 180°－∠O=180°－90°
21= 90°，∴ β+(180°－α) = 90°，∴ α= 2β]
2二、填空题 9．5 10．71° 11．①③④ 12．7 13．55° 14．320 15．12 16．63°或27° 17．∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180° 18．7 [提示：分别以AB，BC为公共边时，可以各作出3个，以AC为公共边时，仅能作1个，共3+3+1—7(个)] 三、解答题
19．(1) ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴ ∠CAB=60°．又∵ AD平分∠1CAB，∴ ∠CAD =∠CAB=30°，即∠CAD=30° (2) ∵ ∠ACD+∠ECD=180°,
2且∠ACD=90°，∴ ∠ECD=90°，∴ ∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，AC =EC，∠ACD =∠ECD，CD = CD，∴ △ACD≌△ECD，∴ DA=DE
20．(1) ∵ ∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴ △ABE≌△DCE (2) ∵ △ABE≌
△DCE，∴ BE=EC，∴ ∠EBC=∠ECB，∵ ∠EBC+∠ECB =∠AEB=50°，∠EBC= 25° 21．(1) ∵ ∠AOB=∠DOC，∠B=∠C，AB=CD，∴ △AOB≌△DOC (2) 由(1)知△AOB
≌△DOC，∴ AO=DO．∵ E是AD的中点，∴ OE⊥AD，∴ ∠AEO=90°
22．∵ BE=FC，∴ BC=FE．又∵ AC=DE，AB=DF，∴ △ABC≌△DFE，∴ ∠ABF=∠DFB，∴ AB∥DF，∴ ∠BAO=∠FDO. 又∵ AB=DF，∠AOB=∠DOF，∴ △ABO≌△DFO，∴ OA=OD，OB=OF
23．此时轮船没有偏离航线．理由：设轮船在C处，如图
所 示，航行时C与A，B的距离相等，即CA=CB，OC=OC.已知AO=BO，由“SSS”可证明△AOC≌△BOC，所以, ∠AOC=∠BOC，即没有偏离航线 24．(1) ∵ AD⊥DE，AD=DE，F是AE的中点，∴ DF⊥ AE，
DF=AF=EF．又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴ ∠DCF=∠AMF．又∵ ∠DFC=AFM=90°，∴ △DFC≌△AFM，∴ CF=MF，∴ ∠FMC=∠FCM (2) AD⊥MC．证明：由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC，∴ ∠FDE=∠FMC=45°，∴ DE∥CM，∴ AD⊥MC
25．(1) ∵ 点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴ CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=
45°，∠CAD=∠CBD=45°，∴ ∠CAE=∠BOG．又BF⊥CE，∴ ∠CBG+∠BCF= 90°．又∠ACE+∠BCF=90°，∴ ∠ACE=∠CBG，∴ △AEC≌△CGB，∴ AE=CG (2) BE=CM. 证明：∵ CH⊥HM，CD⊥ED，∴ ∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴ ∠CMA=∠BEC.又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，∴ △BCE≌△CAM，
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∴ BE=CM
26．(1) 在等腰直角三角形ABC中，∵ ∠CAD=∠CBD=15°，∴ ∠BAD=∠ABD=45°－
15°=30°，∴ BD=AD，∴ △BDC≌△ADC，∴ ∠DCA=∠DCB=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴ ∠BDM=∠EDC，∴ DE平分∠BDC (2) 连接MC，∵ DC=DM，且∠MDC=60°，∴ △MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵ ∠EMC=180°－∠DMC=180。－60°=120°，∠ADC=180°－∠MDC=180°－60°=120°，∴ ∠EMC=∠ADC．又∵ CE=CA，∴ ∠DAC=∠CEM=15°，∴ △ADC≌△EMC，∴ ME=AD=BD
27．(1) ∵ AB=AC，∠BAC=90°，∴ ∠B=∠ACB=45°．∵ BD=BA，∴ ∠BAD=∠BDA=
11(180°－∠B) =67．5°．∵ CE=CA，∴ ∠CAE=∠E=∠ACB=22．5°．在△ABE22中，∠BAE=180°－∠B－∠E=112．5°，∴ ∠DAE=∠BAE－∠BAD=112．5°－67．5°=45° (2) 不会改变 理由：设∠CAE=x°．∵ CA=CE，∴ ∠E=∠CAE=x°．∴ ∠ACB=∠CAE+∠E=2x°．在△ABC中，∠BAC=90°，∴ ∠B=90°－∠ACB=90°－
12x°．∵BD=BA，∴ ∠BAD=∠BDA=(180°－∠B) =x°+45°．在△ABE中，∠2BAE=180°－∠B－∠E=180°－(90°－2x°)－x°=90°+x°，∴ ∠DAE=∠BAE－∠1BAD=(90°+x°)－(x°+45°) =45° (3) ∠DAE=∠BAC 设∠CAE=x°, ∠2BAD=y°,则∠B=180°－2y°，∠E=∠CAE=x°．∴ ∠BAE=180°－∠B－∠E=2y°－x°．∴ ∠DAE=∠BAE－∠BAD=2y°－x°－y°=y°－x°，∠BAC=∠BAE－∠1CAE=2y°－x°－x°=2y°－2x°．∴ ∠DAE=∠BAC
228．证明：（1）∵BE=DF， ∴BE﹣EF=DF﹣EF， 即BF=DE，
，
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∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在Rt△ADE与Rt△CBF中，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE=∠CBF， ∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．
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