新高考数学高考数学压轴题 等差数列选择题专项训练分类精编含解析(1)

一、等差数列选择题

1．已知an为等差数列，Sn是其前n项和，且S100，下列式子正确的是（ ） A．a4a50 解析：B 【分析】

由S100可计算出a1a100，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得S10B．a5a60

C．a6a70

D．a8a90

10a1a100，a1a100， 2由等差数列的基本性质可得a5a6a1a100. 故选：B.

2．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an},则该数列共有（ ） A．132项 解析：D 【分析】

由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】

被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为an，则

B．133项

C．134项

D．135项

an815n115n7，令an15n72020，解得：n135所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】

2， 15关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.

3．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ） A．24 解析：A 【分析】 由题意可得d【详解】

B．23

C．17

D．16

a5a28204，再由a220可求出a1的值 5252解：根据题意，d故选：A.

a5a28204，则a1a2d20(4)24， 5252121110,nN*，则nN*时，使4．已知数列{an}满足a2,a5a1,且

anan1an225得不等式n100ana恒成立的实数a的最大值是（ ） A．19 解析：B 【分析】

由等差数列的性质可得数列而可得an【详解】

B．20

C．21

D．22

11

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得anann，进

1，再结合基本不等式即可得解. n211121*0,nN因为，所以， anan1an2an1anan21所以数列为等差数列，设其公差为d，

an111112,5， 由a2,a5a1可得a2a5a12511ad211所以，解得a1，

d114d51a1a1所以

111n1dn，所以an，

ana1n所以不等式n100ana即n又n100a对任意的nN*恒成立， n1001002n20，当且仅当n10时，等号成立， nn所以a20即实数a的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. S9（ ） 5．设等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S45a2，则a9A．9 B．5 C．1 D．

5 9解析：B 【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得a1d，即可求【详解】

S9. a9S4a1a2a3a45a2，即有a1a3a44a2，得a1d，

∴S99(a1a9)45d，a99d，且d0， 2S9

5. ∴a9

故选：B

Sn2na66．设等差数列an、bn的前n项和分别是Sn、Tn.若，则的值为

b3Tn3n7（ ） A．

5 11B．

38C．1 D．2

解析：C 【分析】

2令Sn2n，Tnn3n7，求出an，bn，进而求出a6，b3，则

a6可得． b3【详解】

2令Sn2n，Tnn3n7，

2可得当n2时，anSnSn12n2n122n1，

2bnTnTn1n3n7n13n423n2，

当n1，a1S12,b1T13710，符合an22n1，

bn23n2

故a622，b322， 故

a61. b3【点睛】

S1,n1由Sn求an时，an，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符

SS,n2n1n合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 7．在数列an中，a129，an1an3nNA．10

*，则a1a2a20（ ）

B．145

C．300 解析：C 【分析】

D．320

由等差数列的性质可得an3n32，结合分组求和法即可得解。 【详解】

*因为a129，an1an3nN，

所以数列an是以29为首项，公差为3的等差数列， 所以ana1n1d3n32，

所以当n10时，an0；当n11时，an0； 所以a1a2a20a1a2a10a11a12a20

a1a10aa292128101120101010300. 2222故选：C.

8．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A．

4 7B．

16 29C．

8 15D．

4 5解析：D 【分析】

设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果 【详解】

设该妇子织布每天增加d尺， 由题意知S20204解得d

4． 5

2019d232， 2故该女子织布每天增加故选：D

4尺． 59．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A．一丈七尺五寸 C．二丈一尺五寸 解析：D 【分析】

B．一丈八尺五寸 D．二丈二尺五寸

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an，Sn是其前n项和，已知条件为

S985.5，a1a4a731.5，由等差数列性质即得a5，a4，由此可解得d，再由等差

数列性质求得后5项和． 【详解】

由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an，Sn是其前n项和， 则S99a1a99a585.5（尺），所以a59.5（尺），由题知

2a1a4a73a431.5（尺），

所以a410.5（尺），所以公差da5a41， 则a8a9a10a11a125a105a55d22.5（尺）． 故选：D．

10．已知数列an的前n项和为Sn，a1数列1，n2且nN*，满足an2SnSn10，21的前n项和为Tn，则下列说法中错误的是（ ） Sn1 47 12B．

A．a2211 S6S4S8n1nTnTn1 nn1C．数列SnSn1Sn2的最大项为解析：D 【分析】

D．2Tn1a2SS0aSS当n2且nN时，由n可推导出数列为等差nn1nn1代入nSn*1数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由a2S2S1可判断A

Sn选项的正误；利用Sn的表达式可判断BC选项的正误；求出Tn，可判断D选项的正误. 【详解】

当n2且nN*时，由anSnSn1， 由an2SnSn10可得SnSn12SnSn10整理得

1120， Sn1Sn112（n2且nN）. SnSn1则1112n122nS22. 为以为首项，以为公差的等差数列，nS2nnSnA中，当n2时，a2S2S1B中，111，A选项正确； 4242111，B选项正确； 为等差数列，显然有SSS8Sn111， 2n2n12n2C中，记bnSnSn1Sn2bn1Sn1Sn2Sn3bn1bn111，

2n12n22n3111n60，故bn为递减数列， n22n2n32nn2n3bnmaxb1S1S2S3D中，

1117，C选项正确； 246121n22n2n，Tnnn1，Tn1n1n2. Sn2n1nn1nTnTn1nn1n1n2n1n1nn2nn1nn1n21n22n2n22n12Tn，D选项错误.

故选：D． 【点睛】

S1,n1关键点点睛：利用Sn与an的关系求通项，一般利用an来求解，在变形

SS,n2n1n过程中要注意a1是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用anSnSn1将递推关系转化为有关Sn的递推数列来求解. 11．已知数列an中，a1311*，且满足anan1nn2,nN，若对于任意222nN*，都有

A．2 解析：A 【分析】 将anan成立，则实数的最小值是（ ） nB．4

C．8

D．16

11n2an1n变形为2nan2n1an11，由等差数列的定义得出ann，从而得

222nn2nn2出，求出的最值，即可得出答案. n22nmax【详解】

因为n2时，an11an1n，所以2nan2n1an11，而21a13 22n2. nnn所以数列2an是首项为3公差为1的等差数列，故2ann2，从而an2又因为nann2n恒成立，即2n恒成立，所以nn22n. maxnn2n1n3由2n2n1n2nN*,n2得n2n n1n12n2n1所以nn222n222，所以2，即实数的最小值是2 max22故选：A

12．已知等差数列an满足a48，a6a711，则a2（ ） A．10 B．9

C．8

D．7

解析：A 【分析】

利用等差数列的性质结合已知解得d，进一步求得a2． 【详解】

在等差数列an中，设公差为d，由

a48a48aad1，a2a42d10. 6a71142da43d11故选：A

13．等差数列{aann},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若b2n，则S21n3n1T的值为（21A．

1315 B．

2335 C．

1117 D．

49 解析：C 【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】

S2121(a1a21)21(b1b21)a1T＝22＝a21＝a112111121bb＝111＝17.

121b113故选C

14．在等差数列{an}中，a3+a7＝4，则必有（ ） A．a5＝4

B．a6＝4

C．a5＝2

D．a6＝2

）

解析：C 【分析】

利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】

因为a3+a7＝2a5＝4，所以a5＝2. 故选：C15．题目文件丢失！

二、等差数列多选题

16．已知Sn是等差数列an(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）

A．数列an的公差d<0 C．S10>0 解析：AC 【分析】

由S5S6S4，可得a60,a50，且a6a50，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】

解：因为S5S6S4，所以a60,a50，且a6a50，

所以数列的公差d0，且数列an中Sn的最大项为S5，所以A正确，B错误， 所以S10B．数列an中Sn的最大项为S10 D．S11>0

11(a1a11)10(a1a10)11a60， 5(a5a6)0，S1122所以C正确，D错误， 故选：AC

17．(多选题)已知数列an中，前n项和为Sn，且Sn（ ） A．2 解析：BD 【分析】 利用递推关系可得【详解】 解：∵SnB．5

C．3

D．4

an2an，则n的值不可能为

an13an21，再利用数列的单调性即可得出答案． an1n1n2an， 3n2n1anan1， 33∴n2时，anSnSn1化为：

ann121， an1n1n1由于数列2单调递减， n12取得最大值2． n1可得：n2时，

an∴的最大值为3． an1故选：BD． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．记Sn为等差数列{an}前n项和，若3a85a15 且a10，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A．a2a490 C．公差d0 解析：AB 【分析】

根据已知条件求得a1,d的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{an}中3a85a15，即3a17d5a114d，

B．数列{Sn}中最大值的项是S25 D．数列

an也是等差数列

2a149d,a149d. 249d，a10，所以d0，所以C选项错误. 2对于A选项，a2a492a149d0，所以A选项正确. 对于C选项，a1对于B选项，ana1n1d4951dn1dnd，令an0得22n51510,n，由于n是正整数，所以n25，所以数列{Sn}中最大值的项是S25，22所以B选项正确.

对于D选项，由上述分析可知，1n25时，an0，当n26时，an0，且d0.所以数列

an的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误.

故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n项和的最值，可以令an0或an0来求解.

19．已知数列an：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，

记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．S6a8 C．a1a3a5解析：BCD 【分析】

根据题意写出a8，S6，S7，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误． 【详解】

对A，a821，S620，故A不正确； 对B，S7S61333，故B正确；

对C，由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，…，a2021a2022a2020，可得

B．S733

a2021a2022 D．a1a2a32222a2020a2020a2021

a1a3a5a2021a2022，故C正确；

2对D，该数列总有an2an1an，a1a2a1，则a2a2a3a1a2a3a2a1，

222a3a3a4a2a3a4a2a3，…，a2018a2018a2019a2017a2018a2019a2017a2018， 22a2019a2019a2020a2019a2018，a2020a2020a2021a2020a2019，

故a1a2a3a2020a2020a2021，故D正确． 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用an2an1an对所给式子进行变形.

20．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

22221,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{an}说法正确的是（ ） A．a1055

解析：AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A，a821，a9211334，a10213455，故A正确； 对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；

对于C，a2018a2022a2018a2021a2020a2018a2019a2020a20203a2020，故C正确； 对于D，a2022a2021a2020，a2021a2020a2019，a2020a2019a2018，

B．a2020是偶数

C．3a2020a2018a2022D．a1a2a3…a2020a2022

a3a2a1,a2a1，

各式相加得a2022a2021a2020a2a20212a2020a2019a2018a1， 所以a2022a2020a2019a2018a1a1，故D错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 21．已知数列0,2,0,2,0,2,A．an1(1) C．an2sin解析：AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】

对于选项A，an1(1)取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项B，an2cos对于选项C，an2sinnn，则前六项适合的通项公式为（ ）

B．an2cosn 2(n1) 2D．an1cos(n1)(n1)(n2)

n取前六项得：0,2,0,2,0,2，不满足条件； 2(n1)取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 2对于选项D，an1cos(n1)(n1)(n2)取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC

22．无穷等差数列an的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（ ） A．数列an单调递减 C．数列Sn单调递减 解析：ABD 【分析】

由an1and0可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得an1and0，所以数列an单调递减，A正确； 由数列an单调递减，可知数列an有最大值a1，故B正确；

由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列an先正后负，所以数列Sn先增再减，有最大值，C不正确，D正确. 故选：ABD.

B．数列an有最大值 D．数列Sn有最大值

23． an是等差数列，公差为d，前项和为Sn，若S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是（ ） A．d0 解析：ABD 【分析】

结合等差数列的性质、前n项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】

由S6S7，可得S7S6a70，故B正确； 由S5S6，可得S6S5a60， 由S7S8，可得S8S7a80，

所以a8a7a6，故等差数列an是递减数列，即d0，故A正确； 又S9S5a6a7a8a92a7a80，所以S9S5，故C不正确； 又因为等差数列an是单调递减数列，且a80，所以a90， 所以S17B．a70

C．S9S5

D．S170

17a1a17217a90，故D正确.

故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式anSnSn1n2，及

na1an，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑2推理能力，属于中档题. Sn24．等差数列an的首项a10，设其前n项和为Sn，且S6S11，则（ ） A．d0 或者S9 解析：BD 【分析】

由S6S11S11S60，即5a90，进而可得答案． 【详解】

解：S11S6a7a8a9a10a115a90， 因为a10

所以a90，d0，S8S9最大， 故选：BD． 【点睛】

B．d0

C．a80

D．Sn的最大值是S8本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 25．数列an满足an1an,a11，则下列说法正确的是（ ） 2an1B．数列A．数列1是等差数列 an12的前n项和Snn anC．数列an的通项公式为an2n1 解析：ABD 【分析】 首项根据an1D．数列an为递减数列

an1112，从而得到是以首项为1，公差为,a11得到

an1an2an1an2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A，因为an1所以

an，a11， 2an12a11111n2，即2 an1ananan1an1是以首项为1，公差为2的等差数列，故A正确. an所以对选项B，由A知：

1an12n12n1

数列1n12n1n的前项和Snn2，故B正确. 2an对选项C，因为

112n1，所以an，故C错误. an2n11，所以数列an为递减数列，故D正确. 2n1对选项D，因为an故选：ABD 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.