《概率论与数理统计》(第四版)选做习题全解

1.一打靶场备有5支某种型号的,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的击中目标的概率为p1,使用未经校正的击中目标的概率为p2.他随机地取一支进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的的概率(设各次射击的结果相互).

2.某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给A、B、C三人,各人分别得到4只、6只、1只.

(1)求C未拿到二级品的概率.

(2)已知C未拿到二级品,求A,B均拿到二级品的概率. (3)求A,B均拿到二级品而C未拿到二级品的概率.

3.一系统L由两个只能传输字符0和1的工作的子系统L1和L2串联而成(如图15.3),每个子系统输入为0输出为0的概率为p(0p1);而输入为1输出为1的概率也是p.今在图中a端输入字符1,求系统L的b端输出字符0的概率.

L1L2b 题15.3图

4.甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?

5.将一颗骰子掷两次,考虑事件A“第一次掷得点数2或5”,B“两次点数之和至少为7”，求

P(A),P(B),并问事件A,B是否相互.

6.A，B两人轮流射击,每次各人射击一,射击的次序为A,B,A,B,A,射击直至击中两为止.设各人击中的概率均为p,且各次击中与否相互.求击中的两是由同一人射击的概率.

7.有3个工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为p1,p2,p3.设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3[G].这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3[G]系统的可靠性.

2，3，4，5.各继电8. 在如图15.8图所示的桥式结构电路中，第i个继电器触点闭合的概率为pi，i＝1，器工作相互.求：

（1）以继电器触点1是否闭合为条件，求A

12到B之间为通路的概率.

3 （2）已知A到B为通路的条件下，继电器触 AB 点3是闭合的概率.

49.进行非学历考试，规定考甲、乙两门课程，每门课考第一次未通过都允许考第二次．考生仅在课程5题 15.8 图 甲通过后才能考课程乙，如两门课程都通过可获得一张资格证书．设某考生通过课程甲的各次考试的概率为p1，通过课程乙的各次考试的概率为p2，设各次考试的结果相互．又设考生参加考试直至获得资

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

格证书或者不准予再考为止．以X表示考生总共需考试的次数．求X的分布律以及数学期望E(X)．

10.(1)5只电池,其中有2只是次品,每次取一只测试,直到将2只次品都找到.设第2只次品在第

X(X2,3,4,5)次找到,求X的分布规律(注:在实际上第5次检测可无需进行).

(2)5只电池,其中2只是次品,每次取一只,直到找出2只次品或3只正品为止.写出需要测试的次数

的分布律.

11．向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为R(单位:10m),R服从瑞利分布,其概率密度为

2rr2/25,r0,e fR(r)25r0.0,若弹着点离目标不超过5m时,目标被摧毁. (1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率.

(2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0.94,问最少需要发射多少枚炮弹.

12．设一枚深水击沉一潜水艇的概率为

111，击伤的概率为，击不中的概率为.并设击伤两次326也会导致潜水艇下沉.求释放4枚深水能击沉潜水艇的概率.（提示：先求击不沉的概率.）

13． 一盒中装有4只白球，8只黑球，从中取3只球，每次一只，作不放回抽样.

1e0.03t,t0,14．设元件的寿命T(以小时计)服从指数分布,分布函数为F(t)

0,t0.(1)已知元件至少工作了30小时,求它能再至少工作20小时的概率.

(2)由3个工作的此种元件组成一个2/3[G]系统(参见第7题),求这一系统的寿命X20的概率.

15.(1)已知随机变量X的概率密度为fX(x)1xe,x,求X的分布函数. 2 (2)已知随机变量X的分布函数为FX(x),另外有随机变量Y布函数.

16.(1)X服从泊松分布,其分布律为

1,X0,试求Y的分布律和分

1,X0,P{Xk}问当k取何值时P{Xk}为最大. (2)X服从二项分布,其分布律为

kek!,k0,1,2,,

nknkP{Xk}p(1p),k0,1,2,n. k问当k取何值时P{Xk}为最大.

17.. 若离散型随机变量X具有分布律

X 1 2 …n

2

《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解 pk111… nnn称X服从取值为1,2,,n的离散型均匀分布.对于任意非负实数x，记[x]为不超过x的最大整数.记

U~U(0,1),证明X[nU]1服从取值为1,2,,n的离散型均匀分布.

18.设X~U(1,2),求YX的概率密度. 19.设X的概率密度

0,x0,1fX(x),0x1,

21,1x.22x求Y1的概率密度. X120. 设随机变量X服从以均值为

的指数分布.验证随机变量Y[X]服从以参数为1e的几何

分布.这一事实表明连续型随机变量的函数可以是离散型随机变量.

21.投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量 X投掷总次数.

1,若首次投掷得到正面，Y

0,若首次投掷得到反面.(1)求X和Y的联合分布律及边缘分布律. (2)求条件概率P{X1|Y1},P{Y2|X1}.

22.设随机变量X~(),随机变量Ymax(X,2).试求X和Y的联合分布律及边缘分布律. 23. 设X，Y是相互的泊松随机变量，参数分别为1,2,求给定XYn的条件下X的条件分布.

24. 一教授将两篇论文分别交给两个打字员打印.以X，Y分别表示第一篇第二篇论文的印刷错误.设X~(),Y~(),X，Y相互.

（1）求X，Y的联合分布律；

（2）求两篇论文总共至多1个错误的概率.

25. 一等边三角形ROT(如图15.25)的边长为1,在三角形内随机地取点Q(X,Y)(意指随机点(X,Y)在三角形ROT内均匀分布). y

R(1) 写出随机变量(X,Y)的概率密度.

3

.Q(x,y)o题15.25图x《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

(2) 求点Q的底边OT的距离的分布密度. 26. 设随机变量(X,Y)具有概率密度

xex(y1),x0,y0,f(x,y)

其他.0,(1) 求边缘概率密度fX(x),fY(y). (2) 求条件概率密度fX|Y(x|y),fY|X(y|x).

27. 设有随机变量U和V，它们都仅取1，1两个值．已知

P{U1}1/2,

P{V1|U1}1/3P{V1|U1}.

(1)求U和V的联合分布密度.

(2)求x的方程xUxV0至少有一个实根的概率.

(3)求x的方程x2(UV)xUV0至少有一个实根的概率.

28. 某图书馆一天的读者人数X~(),任一读者借书的概率为p,各读者借书与否相互.记一天读者借书的人数为Y,求X与Y的联合分布律.

29. 设随机变量X 和Y相互,且都服从U(0,1),求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率. 30. 一家公司有一份保单招标，两家保险公司竞标.规定标书的保险费必须在20万元至22万元之间.若两份标书保险费相差2千或2千以上，招标公司将选择报价低者，否则就重新招标.设两家保险公司的报价是相互的，且都在20万至22万之间均匀分布.试求招标公司需重新招标的概率.

2231. 设X~N(0,1),Y~N(0,2)且X,Y相互,求概率

2P{02X1Y212}.

32. NBA篮球赛中有这样的规律，两支实力相当的球队比赛时，每节主队得分与客队得分之差为正态随机变量，均值为1.5，方差为6，并且假设四节的比分差是相互的.问 （1）主队胜的概率有多大？

（2）在前半场主队落后5分的情况下，主队得胜的概率有多大？ （3）在第1节主队赢5分得情况下，主队得胜的概率有多大？

33. 产品的某种性能指标的测量值X是随机变量,设X的概率密度为

xxe2,x0,fX(x)

其他．0,12测量误差Y~U(,),X,Y相互,求Z=X+Y的概率密度fZ(z),并验证

P{Z}1220eu2/2du

34. 在一化学过程中，产品中有份额X为杂质，而在杂质中有份额Y是有害的，而其余部分不影响产品

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

的质量.设X~U(0,0.1),Y~U(0,0.5)，且X和Y相互，求产品中有害杂质份额Z的概率密度. 35. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

ey,0xy,f(x,y)

其他.0, (1) 求(X,Y)的边缘概率密度. (2) 问X,Y是否相互. (3) 求X＋Y的概率密度fXY(z). (4) 求条件概率密度fX|Y(x|y). (5) 求条件概率P{X3|Y5}. (6) 求条件概率P{X3|Y5}.

36.设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p,借阅乙种图书的概率为,设每人借阅甲、乙图书的行动相互，读者之间的行动也相互.(1)某天恰有n个读者,求甲、乙两种图书中至少借阅一种

的人数的数学期望.

37.某种鸟在某时间区间(0,t0]下蛋数为1~5只,下r只蛋的概率与r成正比.一个收集鸟蛋的人在t0时去收集鸟蛋,但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋.在某处有这种鸟的鸟窝6个(每个鸟窝保存完好,各鸟窝中蛋的个数相互).

(1) 写出一个鸟窝中鸟蛋只数X的分布率.

(2) 对于指定的一只鸟窝,求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率. (3) 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数Y的分布律及数学期望.

(4) 求P{Y4},P{Y4}

(5) 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后,紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋,也仅当鸟窝 中多于3只蛋时,拾取一只蛋,求第二个拾蛋人拾得蛋数Z的数学期望.

38. 设袋中有r只白球,Nr只黑球.在袋中取球n(nr)次,每次任取一只做不放回抽样,以Y表示取到白球的个数,求E(Y).

39.抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止,求所需投掷次数Y的数学期望. 40.设随机变量X,Y相互.且X,Y分别服从以

11,为均值得指数分布.求E(X2YeX).

41.一酒吧间柜台前有6张凳子,服务员预测,若两个陌生人进来就坐的话,他们之间至少相隔两张凳子.

(1) 若真有2个陌生人入内,他们随机地就坐,问服务员预言为真的概率是多少? (2) 设2个顾客是随机坐的,求顾客之间凳子数的数学期望.

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

42.设随机变量X1,X2,,X100相互，且都服从U(0,1),又设YX1X2X100,求概率

P{Y1040}的近似值.

43.来自某个城市的长途电话呼叫的持续时间X(以分计)是一个随机变量,它的分布函数是

1x1[x]33F(x)12e2e,x0,

x0.0,(其中[]是不大于

x3x的最大整数). 3 (1) 画出F(x)的图形.

(2) 说明X是什么类型的随机变量.

(3) 求P{X4},P{X3},P{X4},P{X6}(提示P{Xa}F(a)F(a0)).

44.一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况.据历史数据分析,在未来一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%.写出X的分布,并求X2500.12(即X30)的概率.设各客户是否提出索赔相互.

45.在区间(0,1)随机地取一点X.定义Ymin{X,0.75}. (1) 求随机变量Y的值域.

(2) 求Y的分布函数,并画出它的图形.

(3) 说明Y不是连续型随机变量,Y也不是离散型随机变量.

46.设X1,X2是数学期望为的指数分布总体X的容量为2的样本,设YX1X2,试证明

E(4Y)．

247.设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是一个样本.X,S分别为样本均值和样本方差,试证

42224E(XS)nn1． 2248.设总体X具有概率密度:

x12xe,x0,f(x)

x0.0,其中0为未知参数,X1,X2,,Xn是来自X的样本,x1,x2,,xn是相应的样本观察值.

(1) 求的最大似然估计量. (2) 求的矩估计量.

(3) 问求得的估计量是否是无偏估计量.

49.设X1,X2,,Xn1以及Y1,Y2,,Yn2为分别来自总体N(1,)与N(2,)的样本,且它们

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

相互.1,2,2均未知,试求1,2,2的最大似然估计量.

50.为了探究一批存贮着的产品的可靠性,在产品投入贮存时,即在时刻t00时,随机地选定n只产品,然后在预先规定的时刻t1,t2,,tk取出来进行检测(检测时确定已失效的去掉,将未失效的继续投入贮存),今得到以下的寿命试验数据.

检测时刻(月) t1t2tk (0,t1](t1,t2](tk1,tk](tk1,) 区间(ti1,ti] 在(ti1,ti]的 失效数 d1d2dksdi1kisn

这种数据称为区间数据.设产品寿命T服从指数分布,其概率密度为

et,t0,f(t)0未知．

0,其它,(1) 试基于上述数据写出的对数似然方程.

(2) 设d1n,sn.我们可以用数值解法求得的最大似然估计值.在计算机上实现是容易的.特别,取检测 时间是等间隔的,即取tiit1,i1,2,,k.验证,此时可得的最大似然估计为

1ˆln1t1．

ki2(i1)diskns51. 设某种电子器件的寿命（以小时计）T服从指数分布，概率密度为：

et,t0, f(t)0,其他，其中0未知．从这批器件中任取n只在时刻t0时投入寿命试验，试验进行到预订时间T0结束．此时有k(0kn)只器件失效，试求的最大似然估计．

52.设系统由两个工作的成败型元件串联而成(成败型元件只有两种状态:正常工作或失效).元件1、元件2的可靠性分别为p1,p2,它们均未知.随机地取N个系统投入试验,当系统中至少有一个元件失效时系统失效,现得到以下的试验数据:n1－仅元件1失效的系统数; n2－仅元件2失效的系统数; n12－元件1,元件2至少有一个失效的系统数;s－未失效的系统数.n1n2n12sN.这里n12为隐蔽数据,也就是只知系统失效,但不知道是由元件1还是元件2单独失效引起的,还是由元件1,2均失效引起的,设隐蔽与系统失效

的真正原因.

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

(1)试写出p1,p2的似然函数.

(2)设有系统寿命试验数据N20,n15,n23,n121,s11.试求p1,p2的最大似然估计. 53.(1)设总体X具有分布律

X

1 2 3

pk

  12

0未知,今有样本1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2.试求得最大似然估计值和矩

估计值.

(2)设总体X服从分布,其概率密度为

x11xe,x0,

f(x)()0,其他.其形状参数a0为已知,尺度参数0未知.今有样本值x1,x2,,xn,求的最大似然估计值. 54.(1)设ZlnX~N(,2),即X服从对数正态分布,验证E(X)exp12. 2 (2)设自(1)中总体X中取一容量为n的样本x1,x2,,xn.求E(X)的最大似然估计,此处设,2均为未知.

(3)已知在文学家萧伯纳的《An Intelligent Women’s Guide To Socialism》一书中,一个句子的单词数近似地服从对数指数分布,设及为未知.今自该书中随机地取20个句子.这些句子中的单词数分别为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30,

问这本书中,一个句子的单词数均值的最大似然估计值等于多少?

55.考虑进行定数截尾寿命试验，假设将随机抽取的n件产品在时间t0时同时投入试验.试验进行 到m件(mn)产品失效时停止,m件失效产品的失效时间分别为

20t1t2tm.

tm是第m件产品失效的时间.设产品的寿命分布为韦布尔分布,其概率密度为

xx1e,f(x)0x0 其他其中参数已知.求参数的最大似然估计.

56.设某大城市郊区的一条林荫道两旁开设了许多小商店，这些商店的开设延续时间（以月计）是一个随机变量，现随机地抽取30家商店，将它们的延续时间按自小到大排序，选其中前8家商店，它们的延续时间分别是

3.2 3.9 5.9 6.5 16.5 20.3 40.4 50.9

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

假设商店开设延续时间的长度是韦布尔随机变量. 其概率密度为

xx1e,f(x)0x0 其他其中，0.8.

（1）试用上题结果，写出的最大似然估计.

（2）按（1）的结果求商店开始延续时间至少为2年的概率的估计.

57.设分别自总体N(1,2)和N(2,2)中抽取容量n1,n2的两样本.其样本方差分别为

222都是的无偏估计,并确定常数a,b使S12,S2. 试证,对于任意常数a,b(ab1),ZaS12bS2D(Z)达到最小.

1n 58.设总体X~N(,),X1,X2,,Xn是来自X的样本.已知样本方差S(XIX)2 n1i122是的无偏估计.验证样本标准差S不是标准差的无偏估计.

21x/e,x0,0未知.从总体中抽取一容量59.设总体X服从指数分布,其概率密度为f(x)0,其他,为n的样本X1,X2,,Xn. (1)证明

2nX~2(2n).(2)求的置信水平为1的单侧置信下限.

(3)某种元件的寿命(以小时计)服从上述指数分布,现从中抽得一容量为n16的样本,测得样本均值为 5010(小时),试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限.

60. 设总体X~U(0,),X1,X2,,Xn是来自X的样本.

y0,0,nn (1)验证Ymax(X1,X2,,Xn)的分布函数为 FY(y)y/,0y,

1,y.nun1,0u1,(2)验证UY/的概率密度为fU(u)

其他 .0,(3)给定正数,0a1,求U的分布的上/2分位点h/2以及上1/2分位点h1/2. (4)利用(2)(3) 求参数的置信水平为1的置信区间. (5)设某人上班的等车时间X~U(0,),未知.现在有样本

x14.2,x23.5,x31.7,x41.2,x52.4,求的置信水平为0.95的置信区间.

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解

61.设总体X服从指数分布,概率密度为

1x/e,x0,f(x)0.

其他.0,设X1,X2,,Xn是来自X的样本.试取59题中当0时的统计量设 H0:0,H1:0.取水平为(注意:E(X)).

设某种电子元件的寿命(以小时计)服从均值为的指数分布,随机取12只元件,测得它们的寿命分别为 340 , 430 , 560 , 920 , 1380 , 1520 , 1660 , 1770 , 2100 , 2320 , 2件350 , 2650 .试取水平0.05,检验假设

22nX0作为检验统计量,检验假

H0:1450,H1:1450.

62．经过十一年的试验,达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表,每对作物除授粉方式不同

外,其它条件都是相同的.试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响(0.05).问应增设什么条件才能用逐对比较法进行检验?

授粉方式 异株授粉的作物高度(xi) 同株授粉的作物高度(xi) 7 22.125 18.625 8 20.375 15.25 9 18.25 16.5 1 23.125 27.375 10 21.625 18 2 12 21 11 23.25 16.25 3 20.375 20 12 21 18 4 22 20 13 22.125 12.75 5 19.125 19.375 14 23 25.5 6 21.5 18.625 15 12 18 63．一内科医生声称,如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压(舒张压,以mmHg记)．今选取了10个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压,得到以下的数据：

病人 试验之前(xi) 试验之后(yi) 1 86 84 2 92 83 3 95 81 4 84 78 5 80 82 26 78 74 7 98 86 28 95 85 9 94 80 10 96 82 设DiXiYi(i1,2,,10)为来自正态总体N(D,D)的样本,D,D均已知．试检验是否可以认为医生的意见是对的(取0.05)．

．以下是各种颜色汽车的销售情况：

颜色 车辆数 红 黄 蓝 绿 棕 40 46 36 14 试检验顾客对这些颜色是否有偏爱,即检验销售情况是否是均匀的(取0.05)． 65．某种闪光灯,每盏灯含4个电池,随机地取150盏灯,经检测得到以下的数据：

10

《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解 一盏灯损坏的电池数x 灯的盏数 0 1 2 3 4 26 51 47 16 10 试取0.05检验一盏灯损坏的电池数X~b(4,)(未知)．

66．下面分别给出了某城市在春季(9周)和秋季(10周)发生的案件数．

春季 秋季 51 42 57 53 43 37 45 49 46 40 35 30 44 33 50 41 39 36 38

试取0.03,用秩和检验法检验春季发生的案件数的均值是否较秋季的为多．

67．临界闪烁频率(cff)是人眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最高频率(以赫计)．超过cff的频率,即使光源实际是在闪烁的,而人看起来是连续的(不闪烁的)．一项研究旨在判定cff的均值是否与人眼的虹膜颜色有关,所得数据如下： 临界闪烁频率(cff)

虹膜颜色 棕色 26.8 26.3 27.9 24.8 23.7 25.7 25.0 24.5 绿色 26.4 29.1 24.2 28.0 26.9 蓝色 25.7 29.4 27.2 28.3 29.9 28.5 试在显著性水平0.05下,检验各种虹膜颜色相应的cff的均值有无显著的差异．设各个总体服从正态分布,且方差相等,样本之间相互．

68．下面列出了挪威人自1938~1947年间年人均脂肪消耗量,与患动脉粥样硬化症而死亡的死亡率之间相关的一组数据．

年份 脂肪消耗量x(kg/人年) 死亡率y(1/ (10人年)) 51938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 14.4 16.0 11.6 11.0 10.0 8.6 9.2 10.4 11.4 12.5 29.1 29.7 29.2 26.0 24.0 23.1 23.0 23.1 25.2 26.1 设对于给定的x,Y为正态变量,且方差与x无关． (1) 求回归直线方程yabx．

(2) 水平0.05下检验假设H0:b0,H1:b0．

（3）求y|x13．(4) 求x13处(x)置信水平为0.95的置信区间．(5) 求x13处Y的新观察值Y0的置信水平为0.95的预测区间．

69. 下面给出1924~1992年奥林匹克运动会女子100米仰泳的最佳成绩（以秒计）（其中1940年及1944年未举行奥运会）：

年份 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3

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《概率论与数理统计》（第四版）选做习题全解 年份 19 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 成绩 83.2 82.2 79.4 78.9 74.4 74.3 72.9 69.3

（1）画出散点图．

（2）求成绩关于年份的线性回归方程．

（3）检验回归效果是否显著（取0.05）．

70．设在时间区间(0,t]内来到某商店的顾客数N(t)是强度为的泊松过程．每个来到商店的顾客购买某些货物的概率是p,不买货物就离去的概率是1p,且各个顾客是否购买货物是相互的．令Y(t)为(0,t]内购买货物的顾客数．试证{Y(t),t0}是强度为p的泊松过程．

71．设随机过程

X(t)acos(Ωt),t,

其中a是常数,随机变量~U(0,2),随机变量具有概率密度f(x),设f(x)连续且为偶函数,与相互．试证X(t)是平稳过程,且其谱密度为SX()a2f()．

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