初中数学几何模型之 倍长中线模型

模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到解题的目的．

其主要的图形特征和证明方法如下图： 已知：在三角形ABC中，O为BC边中点， 辅助线：延长AO到点D使AO=DO， 结论：△AOB≌△DOC

证明：延长AO到点D使AO=DO， 由中点可知，OB=OC， 在△AOB和△DOC中

OAODAOBDOC OBOC∴△AOB≌△DOC

同理下图中仍能得到△AOB≌△DOC

1

规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．

补充：关于倍长中线的其他模型 ①向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO

步骤：延长AO到点D，过点B，C分别向AD作垂线，垂足为E，D， 易证△BEO≌△CDO(AAS)

②过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO 步骤：

AC上任意选取一点E，连接EO并延长到点D，使EO=DO，连接BD，

易证△BDO≌△CEO(SAS)

实例精练：

1. 如图，在平行四边形ABCD中，CD2AD8，E为AD上一点，F为DC的中点，则下列结论中正确的是（ ）

2

A. BF4

【答案】D 【解析】

B. ABC2ABF D. S四边形DEBC2SEFBC. EDBCEB

【分析】根据平行四边形的性质可以得到CD2AD2BC8，且F为DC的中点，所以CFBC4,由此可判断A选项；再结合平行线的性质可以得到

CFBFBA，由此可判断B选项；同时延长EF和BC交于点P，

DFCF,DFEPFC,DFCP 可以证得

DFECFP，所以

EDBCCPBCBP 由此可以判断C选项；由于DFECFP，所以S四边形DEBCSBEP，由此可以判断D选项；

【详解】四边形ABCD是平行四边形  CD2AD2BC8

 CFBC4

由于条件不足，所以无法证明BF4,故A选项错误； CFBC4  CFBFBC

DC∥AB

 CFBFBCFBA  ABC2ABF 故B选项错误；

同时延长EF和BC交于点P ADBP

 DFCP

3

DFCF 在△DFE和CFP 中：DFEPFC

DFCPASA DFECFP

 EDBCCPBCBP

由于条件不足，并不能证明BPBE，故C选项错误； DFECFP  S四边形DEBCSBEP

F为DC的中点

 SBEP2SBEFS四边形DEBC

故D选项正确； 故选：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.

2. 如图，ABCD，BCD90，AB1,BCCD2,E为AD上的中点，则BE＝______．

4

【答案】【解析】

5 2【分析】延长BE交CD于点F，证ABE≌DFE，则BE=EF=三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可. 【详解】解：延长BE交CD于点F

∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE， 又E为AD上的中点，∴BE=EF, 所以ABE≌DFE. ∴BEEF∴CF1

在直角三角形BCF中，BF=1222=5. ∴BE1BF，故再在直角21BF,ABDF1 215. BF22【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.

5

3. 如图，ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于

F，BEAC，且BF9，CF6，那么AF的长度为__．

3【答案】；

2【解析】

【分析】延长AD至G使ADDG，连接BG，得出ACDGBD 得出

ACBGBE，所以得出AEF是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．

【详解】

如图：延长AD至G使ADDG，连接BG 在ACD和GBD中：

CDBDADCBDG ADDG∴ACDGBD ∴CADG,ACBG ∵BEAC

6

∴BEBG ∴GBEG ∵BEGAEF ∴AEFEAF ∴EFAF

∴AFCFBFEF 即AF69EF ∴AF3 2【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 4. 如图，平行四边形ABCD中，CEAD于E，点F为边AB中点，

1ADCD，CEF40，则AFE_________

2

【答案】30 【解析】

CB交于点G，【分析】延长EF、连接FC，先依据全等的判定和性质得到FEFG，

依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到FCFEFG，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到BFBC，依据三角形等边对等角得到

FCGG50、BFCFCG50，依据三角形内角和得到GFC，通过

作差即得所求.

7

【详解】解：延长EF、CB交于点G，连接FC，

∵平行四边形ABCD中，

∴AD//BC，ABCD,ADBC,

∴AGBF，AFEBFG，GCECED90 又∵点F为边AB中点，得AFBF1AB, 2∴△AFE≌BFG(ASA)，G90CEF50， ∴FEFG， ∴FCFEFG， ∴FCGG50,

∴GFC180FCGG80, ∵BF11AB,ADCD ABCD,ADBC, 22∴BFBC,

∴BFCFCG50, ∴BFGGFCBFC30, ∴AFEBFG30, 故答案为：30.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角

8

三角形.

5. 已知：如图所示，AD平分BAC，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E． 求证：BE=CF．

【答案】见解析. 【解析】

【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.

【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点， ∵BN∥AC，BM＝CM， ∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F， ∴△BMN≌△CMF， ∴CF＝BN，

又∵MF//AD，AD平分∠BAC， ∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM， ∴∠BEM＝∠N， ∴BE＝BN＝CF.

9

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．

6. 如图所示，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的平分线.

【答案】见解析 【解析】

【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证∴BEG≌△CEH，即可求得∠F=∠FGA，即可求得∠CAD=∠BAD，即可解题．

【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，

∵E是BC中点， ∴BE=CE，

10

∴∠BEG=∠CEH， 在∴BEG和∴CEH中，

BE＝CEBEG＝CEH， GE＝EH∴△BEG≌△CEH（SAS）， ∴∠BGE=∠H， ∴∠BGE=∠FGA=∠H， ∴BG=CH， ∵CF=BG， ∴CH=CF，

∴∠F=∠H=∠FGA， ∵EF∥AD，

∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD平分∠BAC．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证∴BEG≌△CEH是解题的关键．

7. 已知：如图所示，在ABC中，AD为中线，BF交AD,AC分别于E,F，如果

BEAC，求证：AFEF ．

【答案】详见解析 【解析】

【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到BDE≌CDG，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．

【详解】证明：延长ED至G，使DGDE，连结GC，

11

∵在ABC中，AD为中线， ∴BD=CD，

在△ADC和△GDB中，

BDCDBDECDG DEDG∴BDE≌CDG，

BECG，BEDCGD，

BEAC， ACGC，

AGCCAG．

又BEDAEF， ∴AEFEAF， ∴AFEF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．

8. 如图所示，AD为ABC的角平分线，E,F分别在BD,AD上，DCDE，若

EF∥AB． 求证：EFAC．

12

【答案】详见解析 【解析】

【分析】延长FD至G，使DGDF，连结CG，可证DEF≌DCG，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GACAGC ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.

【详解】证明：延长FD至G，使DGDF，连结CG，

∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，DGDF ∴DEF≌DCG，

EFCG，EFGCGD

EF∥AB， EFGBAD，

又BADCAD，

GACAGC， ACGC，

EFAC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等． 9. 如图所示，在ABC中，AD为中线，BAD90,AB2AD，求DAC的度数．

【答案】45°

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【解析】

【分析】延长AD至E，使DEAD，连结CE，则ADB≌EDC，根据全等三角形的性质得EC=AB，EBAD90，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数．

【详解】解：延长AD至E，使DEAD，连结CE，

∵BD=CD，∠ADB=∠EDC ∴ADB≌EDC，

∴EC=AB，EBAD90， ∵AB=2AD，DEAD ∴AB=AE=EC

∴△AEC是等腰直角三角形， ∴∠DAC=45°. 故答案为45°.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.

10. 已知：如图，在ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在

AC、BC上，且EDFD于D.求证：AE2BF2EF2.

【答案】详见解析 【解析】

【分析】通过倍长线段DE，将AE、BF、EF转化到BGF中，再证BGF为直角三角形.

14

【详解】延长ED至G，使DGDE，连结BG、FG，

ADBD，ADEBDG，

ADEBDG，

AEBG，ADBG， ACBG，

CFBG180，FBG90， BG2BF2GF2，

又

EDFD，EDGD，

EFGF， AE2BF2EF2.

【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键. 11. 阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图∴，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可 15

以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图∴，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）∴思路一的辅助线的作法是： ； ∴思路二的辅助线的作法是： ．

（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

【答案】（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；∴作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【解析】

【分析】（1）∴依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

∴作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝

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∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．

【详解】解：（1）∴延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图∴，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD，

AD=DG在△ADC和△GDB中，ADC＝GDB，

CDBD∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF．

故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

∴作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图∴． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA，

17

∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF，

CAD＝G在△ADC和△GDB中，ADC＝GDB，

CDBD∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF；

故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；

（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图∴所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD，

CAD＝G在△ADC和△GDB中，ADC＝GDB，

CDBD∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF，

18

∴AC＝BF．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 12. 阅读 ∴1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=10∴AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB∴AC∴2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断． 中线AD的取值范围是________∴ ∴2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D∴DE交AB于点E∴DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF∴EF∴ ∴3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°∴CB=CD∴∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB∴AD于E∴F两点，连接EF，探索线段BE∴DF∴EF之间的数量关系，并加以证明．

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【答案】∴1∴2∴AD∴8∴∴2）证明见解析；（3∴BE+DF=EF；理由见解析. 【解析】

【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明∴ACD∴∴EBD，得出BE=AC=6，在∴ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围； （2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得∴BMD∴∴CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在∴BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；

（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∴NBC=∴D，由SAS证明∴NBC∴∴FDC，得出CN=CF，∴NCB=∴FCD，证出∴ECN=70°=∴ECF，再由SAS证明∴NCE∴∴FCE，得出EN=EF，即可得出结论．

【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图∴所示： ∴AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，

在∴BDE和∴CDA中，BD=CD，∴BDE=∴CDA，DE=AD， ∴∴BDE∴∴CDA（SAS）， ∴BE=AC=6，

在∴ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； 故答案为2＜AD＜8；

（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图∴所示： 同（1）得：∴BMD∴∴CFD（SAS）， ∴BM=CF，

∴DE∴DF，DM=DF， ∴EM=EF，

在∴BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF；

（3）解：BE+DF=EF；理由如下：

延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示： ∴∴ABC+∴D=180°，∴NBC+∴ABC=180°， ∴∴NBC=∴D，

20

在∴NBC和∴FDC中，

BN=DF，∴NBC =∴D，BC=DC， ∴∴NBC∴∴FDC（SAS）， ∴CN=CF，∴NCB=∴FCD， ∴∴BCD=140°，∴ECF=70°， ∴∴BCE+∴FCD=70°， ∴∴ECN=70°=∴ECF， 在∴NCE和∴FCE中，

CN=CF，∴ECN=∴ECF，CE=CE， ∴∴NCE∴∴FCE（SAS）， ∴EN=EF， ∴BE+BN=EN， ∴BE+DF=EF．

考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.

13. 如图，在∴ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE∴AD于点E，取BE的中点F，连接AF． (1)若AC=15，AE=3，求BE的长；

(2)在（1）的条件下，如果∴D=45°，求∴ABD的面积． (3)若∴BAC=∴DAF，求证：2AF=AD；

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【答案】（1）23；（2）9；（3）见详解 【解析】

【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）由∠D＝45°可证得BE＝DE，再利用三角的面积公式计算即可；

（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．

【详解】（1）解：∵AB＝AC，AC＝15， ∴AB＝15，

∵BE⊥AD，AE＝3，

∴在Rt△AEB中，BEAB2AE2(15)2(3)223； （2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°， ∴∠EBD＝∠D ＝45°， ∴BE＝DE＝23，

∴AD＝AE+DE＝32333， ∴SABD11ADBE33239； 22（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，

∵点F为BE的中点， ∴EF＝BF，

在△AEF和△MBF中，

AFFMAFEBFM EFBF

22

∴△AEF≌△MBF（SAS）， ∴∠FAE＝∠FMB， ∴AE∥MB，

∴∠EAB+∠ABM＝180°， ∴∠ABM＝180°﹣∠BAD， 又∵AB＝AC，DB＝DA， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠ABM＝∠ACD． 又∵∠BAC＝∠DAF，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC， ∴∠1＝∠2．

在△ABM和△ACD中，

12， ABACABMACD∴△ABM≌△ACD（ASA）， ∴AM＝AD，

又∴AM＝AF+MF＝2AF， ∴2AF＝AD．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．

14. 阅读材料，解答下列问题．

如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．

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在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】详见解析 【解析】

【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

【详解】如图，延长AD至点M，使得MDAD，并连结BM，

∵AD是三角形的中线， ∴BDCD，

在△MDB和△ADC中，

BDCD,BDMCDA, DMDA, 24

∴△MDB≌△ADC，

∴ACMB，BMDCAD， ∵BFAC， ∴BFBM， ∴BMDBFD，

∵BFDEFA，BMDCAD， ∴EFAEAF，即AEEF．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．

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