圆锥曲线小题带答案

2017圆锥曲线小题带

答案

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1．（2014•甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于

A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A．B． C．

2．（2014•四川二模）已知△ABC的顶点B，C在椭圆焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）

A．B．6 3．（2014•邯郸一模）椭圆|PF1|是|PF2|的（ ） A．7倍

D．

+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个C．

D．1 2

=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么

B． 5倍 C． 4倍 D． 3倍

4．（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆（ ） A．5

B．

+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是

D． 6

+ C． 7+

，则椭圆和双

5．（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A．B．

3 C． D．2

6．（2014•福州模拟）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且

=0，则|

A．

|的最小值为（ ）

3 B．

C．

1 D．

），以

7．（2014•齐齐哈尔二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，

A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值 B． 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大 C． D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小

8．（2014•赣州二模）设椭圆

两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（ ） A．必在圆x2+y2=2内

的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的

B． 必在圆x2+y2=2上

C．必在圆x2+y2=2外 D． 以上三种情形都有可能

的两个焦点，P为椭圆上一点且

9．（2014•北京模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆

，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

10．（2014•焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣

c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D．

11．（2014•焦作一模）已知点P是椭圆点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且A[0，3（B（0，2

） C[2

+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原•

=0，则|

|的取值范围是

，3）．D[0，4]）

的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点

12．（2014•阜阳一模）设A1、A2为椭圆P，使得 A．

，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

13．（2014•宜昌三模）以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（ ） A．B． C． D． 14．（2014•河南二模）已知椭圆

的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=

（a+c）x与

椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A．B． C． 15．（2014•广州二模）设F1，F2分别是椭圆C：

+

D．

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段

PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（ ） A．B． C．

D．

16．（2014•吉安二模）以椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴A1A2为一边向外作一等边三角形A1A2P，若随圆的一

个短轴的端点B恰为三角形A1A2P的重心，则椭圆的离心率为（ ） A．B． C．

17．（2014•韶关一模）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）与双曲线

﹣

D．

=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两

焦点的距离之和为10，那么，该椭圆的离心率等于（ ）

A．B． C．

18．（2014•海南模拟）已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1满足∠POQ=90°的两个动点，则 34 A．

8 B．

C．

+

D． +D．

等于（ ）

19．（2014•南昌一模）已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF2F1=2，则椭圆的离心率e=（ ） A．B．

=1（a＞b＞0）上一点，若PF1⊥PF2，

C． D．

20．（2014•河南一模）已知椭圆+=10（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B

两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（ ） 3 2 1 A．B． C． 21．（2014•浙江模拟）过椭圆

+

D．

=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=b2的切线FQ（Q为切点）交

椭圆于点P，当点Q恰为FP的中点时，椭圆的离心率为（ ） A．B． C．

D．

22．（2014•郑州一模）已知椭圆C1：的取值范围为（ ）

A．

（，1）

﹣=1与双曲线C2：+=1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e

B．

（0，

）

C． （0，1）

D． （0，）

23．（2014•邢台一模）设F1、F2分别是椭圆则△PF1F2的面积等于（ ）

6 A．B． 4

+=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，

C． 12或6 D． 4或6

24．（2014•河南模拟）已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△F1F2P为等

腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A．B． ﹣1

C．

﹣1或

D．

25．（2014•保定二模）已知点Q在椭圆C：+=1上，点P满足=（+）（其中O为坐标原点，F1

为椭圆C的左焦点），则点P的轨迹为（ ） A．圆 B． 抛物线 26．（2014•贵阳模拟）已知椭圆C：的距离等于 1 A．

的点的个数为（ ）

2 B．

+

C． 双曲线 D． 椭圆

=1，A、B分别为椭圆C的长轴、短轴的端点，则椭圆C上到直线AB

3 C． 4 D．

+

）

27．（2014•大庆二模）设F1、F2分别是椭圆• 4 A．

+y2=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（

=0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是（ ）

3 B．

2 C．

1 D．

•

=0，椭圆的离

28．（2014•四川模拟）已知共焦点F1，F2的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若心率e1与双曲线的离心率e2的关系式为（ ）

A．B．

+=2 ﹣=2

C． e12+e22=2 D． e22﹣e12=2

29．（2013•四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴

正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）

A．B． C． D．

30．（2012•江西）椭圆

（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，

|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）

A．B． C．

D．

1．（2014•甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于

A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A．B． C．

考点： 椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得

D．

，利用“点差法”可得

．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得

=

=．于是得到

，化为a2=2b2，再利用c=3=

，即可解得

a2，b2．进而得到椭圆的方程．

解答：

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得

，

相减得

∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，∴

，

，∴

=

=．

．

化为a2=2b2，又c=3=∴椭圆E的方程为

，解得a2=18，b2=9． ．

故选D．

点评： 熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．

2．（2014•四川二模）已知△ABC的顶点B，C在椭圆

+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个

焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ） 6 12 A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长． 解答： 解：由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，

可得△ABC的周长为4a=， 所以选C

点评： 本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等

3．（2014•邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么

|PF1|是|PF2|的（ ） A．7倍 B． 5倍 C． 4倍 D． 3倍

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆

=1，得

．再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数．

解答： 解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），

如图，∵线段PF1的中点M在y轴上， ∴可设P（3，b），

把P（3，b）代入椭圆∴|PF1|=

=1，得，|PF2|=

． ．

．

故选A．

点评： 本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．

4．（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆

+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是

（ ） A．B． C． D． 5 + 7+ 6

考点： 椭圆的简单性质；圆的标准方程．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离． 解答： 解：设椭圆上的点为（x，y），则

∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，

∴椭圆上的点与圆心的距离为

=

≤5

，

∴P，Q两点间的最大距离是5+=6． 故选：D．

点评： 本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

5．（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A．B．

，则椭圆和双

3 C． 2 D．

考点： 椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．

解答： 解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，

由椭圆和双曲线的定义可知，

设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2

∵∠F1PF2=

，

，①

∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos在椭圆中，①化简为即4c2=4a12﹣3r1r2， 即

，②

在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2， 即

联立②③得，

，③

=4，

）≥（1×

时取等号，

+

）2，

由柯西不等式得（1+）（即（即

）

=

，d当且仅当

故选：A

点评： 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．

6．（2014•福州模拟）已知动点P（x，y）在椭圆C：

=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|

|=1且

=0，则|

A．

|的最小值为（ ）

3 B．

C．

1 D．

考点： 椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线

长PM最小，作出图形，即可得到答案．

解答： 解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，

∴当PF最小时，切线长PM最小．

由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2． 此时|PM|==．

故选：A．

点评： 本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．

7．（2014•齐齐哈尔二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，

），以

A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（ ）

A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值 随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值 B． 随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大 C． D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，

e=可表示出e1=

，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中

的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．

解答： 解：连接BD，AC设AD=t

则BD==

∴双曲线中a=e1=

∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减

小，即e1减小 ∵AC=BD

∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ） AC+AD=

+t，∴a'=（

+t）

e2==

∴e1e2=

×=1

故选B．

点评： 本题主要考查椭圆和双曲线的离心率的表示，考查考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点

每年必考，平时要注意基础知识的积累和练习．

8．（2014•赣州二模）设椭圆

的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的

两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（ ） A．B． 必在圆x2+y2=2上 必在圆x2+y2=2内 C．D． 以上三种情形都有可能 必在圆x2+y2=2外

考点： 椭圆的简单性质；点与圆的位置关系． 专题： 计算题． 分析：

由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得+

与圆x2+y2=2的关系．

解答： 解：∵椭圆的离心率e==，

∴c=a，b=∴ax2+bx﹣c=ax2+∵a≠0， ∴x2+

x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，

，x1x2=﹣， =

﹣2x1x2=+1＜2． =

a，

的值，从而可判断点P

ax﹣a=0，

∴x1+x2=﹣∴

+

∴点P在圆x2+y2=2的内部． 故选A．

点评： 本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．

9．（2014•北京模拟）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆

，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

的两个焦点，P为椭圆上一点且

考点： 椭圆的简单性质；向量在几何中的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设P（m，n ），由得到n2=2c2﹣m2 ①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b2m2+a2n2=a2b2

②，把①代入②得到 m2 的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得的范围．

解答： 解：设P（m，n ），

=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，

∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2 ①． 把P（m，n ）代入椭圆把①代入②得 m2= b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴又 m2≤a2，∴a2﹣2c2≥0，∴综上，

≤≤

≤， ．

≥

． ≤a2，∴

≤0，

得 b2m2+a2n2=a2b2 ②， ≥0，∴a2b2≤2a2c2，

故选 C．

点评： 本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．

10．（2014•焦作一模）已知椭圆

（a＞b＞0）与双曲线

（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣

c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c，根据n2是

2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．

解答：

解：由题意：

∴∴∴

．

，

，∴a2=4c2，

故选D．

点评： 本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．

11．（2014•焦作一模）已知点P是椭圆点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且

+

=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原•

=0，则|

|的取值范围是（ ）

A．[0，3） B． C． D． [0，4] （0，2） [2，3）

考点： 椭圆的简单性质；椭圆的定义．

专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

结合椭圆 =1的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值

0．

当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值值范围．

解答：

解：由椭圆

=1 的方程可得，c=

．

．由此能够得到|OM|的取

由题意可得，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0． 当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|趋于最大值 c=2． ∵xy≠0，∴|OM|的取值范围是（0，）． 故选B．

点评： 本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．

12．（2014•阜阳一模）设A1、A2为椭圆P，使得 A．

的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点

，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；数形结合． 分析：

由，可得 y2=ax﹣x2＞0，故 0＜x＜a，代入

=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在

（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．

解答： 解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则

∵代入

=（﹣x，﹣y），

=（a﹣x，﹣y），

，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a． =1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，

令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图： △=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（ a4﹣4a2b2+4b4 ）=a2（a2﹣2c2）2≥0， ∴对称轴满足 0＜﹣＞，又 0＜＜1，∴

＜a，即 0＜

＜＜1，故选 D．

＜a，∴

＜1，

点评： 本题考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的

条件，

体现了数形结合的数学思想．

13．（2014•宜昌三模）以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为（ ） A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题．

分析： 先根据题意得|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，在直角三角形MF1F2中 根据勾股定理可知

|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，进而得到关于a和c的方程，把方程转化成关于 即e的方程，进而求得e．

解答： 解：由题意得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c

直角三角形MF1F2中 |MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2 即（2a﹣c）2+c2=4c2 整理得2a2﹣2ac﹣c2=0

a=（2c+2c根号3）/4=（c+c根号3）/2=c（1+根号3）/2

等式两边同除以a2，得

+

﹣2=0

即e2+2e﹣2=0，解得e=﹣1或﹣﹣1（排除） 故e=﹣1 故选A．

点评： 本题主要考查了椭圆性质．要利用好椭圆的第一和第二定义．

14．（2014•河南二模）已知椭圆

的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=

（a+c）x与

椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A．B． C．

D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

如图，根据四边形ABFC是菱形得到B的横坐标为（a﹣c），代入抛物线方程求出B的纵坐标为

b，

因此将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．

解答：

解：∵椭圆

∴A（a，0），F（﹣c，0） ∵抛物线y2=

的左焦点为F，右顶点为A，

（a+c）x与椭圆交于B，C两点，

∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n） ∵四边形ABFC是菱形，∴m=（a﹣c） 将B（m，n）代入抛物线方程，得n2=

（a+c）（a﹣c）=

b2

∴B（（a﹣c），•

=

b），再代入椭圆方程，得，即

化简整理，得4e2﹣8e+3=0，解之得e=（e=＞1不符合题意，舍去） 故选：D

点评： 本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC，求椭圆的离心率e，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简

单几何性质等知识，属于中档题．

15．（2014•广州二模）设F1，F2分别是椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段

PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（ ） A．B． C．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由已知条件推导出PF⊥x轴，PF=

22解答： 解：∵线段PF1的中点在y轴上

设P的横坐标为x，F1（﹣c，0）， ∴﹣c+x=0，∴x=c；

∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴， ∵∠PF1F2=30°，

∴PF2=

，

，

D．

，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率．

∵PF1+PF2=2a，∴PF2=

tan∠PF1F2===，

∴=，∴e==．

故选：A．

点评： 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．

16．（2014•吉安二模）以椭圆

+

=1（a＞b＞0）的长轴A1A2为一边向外作一等边三角形A1A2P，若随圆的一

个短轴的端点B恰为三角形A1A2P的重心，则椭圆的离心率为（ ） A．B． C．

D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由重心性质可知|OP|=3|OB|，由正三角形可得a=3b，结合a2=b2+c2可求离心率． 解答： 解：∵短轴的端点B恰为三角形A1A2P的重心，

∴|OP|=3|OB|，

∵A1A2P为正三角形，

∴|OP|=|A1P|sin60°=2a×故

a=3b，即a=

b，

=

=

，

=

a，

∴离心率e=

故选：D．

点评： 本题考查椭圆的简单性质及离心率的求解，考查学生的运算求解能力，属基础题．

17．（2014•韶关一模）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）与双曲线

﹣

=1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两

焦点的距离之和为10，那么，该椭圆的离心率等于（ ） A．B． C．

D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由双曲线的焦点能求出椭圆的焦距，由椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，能求出椭圆的长轴，由

此能求出椭圆的离心率．

解答：

解：∵双曲线的焦点坐标F1（﹣4，0），F2（4，0），

∴椭圆的焦点坐标F1（﹣4，0），F2（4，0）， ∵椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10， ∴2a=10，a=5，

∴椭圆的离心率e==．

故选：B．

点评： 本题考查椭圆的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用．

18．（2014•海南模拟）已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1满足∠POQ=90°的两个动点，则 3A． 4

B．8

C．

+D．

等于（ ）

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 通过计算当P、Q在象限的角平分线上时，得出解答： 解：当P、Q在象限的角平分线上时，

+值．

由解得，

∴P（），同理Q

此时|OP|2=|OQ|2=， ∴

+

=8

故选B．

点评： 本题给出以原点为端点的互相垂直的两条射线，着重考查了利用特殊值来解决选择题是常见的方法，属于

基础题．

19．（2014•南昌一模）已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆tan∠PF2F1=2，则椭圆的离心率e=（ ） A．B．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由已知条件推导出|PF|=，则|PF|=

21

率．

解答：

解：∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2， ∴

=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，

+

=1（a＞b＞0）上一点，

+

=1（a＞b＞0）上一点，若PF1⊥PF2，

C． D．

，由勾股定理得到

=4c2，由此能求出椭圆的离心

由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=∴|PF2|=

，则|PF1|=

，

，

由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2， ∴∴e==

．

=4c2，解得c=

a，

点评： 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．

20．（2014•河南一模）已知椭圆

+

=10（0＜m＜9），左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A、B

两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则m的值为（ ） 3 2 1 A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中

通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值

代入|BF2|+|AF2|12﹣|AB|，由

|BF2|+|AF2|的最大值等于10列式求b的值．

解答： 解：由0＜m＜9可知，焦点在x轴上，

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12 ∴|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|．

当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，

此时|AB|=

，∴10=12﹣

，

解得m=3 故选A

点评： 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的

长最短，是中档题．

21．（2014•浙江模拟）过椭圆

+

=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2=b2的切线FQ（Q为切点）交

椭圆于点P，当点Q恰为FP的中点时，椭圆的离心率为（ ） A．B． C．

D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 设直线FQ的方程为：y=k（x﹣c），利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式可得直线的斜率k，

进而得到切点Q的坐标，利用中点坐标可得点P的坐标，代入椭圆的方程即可得出．

解答： 解：如图所示，

设直线FQ的方程为：y=k（x﹣c）， ∵此直线与圆x2+y2=b2的相切于Q，

∴解得k=﹣

=b，

，

联立，解得．

∵点Q是FP的中点，

∴，解得，，

∵点P在椭圆上，∴又b2=a2﹣c2， 化为9c2=5a2， ∴

故选：A．

．

，

点评： 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、点与椭圆的位置关系、椭圆的离

心率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

22．（2014•郑州一模）已知椭圆C1：的取值范围为（ ） A．

（，1）

﹣

=1与双曲线C2：

+

=1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e

B．

（0，

）

C． （0，1）

D． （0，）

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

由椭圆C1：﹣=1与双曲线C2：

+=1有相同的焦点，可得m＞0，n＜0．因此m+2﹣（﹣n）

=

，利用不等式的性质和e＜1

=m﹣n，解得n=﹣1．于是椭圆C1的离心率e=即可得出．

解答：

解：∵椭圆C1：

﹣

=1与双曲线C2：

+

=1有相同的焦点，

∴m＞0，n＜0．

∴m+2﹣（﹣n）=m﹣n，解得n=﹣1．

∴椭圆C1的离心率e=

∴椭圆C1的离心率e的取值范围为

=

．

，又e＜1，

故选：A．

点评： 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、不等式的性质，属于基础题．

23．（2014•邢台一模）设F1、F2分别是椭圆

+

=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，

则△PF1F2的面积等于（ ） 6 A．B． C． 12或6 D． 4 4或6

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 根据椭圆方程求得c=2＜b，从而判断出点P对两个焦点张角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角顶

点在焦点处，再利用椭圆的方程算出点P到F1F2轴的距离，利用三角形面积公式加以计算，可得△PF1F2的面积．

解答： 解：∵设椭圆短轴的一个端点为M，

∵椭圆∴

+

=1中，a=4，b=2

，

由此可得∠OMF1=30°，得到∠F1MF2＜90°，

∴若△PF1F2是直角三角形，只能是∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°． 令x=±2， 得y2=9，

解得|y|=3，即P到F1F2轴的距离为3． ∴△PF1F2的面积S=|F1F2|×3=故选：B．

，

点评： 本题给出点P是椭圆上与两个焦点构成直角三角形的点，求△PF1F2的面积．着重考查了椭圆的标准方

程、简单几何性质和三角形的面积计算等知识，属于中档题．

24．（2014•河南模拟）已知椭圆C：

+

=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，若△F1F2P为等

腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A．B． ﹣1

考点： 椭圆的简单性质．

专题 圆锥曲线的定义、性质与方程．

C．

﹣1或

D．

：

分析： 求椭圆的离心率，即求参数a，c的关系，本题中给出了三角形PF1F2为等腰三角形这一条件，由相关图形

知，角P或F1或角F2为直角，不妨令角F2为直角，

则有PF2=F1F2，求出两线段的长度，代入此方程，整理即可得到所求的离心率．

解答： 由题意，角P或F1或角F2为直角，

当P为直角时，b=c， ∴a2=b2+c2=2c2

∴离心率e=

；

当角F1或角F2为直角， 不妨令角F2为直角，

此时P（c，y），代入椭圆方程

+

=1得

，

又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2， 故得PF2═2c，即a2﹣c2=2ac， 解得

，

即椭圆C的离心率为． 故选C．

点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．

25．（2014•保定二模）已知点Q在椭圆C：

+

=1上，点P满足

=（

+

）（其中O为坐标原点，F1

为椭圆C的左焦点），则点P的轨迹为（ ） A．圆 B． 抛物线 C． 双曲线 D． 椭圆

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由=（+）可以推出P是线段F1Q的中点，由Q在椭圆上，F1为椭圆C的左焦点，即可得到点

P满足的关系式，进而得到答案．

解答： 解：因为点P满足

=（

+

），

所以Q是线段PF的中点，

设P（a，b）， 由于F1为椭圆C：故Q（

+

=1的左焦点，则F1（﹣

，0），

，），

+

=1上，

，

由点Q在椭圆C：则点P的轨迹方程为

故点P的轨迹为椭圆． 故选：D

点评： 该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题．

26．（2014•贵阳模拟）已知椭圆C：+=1，A、B分别为椭圆C的长轴、短轴的端点，则椭圆C上到直线AB

的距离等于的点的个数为（ ） 1 2 3 4 A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 设直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，与AB平行的直线方程为3x+4y+c=0，求出直线与椭圆相切时，两条平

行线间的距离，即可得出结论．

解答： 解：设直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，与AB平行的直线方程为3x+4y+c=0，则

与椭圆C：

+

=1联立，可得18x2+6cx+c2﹣144=0，

， ，

△=36c2﹣72（c2﹣144）=0，∴c=±12两条平行线间的距离为∵

＜

，

∴椭圆C上到直线AB的距离等于的点的个数为2， 故选：B．

点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．

27．（2014•大庆二模）设F1、F2分别是椭圆•

+y2=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（

+

）

=0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是（ ）

4 3 2 1 A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据向量条件（+）•=0得到△F1PF2是直角三角形，根据椭圆的定义即可得到结论． 解答： 解：∵（

+

）•

=0，

∴平行四边形OPBF2的对角线互相垂直，

即平行四边形OPBF2是菱形， ∵椭圆

+y2=1，∴a=2，b=1，c=

，

，

即OP=OF2=，即平行四边形OPBF2的边长为∴△F1PF2是直角三角形， 设PF2=x，PF1=y， 则x+y=2a=4，

平方得x2+2xy+y2=16， ∵x2+y2=（2c）2=12，

∴2xy=16﹣12=4，即xy=2， 则△F1PF2的面积为故选：D

，

点评： 本题主要考查三角形的面积的计算，根据向量条件得到△F1PF2是直角三角形时解决本题的关键．

28．（2014•四川模拟）已知共焦点F1，F2的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若心率e1与双曲线的离心率e2的关系式为（ ） A．B．

+=2 ﹣=2

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

设椭圆与双曲线的方程分别为：

•

=0，椭圆的离

C． e12+e22=2 D． e22﹣e12=2

，

．设|PF1|=m，|PF2|=n．利用椭圆和双曲线的定=（m+n）2+（m﹣n）2=2（m2+n2），由

义可得：m+n=2a1，m﹣n=2a2．两边平方可得

•

=0，可得F1P⊥F2P．再利用勾股定理可得m2+n2=（2c）2=4c2，再利用离心率计算公式即可得

出．

解答： 解：如图所示，

设椭圆与双曲线的方程分别为：其中a1＞b1＞0，a2＞0，b2＞0，

设|PF1|=m，|PF2|=n． 则m+n=2a1，m﹣n=2a2． ∴=（m+n）2+（m﹣n）2=2（m2+n2）， ∵

•

=0，∴F1P⊥F2P．

，

． ．

∴m2+n2=（2c）2=4c2， ∴， ∴∴

．

．

故选：A．

点评： 本题考查了椭圆与双曲线的定义、标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方

法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

29．（2013•四川）从椭圆

上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴

正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D．

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：

依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案． 解答： 解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），

则∴y0=

，

）， +

=1，

∴P（﹣c，

又A（a，0），B（0，b），AB∥OP， ∴kAB=kOP，即∴b=c．

设该椭圆的离心率为e，则e2=∴椭圆的离心率e=故选C．

点评：

30．（2012•江西）椭圆

（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，

本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，

）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

．

=

=

=，

=

=

，

|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）

A．B． C．

D．

考点： 椭圆的简单性质；等比关系的确定． 专题： 计算题． 分析：

由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2=从而得到答案．

解答： 解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，

∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，

=，

∴（2c）2=（a﹣c）（a+c）， ∴∴e=

=，即e2=，

，即此椭圆的离心率为

．

故选B．

点评： 本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用a，c分别表示出|AF1|，|F1F2|，|F1B|是关键，属于

基础题．