糖果配比销售优化方案

摘 要：

商人以营利为目的。要想达到利润最大化，就必须周利润最大。同时要满足各种果仁的量都有上限的条件，然后求出求出购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃的量。在第一题中，根据题目所给的各个果仁的上限和各果仁糖中果仁的混合配比来求出最大周利润。第二题中，已知在圣诞周期间，豪华、蓝带两种果仁糖的销售量增加，此时商店的果仁供应量增加量为1400千克。但不知道普通果仁的可变与不可变，因此又要分两种情况讨论。然后利用线性规划求最优配比，用lingo软件求出局部最优和全局最优的配比。

关键词：

线性规划 lingo软件 利润最大化 果仁最优配比

一、问题的重述

某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示：

品牌 含量需求 售价/ 美元/kg 腰果仁不超过20% 胡桃仁不低于40% 0. 普通 核桃仁不超过25% 杏仁没有 腰果仁不超过35% 1.10 豪华 杏仁不低于40% 核桃仁、胡桃仁没有 腰果仁含量位于30%~50%之间 1.80 蓝带 杏仁不低于30% 核桃仁、胡桃仁没有

每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表：

售价/ 美元/kg 每周最大供应量/ kg 0.45 2000 杏仁 0.55 4000 核桃仁 0.70 5000 腰果仁 0.50 3000 胡桃仁 1）商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。

2）若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。

二、模型假设及符号说明

1.糖果的售价和果仁的进价都保持不变； 2.果仁供货商能及时足量供货；

3.糖果店严格按照标准配置各种品牌的糖果；

符号表示：

X、Y、Z分别表示普通、豪华、蓝带品牌糖果的量；

X1表示普通品牌的糖果中腰果仁的含量； X2表示普通品牌的糖果中胡桃仁的含量； X3表示普通品牌的糖果中核桃仁的含量；

X4表示普通品牌的糖果中杏仁的含量； Y1表示豪华品牌的糖果中腰果仁的含量； Y2表示豪华品牌的糖果中胡桃仁的含量； Y3表示豪华品牌的糖果中核桃仁的含量； Y4表示豪华品牌的糖果中杏仁的含量； Z1表示蓝带品牌的糖果中腰果仁的含量； Z2表示蓝带品牌的糖果中胡桃仁的含量； Z3表示蓝带品牌的糖果中核桃仁的含量； Z4表示蓝带品牌的糖果中杏仁的含量。

模型的建立与求根据糖果配比要求有

X1≤20%X，X2≥40%X，X3≤25%X，

Y1≤35%Y，Y4≥40%Y， 30%Z≤Z1≤50%Z，Z4≥30%Z

这里

X1+X2+X3+X4=X Y1+Y2+Y3+Y4=Y Z1+Z2+Z3+Z4=Z

将此三个等式依次代入上述不等式，并整理得到

0.8X1-0.2X2-0.2X3-0.2X4≤0 0.4X1-0.6X2+0.4X3+0.4X4≤0 -0.25X1-0.25X2+0.75X3-0.25X4≤0

0.65Y1-0.35Y2-0.35Y3-0.35Y4≤0 0.4Y1+0.4Y2+0.4Y3-0.6Y4≤0

-0.7Z1+0.3Z2+0.3Z3+0.3Z4≤0 0.5Z1-0.5Z2-0.5Z3-0.5Z4≤0 0.3Z1+0.3Z1+0.3Z2-0.7Z3≤0

根据原料每周最大供应量，有

X1+Y1+Z1≤2000 X2+Y2+Z2≤4000 X3+Y3+Z3≤5000 X4+Y4+Z4≤3000

由此约束条件可以表示为：

0.8X1-0.2X2-0.2X3-0.2X4≤0 0.4X1-0.6X2+0.4X3+0.4X4≤0 -0.25X1-0.25X2+0.75X3-0.25X4≤0 0.65Y1-0.35Y2-0.35Y3-0.35Y4≤0 0.4Y1+0.4Y2+0.4Y3-0.6Y4≤0 -0.7Z1+0.3Z2+0.3Z3+0.3Z4≤0 0.5Z1-0.5Z2-0.5Z3-0.5Z4≤0 0.3Z1+0.3Z2+0.3Z3-0.7Z4≤0

X4+Y4+Z4≤2000 X3+Y3+Z3≤4000 X1+Y1+Z1≤5000 X2+Y2+Z2≤3000

X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4,Z1,Z2,Z3,Z4≥0

我们的目的是使周利润最大，即糖果的售价减去果仁的进价为最大。

糖果售价为：

0.（X1+X2+X3+X4）——普通品牌 1.10（Y1+Y2+Y3+Y4）——豪华品牌 1.80（Z1+Z2+Z3+Z4）——蓝带品牌

果仁进价为：

0.45（X4+Y4+Z4）——杏仁 0.55（X3+Y3+Z3）——核桃仁 0.70（X1+Y1+Z1）——腰果仁 0.50（X2+Y2+Z2）——胡桃仁

所以，目标函数为

max K=0.（X1+X2+X3+X4）+1.10（Y1+Y2+Y3+Y4）+1.80（Z1+Z2+Z3+Z4）-0.45（X4+Y4+Z4）-0.55（X3+Y3+Z3）-0.70（X1+Y1+Z1）-0.50（X2+Y2+Z2） =0.19X1+0.39X2+0.34X3+0.44X4+0.4Y1+0.6Y2+0.55Y3+0.65Y4 +1.1Z1+1.3Z2+1.25Z3+1.35Z4 模型求解： MODEL:

[_1] MAX= 0.19 * X1 + 0.39 * X2 + 0.34 * X3 + 0.44 * X4 + 0.4 * Y1 + 0.6

* Y2 + 0.55 * Y3 + 0.65 * Y4 + 1.1 * Z1 + 1.32 * Z2 + 1.25 * Z3 + 1.35 * Z4 ;

[_2] 0.8100000000000001 * X1 - 0.2 * X2 - 0.2 * X3 - 0.2 * X4 <=

0 ;

[_3] 0.4 * X1 - 0.6 * X2 + 0.4 * X3 + 0.4 * X4 <= 0 ;

[_4] - 0.25 * X1 - 0.25 * X2 + 0.75 * X3 - 0.25 * X4 <= 0 ; [_5] 0.65 * Y1 - 0.35 * Y2 - 0.35 * Y3 - 0.35 * Y4 <= 0 ; [_6] 0.4 * Y1 + 0.4 * Y2 + 0.4 * Y3 - 0.6 * Y4 <= 0 ; [_7] - 0.72 * Z1 + 0.3 * Z2 + 0.3 * Z3 + 0.3 * Z4 <= 0 ; [_8] 0.5 * Z1 - 0.5 * Z2 - 0.5 * Z3 - 0.5 * Z4 <= 0 ; [_9] 0.3 * Z1 + 0.3 * Z2 + 0.3 * Z3 - 0.7 * Z4 <= 0 ; [_10] X4 + Y4 + Z4 <= 2000 ; [_11] X3 + Y3 + Z3 <= 4000 ; [_12] X1 + Y1 + Z1 <= 5000 ; [_13] X2 + Y2 + Z2 <= 3000 ;

@GIN( X1); @BND( 0, X1, 1499) ; @GIN( X2); @BND( 0, X2, 3000) ; @GIN( X3); @BND( 0, X3, 13) ; @GIN( X4); @BND( 0, X4, 2000) ; @GIN( Y1); @BND( 0, Y1, 1788) ; @GIN( Y2); @BND( 0, Y2, 3000) ; @GIN( Y3); @BND( 0, Y3, 3000) ; @GIN( Y4); @BND( 0, Y4, 2000) ; @GIN( Z1); @BND( 0, Z1, 3390) ; @GIN( Z2); @BND( 0, Z2, 2705) ; @GIN( Z3); @BND( 0, Z3, 2705) ; @GIN( Z4); @BND( 0, Z4, 2000) ; END

用lingo求解：

Global optimal solution found.

Objective value: 10065.06 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 33

Variable Value Reduced Cost X1 1076.000 -0.1900000 X2 3000.000 -0.3900000 X3 1358.000 -0.3400000 X4 0.000000 -0.4400000 Y1 0.000000 -0.4000000 Y2 0.000000 -0.6000000 Y3 0.000000 -0.5500000 Y4 0.000000 -0.6500000 Z1 2024.000 -1.100000 Z2 0.000000 -1.320000 Z3 22.000 -1.250000 Z4 2000.000 -1.350000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 10065.06 1.000000 2 0.4000000E-01 0.000000

3 826.4000 0.000000 4 0.5000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 .68000 0.000000 8 1309.000 0.000000 9 0.2000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 1900.000 0.000000 13 0.000000 0.000000

结果表示：当x1。。Y1。。。Z1。。。分别取1076.9、3000.0、1358.6、0.0、0.0、0.0、0.0、0.0、2024.3、0.0、22.0、2000.0时，糖果店获利最大，可以获利10065.06美元。此时每周需购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量分别约为2000.0kg、4000.6kg、3101.2kg、3000.0kg。配置的普通、豪华、蓝带三种不同品牌的果仁糖的量分别约为5435.5kg、0.0kg、6666.3kg。配置方法为：①用腰果仁约1076.9kg、胡桃仁约3000.0kg、核桃仁约1358.6kg、杏仁约0.0kg配置普通品牌的果仁糖约5435.5kg；②用腰果仁约0.0kg、胡桃仁约0.0kg、核桃仁约0.0kg、杏仁约 0.0kg配置豪华品牌的果仁糖约0.0kg；③用腰果仁约2024.3kg、胡桃仁约0.0kg、核桃仁约22.0kg、杏仁约2000.0kg配置蓝带品牌的果仁糖约6666.3kg。

表3 最佳糖果配比（单位：kg）

腰果仁 1076.9 0.0 2024.3 3101.2 胡桃仁 3000.0 0.0 0.0 3000.0 核桃仁 1358.6 0.0 22.0 4000.6 杏仁 0.0 0.0 2000.0 2000.0 待售 5435.5 0.0 6666.3 普通 豪华 蓝带 进购 在上述糖果配置方案中，糖果店每销售1kg普通品牌的果仁糖获利为

（0.×5435.5-0.70×1076.9-0.50×3000.0-0.55×1358.6-0.45×0.0）/5435.5≈0.341美元

糖果店每销售1kg蓝带品牌的果仁糖获利为

（1.8×6666.3-0.70×3101.2-0.50×3000.0-0.55×4000.6-0.45×2000.0）÷6666.3≈0.784美元

在上述配置方案中，糖果店每进购1kg腰果仁可获利

（0.×1076.9+1.80×2024.3-0.70×3101.2）÷3101.2≈0.783美元 糖果店每进购1kg胡桃仁可获利

（0.×3000.0-0.50×3000.0）÷3000.0=0.39美元 糖果店每进购1kg核桃仁可获利

（0.×1358.6+1.80×22.0-0.55×4000.6）÷4000.6≈0.940美元 糖果店每进购1kg杏仁可获利

（1.80×2000.0-0.45×2000.0）÷2000.0=1.35美元

在此最优配比方案中，杏仁、核桃仁、胡桃仁都是按每周的最大供应量进货，而尽管果仁店每进购1kg腰果仁的获利比每进购1kg胡桃仁的获利多0.784-0.45=0.333美元，但是，腰果仁并未按每周的最大供应量进货，这是要求商店要严格的按照标准（配比要求）配置果仁糖。

同理，在此方案中，糖果店每销售1kg的蓝带品牌的果仁糖比每销售1kg普通品牌的果仁糖可以多获利0.783-0.338=0.445美元。但是，此糖果店并没有只配置蓝带一种品牌的糖果，因为糖果店要严格按照标准配置，并且要充分利用资源，于是，在众多约束条件下，糖果店为追求获利最大，才形成了上述配置糖果的方案。 第二问：

在圣诞周，豪华、蓝带两种果仁糖的销售量会增加，此时供应商对果仁的供应量增加10%即为1400kg。当普通糖果销售量不变时，假设其混合配比也不变，则普通糖果的利润的确定的。利润=普通糖果的利润+其他两种糖果的销售收入-生产其他两种糖果的支出。由豪华和蓝带果仁糖分别需要四种果仁量的条件以及果仁糖量的上限来求出最大周利润，从而算出两种果仁糖的配比是否发生变化。若普通通过销售量改变，在第一题的基础上加入果仁的最大增量条件可求出最大利润，同时能看出果仁的混合配比是否发生改变。

一、符号说明：

圣诞周，杏仁，核桃仁，腰果仁，核桃仁供应量增加量分别为m1,m2,m3,m4. 二 、 模型建立

S=1.80（Z1+Z2+Z3+Z4)+1853.5+1.10(Y1+Y2+Y3+Y4）-0.45（Y4+Z4） -0.5（Y2+Z2)-0.55(Y3+Z3)-0.7(Y1+Z1); 由豪华果仁糖需要的果仁量: Y2+Y3-0.6(Y1+Y2+Y3+Y4)>0; Y4-0.4(Y1+Y2+Y3+Y4)>0; Y1-0.35(Y1+Y2+Y3+Y4)<0; 由蓝带果仁糖需要的果仁量: Z1-0.5(Z1+Z2+Z3+Z4)<0; Z1-0.3(Z1+Z2+Z3+Z4)>0; Z4-0.3（Z1+Z2+Z3+Z4)>0; Z3+Z2-0.4(Z1+Z2+Z3+Z4)<0;

各种果仁供应量有上限: Y2+Z2<3000+m4-3000; Y4+Z4<2000+m1; Y3+Z3<4000+m2-1358.6; Y1+Z1<5000+m3-1076.9; 果仁供应量的最大增加量： m1+m2+m3+m4=1400

建立模型：

MODEL:

[_1] MAX= 1.1 * Z1 + 1.3 * Z2 + 1.25 * Z3 + 1.35 * Z4 +

0.4000000000000001 * Y1 + 0.6000000000000001 * Y2 + 0.55 * Y3 + 0.6500000000000001 * Y4 + 1853.5 ;

[_2] - 0.6 * Y1 + 0.4 * Y2 + 0.4 * Y3 - 0.6 * Y4 >= 0 ; [_3] - 0.4 * Y1 - 0.4 * Y2 - 0.4 * Y3 + 0.6 * Y4 >= 0 ; [_4] 0.65 * Y1 - 0.35 * Y2 - 0.35 * Y3 - 0.35 * Y4 <= 0 ; [_5] 0.5 * Z1 - 0.5 * Z2 - 0.5 * Z3 - 0.5 * Z4 <= 0 ; [_6] 0.7 * Z1 - 0.3 * Z2 - 0.3 * Z3 - 0.3 * Z4 >= 0 ; [_7] - 0.3 * Z1 - 0.3 * Z2 - 0.3 * Z3 + 0.7 * Z4 >= 0 ; [_8] - 0.4 * Z1 + 0.6 * Z2 + 0.6 * Z3 - 0.4 * Z4 <= 0 ; [_9] Z2 + Y2 - M4 <= 0 ;

[_10] Z4 + Y4 - M1 <= 2000 ; [_11] Z3 + Y3 - M2 <= 21.4 ; [_12] Z1 + Y1 - M3 <= 3923.1 ; [_13] M4 + M1 + M2 + M3 = 1400 ;

@GIN( Z1); @GIN( Z2); @GIN( Z3); @GIN( Z4); @GIN( Y1); @GIN( Y2); @GIN( Y3); @GIN( Y4); @GIN( X1); @GIN( X2); @GIN( X3); @GIN( X4); END

用lingo求解：

Global optimal solution found.

Objective value: 14060.05 Extended solver steps: 4 Total solver iterations: 36

Variable Value Reduced Cost Z1 3923.000 -1.100000 Z2 0.000000 -1.300000 Z3 21.000 -1.250000 Z4 3400.000 -1.350000 Y1 0.000000 -0.4000000

Y2 0.000000 -0.6000000 Y3 0.000000 -0.5500000 Y4 0.000000 -0.6500000 M4 0.000000 0.000000 M1 1400.000 0.000000 M2 0.000000 0.000000 M3 0.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 14060.05 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 1059.000 0.000000 6 933.8000 0.000000 7 410.8000 0.000000 8 1344.600 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.4000000 0.000000 12 0.1000000 0.000000 13 0.000000 0.000000

结果表示与分析： 平常时三种果仁配比：

普通：X4:X3:X1:X2=0:1358.6：1076.909：3000.000 豪华: Y4:Y3:Y1:Y2=0:0:0:0

蓝带：Z4:Z3:Z1:Z2=2000.0:22.0：2024.3：0 圣诞周三种果仁的配比： 普通：X4:X3:X1:X2=0:0:0:0 豪华：Y4:Y3:Y1:Y2=0:0:0:0

蓝带：Z4:Z3:Z1:Z2=3400.000: 21.0: 3923.0:0 普通、豪华、蓝带果仁糖的配比比例都发生改变。

七、参考文献

【1】作者 谢金星 薛毅编著 优化建模与Lingo软件 【2】河南理工大学 吕海伟 果糖配比销售

【3】清华大学 数学建模讲义关于集循环函数应用章节（姜启源）