初中数学-《勾股定理》测试题
一、填空
1．命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是 ；命题内错角相等，两直线平行”的逆命题是 ． 2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m，2m，2.5m，则这个花坛的面积为 m2．
3．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为 ．
4．△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= cm． 二、选择题 5．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1． 其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 三、解答题
6．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．
8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
9．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
《勾股定理》 参与试题解析
一、填空
1．命题：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是 如果ab=0，那么a=0 ；命题内错角相等，两直线平行”的逆命题是 两直线平行，内错角相等 ． 【考点】命题与定理．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：“如果a=0，那么ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0； 内错角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，内错角相等， 故答案：如果ab=0，那么a=0；两直线平行，内错角相等．
【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用，分清原命题的题设和结论是解答本题的关键．
2．测得一块三角形花坛的三边长分別为1.5m，2m，2.5m，则这个花坛的面积为 1.5 m． 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形花坛的形状，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵1.5+2=6.25=2.5， ∴三角形花坛的三边正好构成直角三角形， ∴这个花坛的面积=×1.5×2=1.5m． 故答案为：1.5．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为 24m ．
2
2
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2
2
2
【考点】勾股定理的应用．
【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【解答】解：如图，连接AC 由勾股定理可知
AC=
2
2
2
=
2
2
2
=5，
又AC+BC=5+12=13=AB 故三角形ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=
=24（m2）．
【点评】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．
4．△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．则AC= 13 cm． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据已知及勾股定理的逆定理可得△ABD，△ADC是直角三角形，从而不难求得AC的长． 【解答】解：∵D是BC的中点，BC=10cm， ∴DC=BD=5cm，
∵BD2+AD2=144+25=169，AB2=169， ∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° ∴△ADC也是直角三角形，且AC是斜边 ∴AC2=AD2+DC2=AB2 ∴AC=13cm． 故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理的应用和直角三角形的判定．
二、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分） 5．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．
【分析】本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形． 【解答】解：①正确，∵a+b=c，∴（4a）+（4b）=（4c）， ②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5” ③错误，∵12+21≠25，∴不是直角三角形； ④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1， 故选C．
【点评】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用． 三、解答题
6．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
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【考点】勾股定理的逆定理． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求． 【解答】解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15， ∴AB2+AD2=BD2， BD+BC=DC．
∴△ABD、△BDC是直角三角形． ∴∠A=90°，∠DBC=90°． 故这个零件符合要求．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断△ABD、△BDC的形状．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．
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【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【专题】几何图形问题．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据中点的定义得到CD的长，根据勾股定理可求出AD的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13， 13=5+12， ∴AB=AC+CB， ∴△ABC是直角三角形， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD=6， ∴在Rt△ACD中，AD=
，
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∴△ABD的面积=×BD×AC=15．
【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．
8．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船在同时以12海里/时的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是北偏西多少度？
【考点】勾股定理的应用；方向角． 【专题】探究型．
【分析】先根据题意得出OA及OB的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△OAB的形状，进而可得出结论． 【解答】解：由题意可知，OA=16+16×=24（海里），OB=12+12×=18（海里），AB=30海里， ∵242+182=302，即OA2+OB2=AB2， ∴△OAB是直角三角形，
∵∠AOD=40°，
∴∠BOD=90°﹣40°=50°，即另一艘轮船的航行的方向是北偏西50度．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出△AOB是直角三角形是解答此题的关键．
9．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】先判断CD⊥AB，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x，得出AC，继而可得出△ABC的周长． 【解答】解：在△BCD中，BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm， ∵BD+DC=BC，
∴△BCD中是直角三角形，∠BDC=90°， 设AD=x，则AC=x+12， 在Rt△ADC中，∵AC2=AD2+DC2， ∴x2+162=（x+12）2， 解得：
．
+12）×2+20=
cm．
2
2
2
∴△ABC的周长为：（
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出AD的长度，得出腰的长度，难度一般．
