浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知圆C的方程为A.
，2 B.
，2 C.
，则它的圆心和半径分别为
， D.
，
【答案】C 【解析】 【分析】
直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案． 【详解】由圆C的方程为故选：C．
【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2.直线A.
B. C.
的倾斜角为 D.
，可得它的圆心和半径分别为
，．
【答案】A 【解析】 【分析】 由直线的斜率
，设它的倾斜角等于，则
，可得直线的斜率，且
，
，且 ，
，
，即可求解.
【详解】由题意，直线设它的倾斜角等于，则 故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3.已知空间向量A.
B.
1，， C. 1 D. 2
，且
，则
【答案】C 【解析】
【分析】
利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值． 【详解】由题意知，空间向量所以
，所以
1，，
，即
，且，解得
， .
故选：C．
【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4.已知直线A. 1 B. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．
【详解】由题意，当
，即
时，直线
化为
，
C.
在两坐标轴上的截距相等，则实数或1 D. 2或1
此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； 当
，即
时，直线
化为
，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得综上所述，实数故选：D．
或
．
，解得；
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.对于实数m，“
”是“方程
表示双曲线”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
【分析】
根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由题意，方程所以“故选：C．
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题. 6.设x,y满足
( )
”是“方程
表示双曲线，则
，得
，
表示双曲线”的充要条件，
A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值 C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点
处取得最小值为
,无最大值.
考点：线性规划. 7.设
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于 B. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于 C. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于 D. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于 【答案】D
【解析】 【分析】
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误； 若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误； 若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；
若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确． 故选：D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 8.已知两点
，
，若直线
上存在四个点
2，3，，使得
是直角三角形，则
实数k的取值范围是 A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据
是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线
相交，且
，然后利用直线和圆相
B.
D.
交的等价条件进行求解即可． 【详解】当
，
时，此时存在两个直角三角形，
是直角三角形， 2，3，，使得相交，且
，
，
是直角三角形，
当MN为直角三角形的斜边时，要使直线
上存在四个点
等价为以MN为直径的圆和直线圆心O到直线
的距离
平方得即
，又
，即，
，即，得，
实数k的取值范围是故选：D．
，
【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件
结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于中档试题. 9.已知双曲线：
，：
的最小值为
，若双曲线，的渐近线方程均为
，且离心率分别为，，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得即可求解，得到答案．
【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为
，所以
，
，
，
，即
，再根据基本不等式，
则，，
所以所以则所以故选：B．
，，所以
，当且仅当
，所以
，
，即，
时取等号，即时取等号，
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于中档试题.
10.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥
为阳马，且
，
底面
若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为
的平面角为，则
的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于
，SE与底面ABCD所成的角为，二面角
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到【详解】由题意，四棱锥
为阳马，（如图所示）且
，
，从而底面
，得到答案. 是线段AB上的点，
设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角则
故选：A．
，所以
．
的平面角为，
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，
以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．
【答案】 (1). 10 (2). 【解析】 【分析】
根据椭圆的标准方程，求得【详解】由椭圆长轴长
的值，即可得到答案.
，即
，
可知，椭圆焦点在y轴上，则
．
，左顶点的坐标为
．
故答案为：10；
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解
的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题
12.命题“若整数a，b都是偶数，则可填：“真”，“假”之一
【答案】 (1). 若两个整数a，b不都是偶数，则【解析】 【分析】
不是偶数 (2). 假
由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则数，则
不是偶数”，
为偶数，则原命题的否命题为假命题，
不是偶数，假．
为偶数，即可判断真假．
是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶
由a，b均为奇数，可得
故答案为：若整数a，b不都是偶数，则
【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题． 13.已知圆C：【答案】 (1). 【解析】 【分析】
利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案．
，则实数a的取值范围为______；若圆 (2). 3
与圆C外切，则a的值为______．
【详解】由题意，圆若方程表示圆，则圆心若圆即故答案为：
，半径
，得，
，可得得
，即实数a的取值范围是
， ，
与圆C外切，则，即
，3．
，即
， ，得
，
【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知AE是长方体______条 【答案】4 【解析】 【分析】 作出长方体得到答案．
【详解】由题意，作出长方体
，如图所示，
，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数，
的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有
在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条． 故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异面直线的概念，
利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题. 15.已知双曲线
______用数值表示 【答案】17或1 【解析】
的一个焦点为
设另一个为，P是双曲线上的一点，若
，则
【分析】
根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意知，双曲线又由
，
， ，
，
，
的一个焦点为
，
，
因为为双曲线上一点，且根据双曲线的定义可知所以
，或
故答案为：17或1
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16.如图，在棱长为3的正方体
，则线段
中，点E是BC的中点，P是平面
内一点，且满足
是
的长度的取值范围为______．
【答案】【解析】 【分析】
首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解． 【详解】由题意知，在平面设
，则
，
，，
的最大值为
，
，根据三角形的面积公式，可得
，
内，以D为原点建立坐标系，如图所示，
，整理得
，
设圆心为M，求得所以所以
的最小值为的取值范围是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到圆上点的距离
的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 17.已知D，则
，______，
(2).
及两直线：
，：
的最小值为______
，作直线垂直于，，且垂足分别为C、
【答案】 (1). 【解析】 【分析】
利用两平行线间的距离公式能求出答案．
【详解】由题意知，两直线：
；当直线CD的方程为时，取最小值，得到
，：互相平行，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示， 由两平行线间的距离公式可得因为
，
及两直线：
， ，：
，
作直线垂直于，，且垂足分别为C、D， 所以当直线CD的方程为：联立
，得
时，，联立
，得
取最小值，
，
的最小值为：
．
故答案为：，
．
【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段
和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线Ⅰ若l与直线Ⅱ若l与圆【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
联立方程组求出点
，由点
，且所求若l与直线
垂直，设所求直线l的方程为
垂直，求直线l的方程； 相切，求直线l的方程． （Ⅱ）
和
的交点P．
，将点P坐标代入能求出直线l的方程．
求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出． 【详解】Ⅰ由题意，联立由于点
，且所求直线l与直线
，
，解得．
， ，
，解得
，
，则点
垂直，
设所求直线l的方程为将点P坐标代入得故所求直线l的方程为由所以圆心为
，可得圆的标准方程为，半径为2，
，满足条件，
若直线l的斜率不存在，此时
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为则圆心到直线l的距离
，解得
，
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题. 19.如图，
，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F
Ⅰ求证：Ⅱ若
，
；
，
，
，求直线AD与CF所成的角．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】 【分析】
Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；
Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解． 【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG． 由
，平面
，可得； ，，，
，
，得
．
．
，所以
，所以
或其补角就是直线AD与CF所成的角．
，
，
，平面，则
．
，所以
，则
，
同理，由所以Ⅱ因为因为又
由余弦定理可得
即直线AD与CF所成的角为
【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，以
及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题. 20.如图，在四棱锥
．
中，平面
平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且
Ⅰ证明：Ⅱ若
，
平面ADM；
，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为
，试确定点F的位置．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点． 【解析】 【分析】 Ⅰ推导出Ⅱ由
平面MCD，平面ADM，知
，再由，从而
，能证明
，过M作
平面ADM．
，交CD于O，则
平面
ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点． 【详解】Ⅰ平面
，
平面MCD，平面
平面
，
平面ABCD，
平面MCD，
平面MCD，
又
，
，
，
由线面垂直的判定定理可得Ⅱ由过M作因为平面
平面ADM，知
平面ADM． ，所以
，
，交CD于O， 平面MCD，所以
平面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则设
0，，
，
，2，，，则
2，，， 0，，
y，，
， 0，，
1，，
设平面MBC的一个法向量
则由，得，取，得1，，
设直线AF与平面MBC所成的角为，则，
所以，
解得，即是DM的中点．
【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成
角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题. 21.已知抛物线C：
的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，
记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为． Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示
Ⅱ求抛物线C的方程； Ⅲ设直线l：求直线l的方程． 【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】 Ⅰ根据焦点Ⅱ由题意可得Ⅲ先判断
以及
的外接圆的圆心为Q，即可求出； ，解得
，即可求出抛物线方程；
（Ⅱ）
（Ⅲ）
与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且
的面积为
，
为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．
，
的外接圆的圆心为Q，
，所以点的纵坐标为，所以
，解得
. ，
【详解】Ⅰ由题意，设因为焦点则线段
以及
的垂直平分线的方程为
（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为所以抛物线C的方程Ⅲ可知
，
，
． ，
为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，
点Q到直线AB的距离，
设，，
，联立方程组
，
，消y可得，
，
，即
解得
，即
，
，
所以直线l的方程为
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题. 22.已知椭圆E：
的离心率为，直线l：
与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭
圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为Ⅰ求椭圆E的方程； Ⅱ求点Q的轨迹； Ⅲ求
面积的最大值．
除去四个点
、
、
，且直线l外的一点Q满足：，．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆（Ⅲ）【解析】 【分析】
、的曲线；
Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程； Ⅱ设点
，设点
，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后
将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可； Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线
面积的最大值；
，得出m的值，
与椭圆E相切，联立，利用
从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；
或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为
面积的最大值．
上，可得
，
，且在直线
又M在E上，所以，另外，
所以可解得，，得E的方程为；
，
Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以设点则由即两时相乘得
，，
， ，，得
，
． ，
，，
，
又因为点在E上，所以，，即，
代入即当当此时，
时，得时，则得或
；
， ．
或．
．
，也满足方程
． 或
． 或除去四个点的距离
若点P与点M重合，即由
，解得
若点P与点N重合时，同理可得故所求点Q的轨迹是：椭圆Ⅲ因为点所以，
到直线的面积为
．
、，且易知
、
，
、
的曲线；
．
当且仅当时，即当或时，等号成立，
所以，面积的最大值为；
一几何相切法：设l的平行直线，由，得，由得
．
可得此时椭圆
二三角换元法：由Q的轨迹方程代入易得
面积的最大值为
，因为
，设．
，
，
与相切的切点为
、
，易得
面积的最大值为
因为
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.
