2020-2021学年北京市海淀区七年级(下)期中数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷

题号 得分 一 二

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列说法正确的是( )

三 四 总分 A. ±4是的立方根 C. √6是6的平方根

2. 下列实数是无理数的是( )

B. −𝑎没有算术平方根 D. 16的平方根是4

A. 0

3. 在解不等式

𝑥−12

B. 7 −

𝑥+38

22

C. √4 D. −3√−9 >1 中指出最先出现错误的一步是( )

A. 4(𝑥−1)−(𝑥+3)>8 C. 3𝑥>9

4. 下列说法中正确的是( )

B. 4𝑥−4−𝑥+3>8 D. 𝑥>3

A. “步行至十字路口，正好是红灯”是必然事件 B. 一组数据的波动越大，方差越小

C. 3⋅15期间，了解某种产品的质量问题，宜采用抽样调查数据 D. 1，1，6，3，5，4，5的中位数是3

5. 给出四个数0，−√2，2，−1，其中最小的数是( )

1

A. −1 B. −√2 C. 0

D. 2 1

𝑥=−1𝑥=1

6. 已知{，和{都是方程𝑦=𝑎𝑥+𝑏的解，则a和b的值分别是( )

𝑦=−1𝑦=3

A. 𝑎=2，𝑏=−1 C. 𝑎=2，𝑏=1

35

B. 𝑎=0，𝑏=−1 D. 𝑎=0，𝑏=1

2

7. 在−2，√4，3.14，0.151151115，73，−√8，3√−27，5，这8个数中，无理数共有

( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

8. 已知𝑥+2𝑦+3𝑧=54，3𝑥+𝑦+2𝑧=47，2𝑥+𝑦+𝑧=31，那么代数式𝑥+𝑦+𝑧

的值是( )

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A. 23 B. 24 C. 25 D. 26

9. 今年昭通市4月5日，这一天最低气温8℃，最高气温26℃，则昭通市这一天气温𝑡(℃)

的变化范围是( )

A. 𝑡>8 B. 𝑡≤26 C. 8<𝑡<26 D. 8≤𝑡≤26

10. 在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九(1)班学

生捐款情况如图，那么捐款金额的众数和中位数分别是( )

A. 15和13.5 B. 8元和6.5元 C. 15和8元 D. 8元和8元

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 11. 所有小于5的非负整数是______ ．

12. 如图，身高为𝑥 𝑐𝑚的1号同学与身高为𝑦 𝑐𝑚的2号同学站在

一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ______ 𝑦(用“>”或“<”填空)．

13. 某校七年级为调查该年级400名学生一分钟跳绳次数成绩，打算从中随机抽取50

人进行测试，则该问题中的样本容量为______．

14. 某个正数的两个平方根是2𝑎−1和𝑎−5，则实数a的值为______． 15. 不等式

3𝑥−15

−

𝑥−12

≥1的最小整数解是______．

16. 16、有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件

共需要315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需要285元， 那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需要 .

𝑥+6>2𝑥−3

3

17. 不等式组{2𝑥+2<𝑥−𝑎恰有两个整数解，则实数a的取值范围是______．

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18. √16的平方根是______；|√2−√3|=______．

三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）

19. 求下列方程中的x的值：

(1)(2𝑥−1)2−121=0 (2)2(𝑥+2)3+128=0

20. 化简

①√1.44−√1.21

②√8+√32−√2 (精确到0.01) ③√3+√27×√9(保留三位有效数字)

④(√2+√3)(√2−√3)

1

四、解答题（本大题共6小题，共34.0分）

21. 新冠肺炎，让我们认识到身体素质和免疫力的重要性．某校为了了解七年级学生的

体质健康情况，现随机抽取10名学生进行体质健康检测，并对成绩进行分析．《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～分为良好，

60～79分为及格，59分及以下为不及格.10名七年级学生体质健康检测成绩如下：

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成绩 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62 (1)根据上述数据，补充完成下列表格 整理数据：

等级 人数 优秀 2 良好 ______ 及格 5 不及格 0 (2)求出这10名学生体质健康检测成绩的平均数与中位数；

(3)该校七年级学生有400人，试估计七年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？

22. 已知方程组{

23. “低碳生活，绿色出行”，2020年1月，某公司向宁波市场新投放共享单车0

辆．

3月份新投放共享单车(1)若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，1000辆，请问该公司4月份在宁波市场新投放共享单车多少辆？

(2)考虑到自行车场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？

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3𝑥+5𝑦=𝑘+1⋯ ①

的解x，y满足𝑥+𝑦=2，求k的值．

2𝑥+3𝑦=𝑘⋯ ②

24. 为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种

运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同．

(1)求甲、乙两种运动鞋的进价(用列分式方程的方法解答)：

(2)该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的3，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元设甲种运动鞋的进货量为m双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w元，求w与m的函数关系式，并求总利润的最大值．

1

25. 小明到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作−1，小

+5，−3，+11，−8，+12，明从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：−6，−10．

(1)小明最后到达哪一层？

(2)该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.1度，请你算算，电梯需要耗电多少度？

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26. 某项工程若由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍；若由甲乙两人

合作，则需12天完成．

(1)甲乙两队单独完成各需多少天？

(2)若施工方案是甲先单独施工x天，剩下工程甲、乙合作完成，若甲队施工费用为每天1万元，乙队施工费用为每天2.5万元，求施工总费用𝑦(万元)与施工时间𝑥(天)的函数关系式；

(3)在(2)的方案下，若施工期定为15～18天内完成(含15和18天)，如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、4是的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意； B、当𝑎≤0时，−𝑎有算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、√6是6的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； D、16的平方根是±4，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C．

根据立方根、平方根、算术平方根的定答即可．

本题考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确它们各自的计算方法．

2.【答案】D

【解析】解：𝐴.0是整整数，属于有理数，故本选项不合题意； B.7是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

C.√4=2，是整整数，属于有理数，故本选项不合题意； D.−3√−9是无理数，故本选项符合题意． 故选：D．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：𝜋，2𝜋等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

22

3.【答案】B

【解析】4(𝑥−1)−(𝑥+3)>8去括号时，括号前面是负号去掉括号，括号里面各项都要变号，所以应为4𝑥−4−𝑥−3>8． 故选：B．

4.【答案】C

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【解析】解：A、“步行至十字路口，正好是红灯”是随机事件，此选项错误； B、一组数据的波动越大，方差越大，此选项错误；

C、3⋅15期间，了解某种产品的质量问题，宜采用抽样调查数据，此选项正确； D、1，1，6，3，5，4，5的中位数是4，此选项错误； 故选：C．

根据随机事件、方差、抽样调查和中位数的定义分别进行解答，就可得出答案． 此题考查了随机事件、方差、抽样调查和中位数，熟记它们的定义是本题的关键，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫不确定事件；考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，就应选择抽样调查．

5.【答案】B

【解析】解：四个数0，−√2，2，−1中，最小的数是−√2， 故选：B．

根据实数的大小比较法则得出即可．

本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

1

6.【答案】C

𝑥=−1𝑥=1−𝑎+𝑏=−1

【解析】解：把{和{代入方程得：{，

𝑦=−1𝑦=3𝑎+𝑏=3𝑎=2

解得：{，

𝑏=1故选：C．

把x与y的两对值代入方程得到方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． 此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

7.【答案】D

【解析】解：−2，√4=2，3.14，0.151151115，73，3√−27=−3，5是有理数， −√8是无理数， 故选：D．

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数

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35

2

为无理数．如𝜋，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如𝜋，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．

8.【答案】D

【解析】试题分析：组成方程组得出二元一次方程组，求出x、z的值，代入③求出y，即可得出答案．

∵𝑥+2𝑦+3𝑧=54，3𝑥+𝑦+2𝑧=47，2𝑥+𝑦+𝑧=31， 𝑥+2𝑦+3𝑧=54 ①∴{3𝑥+𝑦+2𝑧=47 ② 2𝑥+𝑦+𝑧=31 ③②−③得：𝑥+𝑧=16④， ②×2−①得：5𝑥+𝑧=40⑤， 𝑥+𝑧=16

由④⑤组成方程组{，

5𝑥+𝑧=40𝑥=4

解方程组得：{

𝑧=12

把𝑥=4，𝑧=12代入③得：8+𝑦+12=31， 解得：𝑦=10， 𝑥=4

解方程组的解是{𝑦=10

𝑧=12𝑥+𝑦+𝑧=26， 故选 D．

9.【答案】D

【解析】解：根据题意可得：8≤𝑡≤26， 故选：D．

根据题意列出不等式解答即可．

此题考查不等式问题，关键是根据这一天气温𝑡(℃)的变化范围列出不等式．

10.【答案】B

【解析】根据条形统计图得到捐8元的学生数最多，为15个，故捐款金额的众数为8元，

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将捐款数按照从小到大顺序排列得到3，3，3，3，3，3，3，3，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，其中最中间的两个数为5和8，平均数为6.5，即中位数为6.5． 故选：B．

11.【答案】4，3，2，1，0

【解析】解：如图所示，

由图可知，所有小于5的非负整数是：4，3，2，1，0． 故答案为：4，3，2，1，0．

在数轴上表示出表示5的点，根据数轴的特点即可得出结论．

本题考查的是有理数的大小比较，根据题意画出数轴，利用数轴的特点求解是解答此题的关键．

12.【答案】<

【解析】解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成𝑥<𝑦， 故答案为：<．

由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．

本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．

13.【答案】50

【解析】解：从中随机抽取50人进行测试，则该问题中的样本容量为，在这个问题中，样本容量是50， 故答案为：50．

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大

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小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

14.【答案】9

【解析】解：由题意可知：2𝑎−1+𝑎−5=0， 解得：𝑎=2， ∴2𝑎−1=3， 即这个正数是9． 故答案为9．

根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得出关于a的方程，解出即可．

本题主要考查了平方根的定义和性质，注意掌握一个正数的两个平方根互为相反数．

15.【答案】7

【解析】解：6𝑥−2−5𝑥+5≥10

𝑥≥7

∴不等式

3𝑥−15

−

𝑥−12

≥1的最小整数解是7，

故答案为：7．

先求出不等式的解集，即可得出答案．

本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．

16.【答案】150元

【解析】根据题意可设购买一件甲需要x元，一件乙需要y元，一件丙需要z元，可列方程组得：

通过观察，可以看出方程左边x，y，z的系数和都是4，所以将方程组的左右两边分别相加，可以得到4(𝑥+𝑦+𝑧)=600

所以𝑥+𝑦+𝑧=150。购甲、乙、丙三种商品各一件共需要150元。

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17.【答案】3≤𝑎<3

【解析】解：解不等式𝑥+6>2𝑥−3，得：𝑥<9， 解不等式

2𝑥+234

5

<𝑥−𝑎，得：𝑥>2+3𝑎，

∵不等式组恰有两个整数解， ∴这两个整数解为7、8， ∴6≤2+3𝑎<7， 解得：3≤𝑎<3， 故答案为：3≤𝑎<3．

分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数求解可得．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

4

5

4

5

18.【答案】±2；√3−√2

【解析】解：∵√16=4， ∴√16的平方根是：±2， |√2−√3|=√3−√2． 故答案为：±2，√3−√2．

首先化简二次根式，进而利用平方根的定义得出答案，再利用绝对值的性质求出答案． 此题主要考查了平方根以及绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键．

19.【答案】解：(1)∵(2𝑥−1)2=121，

∴2𝑥−1=±√121， ∴2𝑥−1=±11，

∴2𝑥−1=11或2𝑥−1=−11， ∴𝑥=6或𝑥=−5； (2)∵2(𝑥+2)3=−128， ∴(𝑥+2)3=−， ∴𝑥+2=√−， ∴𝑥+2=−4，

3

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∴𝑥=−6．

【解析】此题主要考查了平方根以及立方根的定义，正确把握相关定方程是解题关键．

(1)先求得2𝑥−1的值，然后再解关于x的方程即可；

(2)先求得(𝑥+2)3的值，然后，再依据立方根的性质得到关于x的方程，最后解方程即可．

20.【答案】解：①原式=1.2−1.1=0.1；

②原式=2√2+4√2−√2=5√2=7.07；

√

③原式=+9√3=

3328√33

≈16.2；

④原式=2−3=−1．

【解析】①原式利用算术平方根定义计算即可得到结果； ②原式各项化简后，合并即可得到结果； ③原式化简后，取其近似值即可得到结果； ④原式利用平方差公式计算即可得到结果．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21.【答案】3

【解析】解：(1)等级为良好的人数是：10−(2+5+0)=3． 填表如下：

等级 人数 故答案为：3；

(2)这10名学生体质健康检测成绩的平均数=

80+74+83+63+90+91+74+61+82+62

10

优秀 2 良好 3 及格 5 不及格 0 =76(分)；

将10个数据按从小到大的顺序排列为：61，62，63，74，74，80，82，83，90，91， 第5、6个数据分别是74，80，所以中位数是：(74+80)÷2=77(分)；

(3)400×10=80(人)．

答：估计七年级体质健康等级达到优秀的学生共有80人．

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2

(1)根据各组数据之和等于数据总数即可完成表格； (2)根据平均数和中位数的概念解答即可； (3)根据样本估计总体解答即可．

本题考查了中位数与平均数，掌握中位数与平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．

22.【答案】解：①−②得：𝑥+2𝑦=1，

𝑥+2𝑦=1∴{， 𝑥+𝑦=2𝑥=3

解得：{，

𝑦=−1

把𝑥=3，𝑦=−1代入②可得：𝑘=3．

【解析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．

由①−②可得𝑥+2𝑦=1，与𝑥+𝑦=2建立方程组，解出x、y的值，代入②可得k的值．

23.【答案】解：(1)设1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率为x，

依题意，得：0(1+𝑥)2=1000，

解得：𝑥1=0.25=25%，𝑥2=−2.25(不合题意，舍去)，

∴4月份在宁波市场新投放共享单车：1000×(1+25%)=1250(辆)． 答：该公司4月份在宁波市场新投放共享单车1250辆． (2)设购进A型车m辆，则购进B型车(100−𝑚)辆， 依题意，得：500𝑚+1000(100−𝑚)≤70000， 解得：𝑚≥60．

设车辆全部售完所获利润为w元，则𝑤=(700−500)𝑚+(1300−1000)(100−𝑚)=−100𝑚+30000， ∵−100<0，

∴𝑤随m的增大而减小，

∴当𝑚=60时，w取得最大值，最大值=−100×60+30000=24000． 答：为了使利润最大，该商城应购进60辆A型车、40辆B型车．

【解析】(1)设1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率为x，根据该公司1月份及3月份新投放共享单车数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得

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出月平均增长率，再利用4月份新投放共享单车数量=3月份新投放共享单车数量×(1+增长率)，即可求出该公司4月份在宁波市场新投放共享单车的数量； (2)设购进A型车m辆，则购进B型车(100−𝑚)辆，根据总价=单价×数量结合总价不超过70000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设车辆全部售完所获利润为w元，根据总利润=每辆车的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

24.【答案】解：(1)设甲种运动鞋的价格是每双x元，则乙种运动鞋每双价格是(𝑥−60)

元，

30000𝑥

=

21000𝑥−60

，

解得，𝑥=200，

经检验，𝑥=200是原分式方程的解， ∴𝑥−60=140，

答：甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双； (2)由题意可得，

𝑤=(350−200)𝑚+(300−140)×(200−𝑚)=−10𝑚+32000， ∵甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的3， ∴𝑚≥(200−𝑚)，

31

1

解得，𝑚≥50，

∴当𝑚=50时，w取得最大值，此时𝑤=31500，

答：w与m的函数关系式是𝑤=−10𝑚+32000，总利润的最大值是31500元．

【解析】(1)根据用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；

(2)根据题意，可以得到w与m的函数关系式，再根据甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的3，可以得到m的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得到w的最大值．

本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．

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1

25.【答案】解：(1)+5−3+11−8+12−6−10=1(楼)．

故小明最后到达1楼；

(2)(5+3+11+8+12+6+10)×3×0.1=16.5(度)． 故电梯需要耗电16.5度．

【解析】(1)根据题意列出算式，计算得到结果，即可作出判断； (2)根据题意列出算式，计算即可求出值．

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

26.【答案】解：(1)设乙单独完成需a天，则甲单独完成需1.5𝑎天，

根据题意列：𝑎+1.5𝑎=12， 解得，𝑎=20，

经检验：𝑎=20是所列方程根，且符合题意， 所以1.5𝑎=30，

答：甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；

(2)设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，列：30+30+20=1， 解得，𝑤=−5𝑥+12，

∴𝑦=𝑥+(1+2.5)(−𝑥+12)=−𝑥+42；

5

5

2

2

2

𝑥

𝑤

𝑤

1

1

1

(3)由题可得15≤𝑥−5𝑥+12≤18， 解得，5≤𝑥≤10， ∵−<0，

5

∴𝑦随x的增大而减小，

∴当𝑥=10时，𝑦最小=−5×10+42=38，

此时，甲先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为38万元．

【解析】(1)设乙单独完成需a天，则甲单独完成需1.5𝑎天，然后根据合作12天完成，利用甲、乙两队的工作效率之和列出方程求解即可；

(2)设甲乙合作完成余下部分所需时间为w天，根据两队的工作量之和等于总工作量“1”列出方程用x表示出w，再根据施工总费用等于两队的费用之和列式整理即可得解；

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2

2

2

(3)根据施工期列出不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出费用最少值即可．

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握工作量问题并找出等量关系和不等关系是解题的关键．

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