绝对值的几何意义

【学习目标】

1.认识并应用绝对值的几何意义 2.梳理绝对值的化简方法 【专题简介】

绝对值是整个七年级代数中难点之一，在暑假我们已经对绝对值的相关知识与专题进行了代数角度的学习研究，现在我们回归绝对值的定义本质，从几何角度出发，重新认识和理解绝对值. 【专题分类】

1.绝对值的几何意义： 2.最值问题： 3.方程不等式：

模块一 绝对值的几何意义

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通过对前面的学习，我们队绝对值的代数意义已经熟悉，如|a-b|=ab(a≥b)，这让我们看到一个含

ba(a＜b)绝对值式子的第一反应就是，我可以把它拆开，例如，当这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般的在脑海中变成了|x-1|=x1(x≥1)，诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用1)1x(x＜的，但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简。

实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，前面的学习中更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时，会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”，反过来，我们也应该认识到，当一个绝对值式子出现时，它也代表着距离，例如，|a|表示数轴上数a对应的点到原点的距离，|m-n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离。所以，当|x-1|这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”。 【引例】

1. |-1-2|的几何意义是数轴上表示-1的点与表示2的点之间的距离，则|-1-2|= . 2. |x-π|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离；

|x-π|=1的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离是 .

3. |a-b|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，且|a-b|=|b-a|； |a+b|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，且|a+b|=|-b-a|.

4. |x+2|的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离；若|x+2|=2，则x= . 5.当x=-1时，|x-5|+|x+2|= ，当x=π时，|x-5|+|x+2|= .

【例1】（1）数轴上四个点的位置关系如图，且他们表示的数分别为p，q，r，s，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，则|q-r|= .

（2）满足|a-b|=|a|+|b|成立的条件是（ ）

A.ab≥0 B.ab≥1 C.ab≤0 D.ab≤1

【练习1】有理数a、b、c、d各自对应着数轴上的X、Y、Z、R四个点，且他们满足以下三个条件：①|b-d|比|a-b|、|a-c|、|a-d|、|b-c|、|c-d|都大；②|a-d|+|a-c|=|c-d|；③c是a、b、c、d中第二大的数.则点X、Y、Z、R从左到右依次是 . 【拓1】（全国初中数赛四川初赛试卷）若x1、x2、x3、x4、x5、x6是6个不同的正整数，取值1，2，3，4，

5，6，记S=|x1-x2|+|x2-x3|+|x3-x4|+|x4-x5|+|x5-x6|+|x6-x1|，则S的最小值是 .

模块二 最值问题

题型一 基本最值问题 知识导航

求|x-1|+|x-2|的最小值：

|x-1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x-2|即即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一条直线上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值. 设A、B、P三点对应的数分别为1、2、x.

当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=1；

当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PB＞AB；

当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PA＞AB；

综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），|x-1|+|x-2|取得最小值为1. 此结论可以推广：若已知a＜b，则当a≤x≤b时，|x-a|+|x-b|取得最小值为b-a. 夯实基础 【例2】

（1）当x满足 时，|x-5|+|x-200|取得最小值为 . （2）当x满足 时，|x+3|+|x-4|取得最小值为 . （3）当x满足 时，|x+6|+|x+4|取得最小值为 .

（4）当-1≤x≤6时，|x-2|+|x|取得最小值为 ，最大值为 . （5）当|x+1|+|x-3|取得最小值时，试化简|x+5|+|x-5|= . （6）当|x+3|+|x-6|的值最小时，求|x-1|+|x+1|的值. 【练2】

（1）当x满足 时，|x+8|+|x-π|取得最小值为 .

11（2）当x满足 时，|x+|+|x+|取得最小值为 .

23（3）已知x为整数，且满足|x|+|x+4|=4，则x的所有可能值之和为 .

（4）求|x+5|+|x-4|的值最小值，并写出相应的x的取值范围.

【拓1】（2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差得绝对值，例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB=|a－b|，根据以上知识解题.

（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、－1.

①A、B之间的距离可用含有x的式子表示为 ； ②若该两点之间的距离为2，那么x的值为 .

（2）|x+1|+|x－2|的最小值为 ，此时x的取值范围为 . 已知（|x+1|+|x－2|）（|x－3|+|y+2|）=15，求x-2y的最大值和最小值.

【拓2】已知|x+2|+|x－1|=9－|y-5|-|y+1|，求x+y的最值.

【拓3】（外高09改）已知对所有的实数x（x≥1），|x+2|+（x－1）2≥m－|x－3|恒成立，则m的最大值为 .

题型二 多项最值规律 知识导航

以四个绝对值之和为例，求|x-1|+|x－2|+|x-3|+|x－4|的最小值：

设A、B、C、D、P五个点对应的数分别1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近两两一组求和.

当1≤x≤4时，|x-1|+|x－4|=PA+PD=4-1=3，取最小值； 当2≤x≤3时，|x-2|+|x－3|=PB+PC=3-2=1，取最小值.

所求的|x-1|+|x－2|+|x-3|+|x－4|=PA+PB+PC+PD，即上面两式|x-1|+|x－4|与|x-2|+|x－3|之和，如果这两式能同时取得最小值，即PA+PD与PB+PC同时最小，那么他们的和必然也取得最小值. 故当2≤x≤3时，|x-1|+|x－2|+|x-3|+|x－4|的最小值为（4-1）+（3-2）=4. 再以三个绝对值之和为例，求|x|+|x－1|+|x-2|的最小值： 设A、B、C、P四个点对应的数分别0、1、2、x， 当0≤x≤2时，|x|+|x－2|=PA+PC=2-0=2，取最小值； 当x=1时，|x－1|=PB=0，取得最小值；

所求的|x|+|x-1|+|x－2|=PA+PB+PC即上面两式子之和，如果这两式|x|+|x－2|和|x-1|能同时取得最小值，即PA+PC与PB同时最小，那么他们的和必然也取得最小值. 故仅当x=1时，|x|+|x-1|+|x－2|的最小值为（2－0）+0=2.

若求更多的偶数或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值.

夯实基础 【例3】

（1）当x满足 时，|x+3|+|x-1|+|x-4|+|x-6|取得最小值为 ； （2）当x满足 时，|x-3|+|x+2|+|x+1|+|x|取得最小值为 ； （3）当x满足 时，|-x-1|+|x+3|+|x+7|+|4-x|取得最小值为 ； （4）当x满足 时，|x+2|+|x-1|+|x-5|取得最小值为 ； （5）当x满足 时，|x-2|+|6-x|+|x+5|取得最小值为 ；

（6）当x满足 时，|x-1|+|x-2|+……+|x-2016|取得最小值为 ； （7）当x满足 时，|x-1|+|x-2|+……+|x-101|取得最小值为 ；

（8）若0＜a＜10，则x满足 时，|x-a|+|x-10|+|x-a-10|取得最小值为 . 【练3】

（1）当x满足 时，|π+x|+| x+8|+|x-π|+|x-4|取得最小值为 ；

11（2）当x满足 时，|x+|+|x+|+|x|取得最小值为 ；

23（3）求|x|+|x-4|+|x+5|+|x+6|的最小值，并写出相应的x的取值范围.

【拓】（1）若a1＜a2＜……＜a2n+1，当x满足 时，|x-a1|+|x-a2|+……+|x-a2n+1|取得最小值为 ； （2）若a1＜a2＜……＜a2n，当x满足 时，|x-a1|+|x-a2|+……+|x-a2n|取得最小值为 ； 【例4】（1）求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|的最值；

（2）求|x+1|+|2x+1|+|3x+1|+|4x+1|的最值.

11【练4】（1）求|x-1|+|x-1|的最值；

23

111（2）求|x+1|+|x+1|+|x+1|+|x+1|.

243

【拓1】求|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|99x-1|+|100x-1|的最值

【拓2】正数a使得关于x的代数式|x+1|+|x-6|+2|x-a|的最小值是8，那么a的值为 ；

【拓3】（第七届“走进美妙的数学花园”）|x-1|+8|x－2|+a|x-3|+2|x－4|的最小值为12，则a的取值范围是 .

题型三 绝对值差的最值 求|x-1|-|x-2|的最大值：

设A、B、P三点对应的数分别为1、2、x.

当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x-1|-|x-2|=PA－PB，其值在－1到1之间.其中，当x=1时，PA－PB=－1；当x=2时，PA－PB=1；当1＜x＜2时，-1＜PA－PB＜1；

当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x-1|-|x-2|=PA-PB=AB=1；

当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x-1|-|x-2|=PA-PB=-1；

综上可知，

当x≤1时（P点在A点左侧），|x-1|-|x-2|取得最小值为-1； 当x≥2时（P点在B点右侧），|x-1|-|x-2|取得最大值为1. (x≥2)1用绝对值代数意义展开亦可|x-1|-|x-2|=2x3(1＜x＜2)，

1(x≥2)此结论可以推广：

|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|，最小值为-|a-b|.

至于当x满足什么条件时分别取最大值、最小值，则可以画数轴分析或把绝对值展开计算. 【例5】

（1）用绝对值几何意义求|x+3|-|x-5|的最值；

（2）用“零点分段法”化简|4-x|-|x+1|，求出最值，并说明相应的x的取值范围；

（3）求|x+5|-|x+7|的最值.

【练5】（2012武昌七校七上期中）

①当x在何范围时，|x-1|-|x-2|有最大值，并求出最大值.

②当x在何范围时，|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|有最大值，并求出它的最大值. ③代数式|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|+……+|x-99|-|x-100|最大值是 . 【拓1】若m≠0，试探讨|x+m|-|x-m|的最值.

【拓2】（第21届“希望杯”全国数学邀请赛初1第1试）当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|－|x-1|的值最大是 ，最小是 .

题型四 定值问题 知识导航

定值即指代数式的值恒为某一个数.

(x≥2)1例如，用“零点分段法”化简可得|x-1|-|x-2|=2x3(1＜x＜2)，可见当x≥2时，|x-1|-|x-2|的值恒为1，

1(x≥2)即定值为1；当x≤1时|x-1|-|x-2|的值恒为-1，即定值为-1.

2x3(x＞1)(2≤x≤1)，可见对于－2≤x≤－1范围内的再如，令s=|x+1|+|x+2|，化简可得s=|x+1|+|x+2|=12x3(x＜-2)任意x值，s的值恒为常数1，我们就说当－2≤x≤－1时s为定值.

综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x无关，因此，定值问题的核心任务是，找到x的某个取值范围，使得代数式中x正好可以相互抵消. 夯实基础 【例6】 （1）如果对于某一给定范围内的x的值，p=|x+1|+|x-3|为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 . （2）如果对于某一给定范围内的x的值，p=|x-5|-|x+2|为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 . （3）如果对于某一给定范围内的x的值，p=|5-2x|+|2x+9|为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 . 【练6】如果对于某一给定范围内的x的值，m=|2-3x|+|3x+7|为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 . 【例7】

（1）若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ （2）（2014武昌七校七上期中）如果对于某一给定范围内的x的任意允许值，s=|2-2x|+|2-3x|+|2-5x|值恒为一个 常数，则此常数值为（ ）

A.0 B.2 C.4 D.6

（3）如果对于某一给定范围内的a的任意允许值，p=|6a+7|-|5-2a|-|4a|的值恒为一常数，则此常数值为（ ）

A.12 B.2 C.-12 D.12或-12

（4）如果对于某一给定范围内的x的值，s=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-99|+|x-2016|的值恒为一个 常数，则相应的x的范围是 . 【练7】

若|3- a|+|2- 4a |-3 a的值是一个定值，求a的取值范围.

【拓】

（2012外校七上期中）已知x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式

|x-2|+|2x-2|+|3x-2|+|4x-2|+|5x-2|+|6x-2|+|7x-2|+|8x-2|的值恒为定值，试求出x的取值范围及这个定值.

模块三 利用几何意方程与不等式

【例8】解下列方程：（1）|x+4|+|5-x|=9；（2）|x-3|+|x+2|=6；

【练8】解下列方程：（1）|x+1|+|7-x|=6；（2）|x+1|+|x+3|=4；

【例9】解下列方程：（1）|x-1|-|x-3|=1；（2）|x-3|-|x+2|=5；（3）|x+6|-|x+4|=-3；

【练9】解下列方程：（1）|y+3|-|10-y|=3；（2））|2x-1|-|2x-7|=0；

【例10】解下列不等式：（1）|x-3|+|x+2|＞7；（2）|3x+1|-|3x-4|＜1；（3）|x+3|-|x-6|＞9；

【练10】解下列不等式：（1）|x-2|-|x+5|＜3；（2）|4x-5|-4|x-3|＞5；（3）|x+2|+|x+5|＞3；

第一讲课后作业

【习1】不相等有理数a、b、c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a-b|+|b-c|=|a-c|，那么点ABC在数轴上的位置关系是( )

A.点A在点B、C之间 B.点B在点A、C之间 C.点C在点A、B之间 D.以上三种情况均有可能

【习2】已知 0＜p＜20，当p≤x≤20时，|x-p|+|x－20|+|x-p-20|的最小值是（ ） A.40 B.0 C.20 D.一个与p有关的代数式

【习3】如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒为一个常数，则此值为( )

A . -1 B.0 C .1 D .1或-1

【习4】如果对于某一给定范围内的x的值，p=|3-2x|-|x+7|+3x，为定值，则此定值为 ，相应的x的范围是 .

【习5】根据绝对值的几何意义可知：|3|=|3-0|，它在数轴上的意义是表示3的点与原点之间的距离；又如式子|8－3|，它的几何意义是表示8的点与表示3的点之间的距离，那么： （1）|x+5|在数轴上的意义是 . （2）|x-1|+|x－4|的最小值为 .

（3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值为 .

【习6】如果对于某一特定范围内x的任意允许值，s=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+……+|x-99|+|x-100|的值恒为一常数，则此常数值为 ，相应的x的取值范围是 . 【习7】已知a为整数，且满足|a+2|+|a-3|=5，则a的值为 . 【习8】（1）当x满足 时，|x-3|取得最小值为 ； （2）当x满足 时，4－|2-x|取得最小值为 ； （3）当x满足 时，|1-x|+|5-x|取得最小值为 ；

（4）当x满足 时，|x -7 |+|x -8 |+|x -9 |取得最小值为 ； （5）当x满足 时，|x -4 |-|x -5 |取得最大值为 ；

当x满足 时，|x +4 |-|x +5 |取得最小值为 . 【习9】利用绝对值的几何意义完成下题：

已知|x|=2，利用绝对值的几何意义可得x=±2； 若|x+2|=1，利用绝对值的几何意义可得x=-1或-3；

（1）已知|x-1|+|x+2|=5，利用绝对值在数轴上的几何意义得x= ； 利用绝对值的几何意义求|x-1|+|x+2|的最小值 ； |x+5|+|x-2|的最小值 ；

|x+2|+|x－1|+|x－4|的最小值 ；

|x+7|+|x+3|+|x－2|+| 6－x|的最小值 ； （2）求y=|x－1|－|x+5|的最大值和最小值.

【习10】（1）代数式|x+2|+|x－2|+|x+3|+|x－1|的最小值为 ； （2）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+……+|x-617|的最小值.

（3）设a＜b＜c，求当x去何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值.

【习11】（第17 届希望杯培训试题）不等式|x+1|+|x-2|＜7的整数解有 个. 【习12】（1）（第17 届希望杯培训试题）如果对于某一给定范围内的x的值，p=|x+1|+|x-3|为定值，则此定值为 ；

（2）若|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+……+|x-2008|的值为常数，试求x的取值范围.

【习13】已知a＜b＜c＜d，求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值范围.

【习14】求|x+2|-|2- x|的最值.

【习15】当|x-2|+|x-3|的最小值时，求|x+2|+| x+1|－| x－1|的最值.

【习16】如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现在要设置一个零件供应站P，使这5台机床到供应站P的距离之和最小，点P应建在那？最小值为多少？

A-1B1C2D4E8

【习17】求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|的最小值.

【习18】（1）当x取何值时，|x-3|有最小值？整个最小值是多少？

（2）当x取何值时，5－|x+2|有最大值？整个最大值是多少？

（3）求|x-4|+|x-5|的最小值.

（4）求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值.

【习19】如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点，现在在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？

【习20】（山东烟台中考题改编）如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床工作，现在需要设置一个零件供应站P，使这5台机床到供应站P的距离总和最小，点P建在哪？