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第三十二讲
如图，一个圆圈上有
最大公约数与最小公倍数
A孔出发，逆时针方
n (n＜100＝个孔．小明像玩跳棋一样，从
A孔．他4个孔，
B孔；他又试着每步跳过6孔，正好回到
向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到先每步跳过2个孔，结果只能跳到结果还是跳到
B；最后他每步跳过
?
上一共有多少个孔
A孔．问这个圆圈
思路点拨依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上
B孔A孔，这
的孔数是3的倍数，有3│n—1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过外，圆圈上的孔数是表明7│n．
5的倍数，因此，有
5│n—1；又每步跳过
5个孔，故除掉
6个孔时，可回到
因(3，5)=1，故15│n—1．因n<100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有知识要点： 1
．(1)设a1，a2是两个整数，如果
d│a1，，d│a2，那么d就称为a1和a2的公约数．一
91个孔．
般地，设
a1、a2、、ak是k个整数．如果d│a1，…d│ak，那么d就称为a1、a2、、ak
那么的公约数中最大的称为
a1和a2的最大公约数，
的公约数．
(2)设a1，a2是两个不全为零的整数，记作(a1，a2)．一般地，设公约数中最大的称为
a1、a2、、ak是k个不全为零的整数，那么a1、a2、、ak的
a1、a2、、ak的最大公约数，记作(a1，a2，…，ak)．a1、a2、、ak
a1│l，a2│l，则称l是a1，a2的公倍数，
的公约数一定是最大公约数的约数． 2
．设a1，a2是两个均不等于零的整数，如果
a1，a2的正的公倍数中最小的称为均不等于零的整数．如果公倍数中最小的称为数．
a1与a2的最小公倍数．一般地，设
a1、a2、、ak是k个
a1│l，…，ak│l，则称l是
a1、a2、、ak的公倍数，其中正的
a1、a2、、ak的最小公倍数，其他公倍数一定是最小的公倍数的倍
3．若将a，b进行质因数分解，并将它们表示成
ab
p1p2p1p2
1
12
pmpm
m
，．
2m
其中p1，p2，…，Pm为质数，α1，α2，，…αm，β1，β2，…，βm为非负整数，且设ti、ts分别为αi、βi(I=1，2，…，m)中的较小者与较大者，则 (a [a
，b)= ，b]=
p1p2p1p2
s1
t1t2
pm，pm．
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sm
tm
s2
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4．最大公约数与最小公倍数的重要性质 (1) r (2)
如果b│
a，则(a，b)=b，[a，b]=a．
m，有(am，bm)=m(a，b)， [am
，bm]=m[a，b]．
对于任意的正整数
(3) 若a=bg+r (a＞b，0≤r＜b＝，则有(a，b)=(b，r)．
这一性质表示求(a，b)可转化为求(b，r)．由于b和r相对于a与b来说要小，求(b，r)应较求(a，b)简便．若b和r仍比较大，可重复使用这一性质．这种方法称之为辗转相除法．(4) ( a
1
，a2，a3)=((al，a2)，a3)．
(5) ab=(a，b)×[a，b]．
5．若(a1，a2)=1，则称a1与a2互质．若(a1，…，ak)=1，则称a1，…，ak互质．值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如(2)若(a，b)=1，a│bc，则a│c．(3)若(a，b)=1，a│c，b│c，则ab│c；(4)若(a，b)=1，则(ac，b)=(c，b)；(5)若(a，b)=1，c│a，则(c，b)=1．【例1】 (黄冈市初中竞赛题公约数可能达到的最大的值是多少思路点拨 4845= a
)23个不同的正整数的和是
4845，试问：这23个数的最大
d，
?写出你的结论，并说明理由．
a1，a2…，a23，并且它们的最大公约数是
(6，9，10)=1，而(6，9)=3．
6．(1)若(a，b)=1，则 (a，a±b)=1，(a±b ，b)=1，(a±b，ab)=1
设这23个彼此不同的正整数为+a2+…+a23=d(b1+ b2+…+ b23)．
则a1=db1，a2=db2，…，，a23=db23，依题意，有
1
∵ b1， b2，…， b23也是彼此不等的正整数，∴ b1+ b2+…+ b23≥1+2+…+23=276．因此，4845=d(b1+ b2+…+ b23)≥276d，∴d≤
4845276
17
5192
．
17．
又因为4845=19×17×15，因此d的最大值可能是 a
+a2+…+a23=17(1+2+…+22)十17×32=4845．
当a1=17，a2=17×2，a3=17×3，…，a22=17×22，a23=17×32时，得
1
注本题的解题思路是：可设这23个不同的正整数为
d│14845，求出d的值．
a1，a2…，a23，且a1=db1，a2=db2，…，，
d的
a23=db2，则4845=d(b1+ b2+…+ b23)．要使d最大，则b1+ b2+…+ b23应最小．故可求出取值范围，再根据
【例2】(希望杯初一数学竞赛试题申、酉、戌、亥．将天干的
)古人用天干和地支记次序，其中天干有
10个：甲、
乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有
10个汉字和地支的
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…
12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
12个汉字分别循环排列成如下两行：
子丑寅卯辰巳午未申酉戌女子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右数，第 A
．31 B思路点拨
1列是甲子，第
( )
l0m+1，m=0，1，2，…，“子”在第二行出现
：：
，
—
2列是乙丑，，第3列是丙寅……则当第
2次甲和子在
同一列时，该列的序号是
．6l C．91 D． 121 “甲”在第一行出现的位置是
的位置是12n+1，n=0，1，2，…．
∴“甲”和“子”在同一列时应有即l0m=12n
l0m十1=12n十l
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当m=n=0时是第一次“甲”“子”同列，第二次“甲”成立的最小正整数
m和n，即m=6，n=5．
B．
x、y、z张．如
3，
∴应是第61号位置．故选
“子”同列时应是使得
l0m=12n
注：“甲”“于”在同一列时，它们的序号相同，这是解题的关键．
【例3】 (北京市竞赛试趣)张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡果已知x，y，z的最小公倍数为那么张华发出的新年贺卡是多少张
思路点拨
时y是60的约数，故而可求
y．
x．
5．若x中有因
60，x和y的最大公约数为?
4的倍数，即y是12的倍数．同4，y和z的最大公约数为
由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是
∵ (x，y)=4，(y，z)=3，∴y是3与4的倍数，而3与4互质，故y是12的倍数．又∵ [x，y，z]=60，∴ y=12，60．进而可求出
∵ [x，y，z] =60=3×4×5．当y=12时，x、z中至少有一个含有因数x==20．
当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数，∴x=4，或x=12，而(x，y)=4，故x=4．
当y=60时，(x，y)=4，而x中没有因数5，且[x，y，z] =60=3×4×5，故x=4．因此，张华发出的贺年卡为
4张或20张．
注 (1)本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；
(2)注意答案的两种可能性．【例4】在一间屋子里有第一个学生走进屋来，把编号是把凡是编号是
思路点拨
100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码
最初所有电灯全是关的，
1，2，3，…，
100．每盏电灯上有一根拉线开关，
现有100个学生在门外排着队，100个学生走进屋来，把编号是
?
数5，又x中有因数4，且4与5互质，∴x中有因数20．而[x，y，z]=60，(x，y)=4，故
1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，
2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第
100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的
由于最初所有电灯是关着的，所以只有那些拉了奇数次开关的电灯才是亮
1，4，9，16，25，36，49，
的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为，81，100的电灯最后是亮着的．
注：本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的．然后对每个编号分解质因数．【例5】两个正整数的和是A．273 B思路点拨
2
60，它们的最小公倍数是a与b，则
273，则它们的乘积是( )
．819 C．1911 R3549 设两个正整数为
a+b=60=2×3 ×5， [a
，b]=273=3×7×13．显然，a，b的最大公约数是 a
1或3．
60．
如果(a，b)=1，则[a，b]=a×b．
、b只能取21、13，7、39，1、273，3、91，其和均不为因此，(a，b)=3，于是 a=3 ×7，b=3 ×13，
∴ a×b=(3×7)×(3X×3)=819．注：本题的精妙之处在于由数是1或3．
【例6】
用整元的人民币购物，若用多于
7元的任意元钱去买单价为
3元和5元的两
故选B．
确定出a和b的最大公为
a+b和[a，b]的两个质因式的分解，
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种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．
思路点拨元时，少买一根
用任意元钱
n (n＞7)去买单价为
3元的雪糕，只能余
l元或2元．若余2
1元时，少买
3元雪糕，余数就为
2+3=5元，恰能买一块
5元的雪糕．若余
3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕．若n能被3整除，就用所有
钱去买3元的雪糕，恰合题意．
注：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．【例7】已知两数和是思路点拨
60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是
84，求此二数．
设所求二数为
x，y，且(x，y)=d，令x=ad，y=bd，则(a，b)=1．根据题意有
ab1ab
60
d，由于(60，84)=12，所以d=l，2，3，4，6，12．84d
abab
56
ab
23
ab
32
而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解．当d=12时，方程组变为故所求的两数为
，解之得
或
佐：：．，
x=24，y=36．
a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，
【例8】 ( “五羊杯’’竞赛题)设a与b是正整数，且则最大公约数(a，b)=( ) A
．1 B思路点拨
．3 C．11 D．9
令(a，b)=x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约
数，知x=1或x=3．
当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]=90，说明a、b至少有一个能被b)≠1，即x≠1．
当x=3时，即有(a，b)=3，∴ab=[a，b]，(a，b)=3×90=3×5×6，而a+b=33，∴a=15，b=18，(a，b)=3．
故选B．
2
3整除．当b能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，故(a，
学力训练(A级)
1．( “希望杯”培训题 A．3 B．4 C2．( ‘希望杯”竞赛题
)2001的正约数的个数是．6 D．8
)下面的四句话中正确的是
a ab a ab
( ) ( ) ( )
A．正整数a和b的最大公约数大于等于B．正整数a和b的最小公倍数大于等于C正整数a和b的最大公约数小于等于D．正整数a和b的公倍数大于等于A．43 B
．86 C．172 D
3．360×473和172×361这两个积的最大公约数是
．4
4．(北京市竞赛题)a，b是彼此不相等的非零数字，则是
．
ababab与4017的最大公约数
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5．(上海市竞赛题)写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为6．甲、乙、丙三人到那里求学，甲每日呢?
(B级)
1所有形如
．
6天去一次，乙每
8天去一次，丙每
9天去一
5的倍数、7的倍数、
次，如果8月17日他们三人在处见面，那么下一次在处见面的时间是几月几
abcabc的六位数(a，b，c分别是0~9这十个数之一，可以相同，但
．101 C．8 C
． 13 D
．11
( )
块．
a≠0)的最
大公约数是( ) A A
．1001 B．6 B
2用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要
．12 D．16
1610，那么祖孙两人今年的年龄分别
3．祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是是( )
A．70岁、23岁 B A (1) (2)整数有
．33 B
．69岁、22岁 C．115岁、14岁 D．114岁、13岁
3整除的数的个数是
( )
4在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被
．34 C．35 D．37
)设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．
15，则m+n= 45，则m+n=
；．
120倍，那么满足条件的正
5(2000年“希望杯”竞赛题
如果m和n的最大公约数为如果m和n的最小公倍数为
组．
6．个正整数之和为667，其最小公倍数是它们扣最大公约数的
a和b的最小公倍数，例如
组．
45m要安装一根电线杆，
7．a，b]表示两个正整数8．甲地到乙地原来每隔
[14，35]=70，则满足[x，y]=-6，[y，
53根电线杆．现在
?
z]=15的正整数组(x，y，z)共有
加上两端的两根一共有
改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动
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参
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