浙江省宁波市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

宁波万里国际学校中学2012-2013学年度第一学期期末考试

高二年级 理科数学试题卷

答卷时间：120分钟 满分：150分

注意：1. A题供创新班学生及希望调整进入创新班的同学做；B题供平行班同学做． 2. 参考公式： 1棱台的体积公式 棱锥的体积公式：V=Sh 13V=h(S1S1S2S2) 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高 3棱柱的体积公式 V=Sh 其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高 h表示棱台的高 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若直线l垂直于直线y1，则直线l的倾斜角是

A．0 B．90 C．180 D．不存在 2．若直线a平面内两条直线，则直线a平面；则它和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3 3． 2是sin1的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a,b表示直线，,,表示平面，则以下命题中是真命题的有

①

a//aaba//b// ② ③ ④

abba//A．②④ B．②③ C．①④ D．③④

3x2y25．已知焦点在y轴上的椭圆，则实数m的值是 1，其离心率为

2m1A．4

B．

111 C．4或 D． 442x2y2x2y221和双曲线21有公共的焦点，那么双曲线的渐近线6．已知椭圆223m5n2m3n方程是 A．x15y 2B．y15x 2C．x3y 4D．y3x 47．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与 CD的位置关系为

A. 平行 B. 相交成60°角 C. 异面成60°角 D. 异面且垂直

8. 已知椭圆x2y4,则以(1,1)为中点的弦的长度为

22（第8题图）

D 1

 A B C （第9题图）

A．32 B．23 C．

303 D．

36 29.平面ACD平面,B为AC的中点，AC2，CBD60，

P是内的动点，且P到直线BD的距离为3，则APC面积的最大值为

A．23 B．32 C．2

22 D．3

10.（A题）已知点P是圆xy4上一动点，直线l是圆在P点处的切线，动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A(1,0)和B(1,0)，则抛物线焦点F的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

（B题）已知圆C的方程为(x1)y9，点P为圆上一动点，定点A(1,0)，线段AP 的垂直平分线与直线CP交于点M，则为点M的轨迹为

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．抛物线y4x的焦点坐标是_______.

12．已知F1(5,0),F2(5,0)，动点P(x,y)满足|PF1||PF2|10，则动点P的轨迹方程 是 .

222xy313．设变量x,y满足约束条件xy1，则函数

y1z4x2y的最大值为 . （第14题图）

14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为___________.

x2y215．若P是双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆(x10)2y24和

36(x10)2y21上的点，则|PM||PN|的最大值为______.

16．（A题）如图正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变； ②P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；

2

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点必在直线A1D1上其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）. （B题）如图，二面角l的大小是60，线 段AB.Bl，AB与l所成的角为30.则AB 与平面所成的角的正弦值是 .

00BAl

17．（A题）有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其

完

全包住（不能裁剪纸，但可折叠），那么包装纸的最小边长为_________. （B题）在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H 分别是CC1,C1D1,D1D,CD的中点，N是BC的中点，M 在四边形EFGH上及其内部运动，若MN//平面A1BD， 则点M轨迹的长度为______.

三、解答题（本大题共5小题，共69分）

x2y218．（本题满分13分）已知命题p：方程 1的图象是焦点在y轴上的双曲线；

2mm1命题q：不等式4x4(m2)x10在xR上恒成立；又pq为真，q为真，求

实

数m的取值范围.

19．（本题满分14分）已知动圆过定点Q(1,0)，且与定直线x1相切. （1）求此动圆圆心P的轨迹C的方程；

（2）若过点M(4,0)的直线l与曲线C分别相交于A,B两点，若2AMMB，求直线l的方程．

20．（本题满分14分）已知⊙O：xy1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a,b)向⊙O 引切线PQ，切点为Q，且满足PQPA．

（1）证明：Pa,b在一条定直线上，并求出直线方程；

（2）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程． 21．（本小题满分14分）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，

222AB//DC，DAB90，PAADDC1,AB2，

M为PB的中点．

（1）求证：平面PAC平面PBC；

3

（2）求二面角APBC的平面角的正切值．

x2y222．（本题满分14分）．（A题）如图，在椭圆21(a0)中，F1,F2分别是椭圆的

8a左右焦点，B,D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF1 交y轴于点E，且点F1,F2三等分线段BD.

（1）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标； （2）设my E B ，求mn的取值范围. C （A题） A x SAF1OSAEO,nSCF1OSCEOF1 O F2 D （B题）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长为23，离心率为（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A(1,1),过原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC面积的最大值. ◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎ ……………………… 线 ……………………………………………… 3. 3宁波万里国际学校中学

2012-2013学年度第一学期期末考试 高二年级 理科数学答题卷

一、选择一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题 号 1 答 案

2

3

4

5

6

7

8

9

座位号 姓名 学号 . 10 A 10 B

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.________;12._______________;13.__________14._______;15.____________; 4

16. A题______________ B题______________;17. A题__________B题_________.

三、解答题：（本大题共5小题，共69分）

18.（本小题满分13分）

5

19. （本小题满分14分）

20. （本小题满分14分）

6

21. （本小题满分14分）

7

22. （本小题满分14分）请选择（A题）或（B题）中的一个题即可. y

2012-2013学年度第一学期期末考试 高二理科数学参

一、1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 10.8

A E x B F1 O F2 D C （A题） （A题）B;（B题）A

二、11.(0,531; 15.15; ); 12.y0(x5); 13. 10; 14. 3163262; 17. （A题）a;（B题）a.

24216. （A题）①②④; （B题）

x2y2三、18. 解：∵方程1是焦点在y轴上的双曲线，

2mm1∴2m0，即m2 .故命题p：m2； …………………………3分

m1022∵不等式4x4(m2)x10在xR上恒成立，∴[4(m2)]4410， 即m4m30 ，∴1m3.故命题q：1m3. …………………7分 ∵又pq为真，q为真， ∴p真q假. ………………………………9分

2m2即，此时m3；……12分 综上所述：m|m3.……13分

m1或m319.解：（1）由题意知，动圆圆心M的轨迹C的方程为：y4x， …………6分 （2）设直线AB的方程为：yk(x4),(k存在且k0).

yk(x4)联立2，消去x，得 ky24y16k0，………………8分

y4x2显然16k20，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

4……① , y1y216…….② ………10分 k11又AMMB，所以 y1y2……….③

22yB则 y1y2OFMxA由①② ③消去y1,y2，得k22,………12分

故直线l的方程为y2x42,或y2x42 ……………….………………14分 20.解：（1）连OP,Q为切点，PQOQ，由勾股定理有PQOPOQ 又由已知PQPA，故PQPA.即：(a2b2)12(a2)2(b1)2.

22222化简得实数a、b间满足的等量关系为：2ab30.

所以，Pa,b在直线2xy30上. …………………………………….6分

9

（2）设圆P 的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，

R1OPR1.即ROP1且ROP1………………………………9分

69而OPa2b2a2(2a3)25(a)2，…………………………..11分

55故当a36时，OP35.此时, b2a3，Rmin351……………….13分

min5555得半径取最小值时圆P的方程为(x6)2(y3)2(351)2．……………….14分

55521.解：（1）取AB的中点H，连接CH，则CHAB∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，

∵AB//DC，DAB90，ACBC又ACBC22ABACBC,

2222

G H ∴BC⊥平面PAC，BC平面PBC，

平面PAC⊥平面PBC……………………….7分 （2）取AB的中点H，连接CH，则由题意得

CHAB，又PA⊥平面ABCD，所以PACH，

则CH平面PAB.所以CHPB,过H作HGPB于G,连接CG，则PB平面CGH, 所以CGPB,则CGH为二面角APBC的平面角…………………………10分

PA1CH1,AB2,PBPA2AB25.

则

GHBHsinPBABHPA1AB5，

tanCGH故

二

CH5……………………13分 GH面角APBC的平面

角的正切值为

5.……………………………………………………………14分

22.（A题）解：（1）F1，F2三等分BD,F1F2分

11BD，即2c2a，a3c…..133a9，a0，a3. ………………………3分 abc，b8，B3，0，F1(1，0)，F1为BF2的中点，若四边形EBCF2为平行四边形， 0对称，设Cx0，y0，则E-2-x0，y0， C，E关于F11，22222E在y轴上，-2-x00，x0-2， …… 5分

10

222210x0y04y0点x0，y0在椭圆上，，1， x021，解得y0398依题意y0210210， 因此点C的坐标为(2,) ……………………7分 33（2）依题意直线AC的斜率存在，

x2y21 由9 直线AC：yk(x1)，A（x1，y1），C（x2，y2）8yk(x1)得89ky E 2x218k2x9k2-80，

A x 18k29k2-8， x1x2- ，x1x22289k89kB C F1 O F2 D （A题） 1x11SAF1O2AF1hAF11k2-1-x1x1m1 21SAE0AExx1k0-x111AEh21SCF1O2CF1hCF1k2-1-x21x2-1-x21x2n 21SCEOCEx-xx1k0-x2222CEh2mn1x11x2x21x1x11x22x1x2x1x2 x1x2x1x2x1x218k2-2x1x2-2k22(k28)161689k2222x1x29k2-8k2-8k28k28……….12分

8-9k2点A在第一象限，0k28，令t-即01616162则 ，k8-，08-8，k2-8tt11解得t2，故mn的取值范围是t2………………………………….14分 t2x2y2（B题）解：（1）设椭圆C的方程为221(ab0).

ab2a23a32由题意，得c，解得，所以b2. …………………………3分 3c13ax2y21. …………………………………………………4分 所求的椭圆方程为32

11

（2）当BC垂直于x轴时，因点A(1,1),|BC|22,SABC2………………8分

x2y26当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为ykx，代入， 1，得x223223k1k2|1k|2|BC|21k|x|26d, 又点到的距离， BCA223k21kSABC1|k1|(k1)26k1|BC|d6621………11分 22223k23k23k2设6k1t，得SABC2112t21t22t25125，此时

25t2t有

最

大

值

为

k23，综上知当

k23时ABC面积

5……………………………………………14分

12