“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
天津赛区复赛试卷
（4月5日上午 9∶30～11∶30）
题 号 得 分 评卷人 复查人 一 二 (11) (12) 三 (13) (14) 总 分 (1)～(5) (6)～(10)
得分 评卷人 一、选择题（本题共5小题，每小题7分，满分35分．每小题
均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）
2（1）已知非零实数a，b 满足 2a4b2(a3)b42a，则ab等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 （2）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上 的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A）5151 （B） 22（第2题） （C）1 （D）2
（3）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组axby3， 只有正数解的概率为（ ）． x2y2 （A）
12513 （B） （C） （D） 1291836初中数学竞赛复赛试卷第1页（共6页）
（4）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，B90．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
图 1
（第4题） 图2 （5）关于x，y的方程x2xy2y229的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 得分 评卷人 二、填空题（本题共5小题，每小题7分，满分35分．把答案
填在题中横线上）
（6）一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎． 如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
（7）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则
AH的值为 ． AB（8）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1a2a3a4a59的五个互不相同的整数，若b是关于x的方程xa1xa2xa3xa4xa52009的整数根，则b的值为 ．
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（9）如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20， CD＝12，则CE的长等于 ．
（第9题） （第10题） （10）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
得分 评卷人 （11）（本小题满分20分）
函数yx2(2k1)xk2的图象与x轴的两个交点是否都在直线x1的右侧？ 若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x1的右侧时k的取值范围．
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得分 评卷人 （12）（本小题满分20分）
如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
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得分 评卷人 (13)（本小题满分20分）
在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为 “好点”，求二次函数y(x90)24907的图象上所有“好点”的坐标．
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得分 评卷人 (14)（本小题满分20分）
有n个正整数a1，a2，，an满足如下条件：1a1a2an2009， 且a1，a2，，an中任意n－1个不同数的算术平均数都是正整数，求n的最大值．
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