天津市宝坻区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分33分）
1．方程x2＝4x的根是（A．x＝4）B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣42．利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是轴对称但不是中心对称的图形是（）A．B．C．3．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（A．（2，3）4．一元二次方程A．有两个相等的实数根C．无实数根B．（﹣2，3）的根的情况是（D．）C．（2，﹣3））B．有两个不相等的实数根D．不能确定D．（﹣2，﹣3）5．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（A．168（1﹣x）2＝108C．168（1﹣2x）＝1086．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1的最大值为（A．1B．﹣1）B．168（1﹣x2）＝108D．168（1+x）2＝108）C．3）C．x2＝﹣xD．x2﹣mx﹣2＝0）D．﹣37．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（A．x2﹣x﹣1＝0B．4x2﹣6x+9＝08．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（A．1B．﹣1C．±1D．09．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4B．2C．3）D．2.510．边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（A．1B．2C．D．11．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过27次这样的操作，菱形对角线交点O所经过的路径总长为（结果保留π）（）A．B．C．D．12．小明从右边的二次函数y＝ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c＝0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x＝2．你认为其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．14．在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆周角的大小为．．15．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴为直线16．点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n＝．17．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．18．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在位于第一象限的图象上，y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝．三．解答题（共7小题）19．解方程：（1）（x﹣2）2＝16（2）2x（x﹣3）＝x﹣3（3）3x2﹣9x+6＝0（4）5x2+2x﹣3＝0（用求根公式）20．已知抛物线y＝x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．21．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？24．如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT＝，求tan∠ABM的值．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC＝PF；（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．参
一．选择题（共12小题，满分33分）1．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．2．【解答】解：A、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；B、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；C、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；D、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；故选：A．3．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．4．【解答】解：∵一元二次方程∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：A．5．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：168（1﹣x）2＝108．故选：A．6．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1是顶点式，∴顶点坐标为（3，1），函数的最大值为1，故选：A．7．【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．中a＝1，b＝﹣1，c＝，故选：B．8．【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，而a+1≠0，所以a＝1．故选：A．9．【解答】解：连接DO，∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∵∠C＝90°，∴DO∥BC，∴△PDO∽△PCB，∴＝＝＝，＝，设PA＝x，则解得：x＝4，故PA＝4．故选：A．10．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，BC＝2，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OC＝故选：C．．11．【解答】解：∵菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∵菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴OA＝OC＝1，∴OB＝＝，π；π；∴第一次旋转的弧长为：第二次旋转的弧长为：第三次旋转的弧长为：π故可得旋转27次菱形中心O所经过的路径总长＝9（故选：D．π+π+π）＝（6+3）π．12．【解答】解：①由抛物线开口向上，得到a＞0，本选项错误；②由抛物线过原点，得到c＝0，本选项正确；③当x＝3时，函数的最小值为﹣3，本选项正确；④由函数图象得：当x＜0时，y＞0，本选项正确；⑥对称轴是直线x＝2，本选项正确，则其中正确的个数为5．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）⑤当0＜x1＜x2＜2时，函数为减函数，得到y1＞y2，本选项正确；13．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4．14．【解答】解：连接OA、OB，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，又OC＝AB，∴AC＝OC，∴∠AOC＝45°，∴∠AOB＝90°，∴弦AB所对的圆周角的度数是45°或135°．故答案为：45°或135°．15．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x＝1，故答案为：x＝1．16．【解答】解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，∴m＝﹣2，n＝3，故m+n＝3﹣2＝1．故答案为：1．17．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝故答案为4．18．【解答】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝在正△A0B1A1中，B1（代入y＝x2中，得a，），a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，a，BB2＝b，CB3＝c，＝4．＝•（在正△A1B2A2中，B2（b，1+），b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，代入y＝x2中，得1+＝•（在正△A2B3A3中，B3（c，3+），c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，代入y＝x2中，得3+＝•（由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．故答案为：2011．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）开方，得x﹣2＝±4．解得x1＝6，x2＝﹣2；（2）移项，得2x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0．因式分解，得（x﹣3）（2x﹣1）＝0，x﹣3＝0或2x﹣1＝0．解得x1＝3，x2＝；（3）因式分解，得3（x﹣1）（x﹣2）＝0．x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2；（4）a＝5，b＝2，c＝﹣3，∵△＝b2﹣4ac＝22﹣4×5×（﹣3）＝＞0，∴5x2+2x﹣3＝0有不相等的二实根．x1＝＝＝，x2＝＝＝﹣1．20．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点，∴解得．，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；（2）∵令y＝0，则x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1+∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1+或x＝1﹣，，0）；，0），1﹣（3）y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2．21．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）＝450，解得x1＝5，x2＝45，当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10，答：AD的长为10m；（2）设AD＝xm，∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，当a≥50时，则x＝50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为50a﹣a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，S的最大值为（50a﹣a2）m2．22．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2∴BE＝BC＝∵AB＝4+，，CE＝3，，∴AE＝AB﹣BE＝4，∴在Rt△ACE中，AC＝∴AP＝AC＝5．∴在Rt△PAO中，OA＝∴⊙O的半径为．，＝5，23．【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500，∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．24．【解答】解：（1）∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∵∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠DAM＝∠ADN，∴ND∥AM，∴△DNT∽△AMT，∴＝，，，．∵AT＝∴在Rt△ABM中，tan∠ABM＝25．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC．∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD＝90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠PCB+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC＝，∴∴，，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，∵PC2+OC2＝OP2，∴（4k）2+72＝（3k+7）2，∴k＝6（k＝0不合题意，舍去）．∴PC＝4k＝4×6＝24．
