2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

考点14不等式选讲

（2020·全国高三其他（理））设函数f（x）＝|2x﹣1|+mx+2，m∈R．1．（1）若m＝1，解不等式f（x）＜6；（2）若f（x）有最小值，且关于x的方程f(x)x2x1有两个不等实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）(3,)；（2）2m

5

332【解析】（1）当m1时，f(x)2x1x2，当x当x

11

时，f(x)12xx26，得x3，综合得-3综上，不等式的解集为(3,)；31

（2）当x时，f(x)12xmx2(m2)x3，21

当x时，f(x)2x1mx2(m2)x1，21

(m2)x3,x2则f(x)，要使f(x)有最小值，(m2)x1,x12

则

m20

，解得2m2，m20

2

要使方程fxxx1有两个不等实数根，则yf(x)与g(x)x2x1有两交点，易知当x

115

时，f(x)有最小值m2，g(x)有最大值422作示意图如图所示：第 1／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

则1533m2，得m，综合得2m.42222．（2020·湖北蔡甸汉阳一中高三其他（理））已知函数fxx2x2.（1）求不等式fx3的解集；（2）若aR，且a0，证明：4a1【答案】（1）x|1x5；（2）见解析.【解析】（1）法一：1

14fx.ax2,x0

fxx2x23x2,0x1，x2,x1

作出fx的图象，如图所示：结合图象，函数fx在,1上单调递增，在1,上单调递减，第 2／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

又f13，f53，所以不等式fx3的解集是x|1x5.法二：fxx2x23，等价于：

x00x1x1

或或，x2x23x2x23x2x23

解得：1x0或0x1或1≤x≤5，所以不等式fx3的解集是x|1x5.（2）由（1）知函数fx的最大值是f11，所以fx≤1恒成立.因为4a1

1111

14a114a4a4，aaaa

1

时，等号成立.2当且仅当a所以4a1

1

14fx.a

（2020·南昌市八一中学高三三模（理））设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.3．（1）当a＝1，b＝1时，求不等式f（x）＜3的解集；（2）若f（x）的最小值为2，求41

的最小值.ab923；2【答案】（1）{x|＜x＜}（2）3

232【解析】（1）原不等式等价于|x﹣1|+|x+1|＜3，当x≥1时，可得x﹣1+x+1＜3，解得1≤x＜

当﹣1＜x＜1时，可得﹣x+1+x+1＜3，得2＜3成立；当x≤﹣1时，可得﹣x+1﹣x﹣1＜3，解得＜x≤﹣1.综上所述，原不等式的解集为{x|＜x＜}；（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|b+a|，当且仅当（x﹣a）（x+b）≤0时等号成立.∴f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|＝2.又∵ab＞0，∴|b+a|＝|a|+|b|＝2，3

23232第 3／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

∴4141141

ababab2ab

14ba14ba9552.2ab2ab2当且仅当4ba

时，等号成立，ab∴419的最小值为.ab2（2020·城关拉萨那曲第二高级中学高三月考（理））选修4-5：不等式选讲4．已知函数fxx2.（1）解不等式：fx1fx24；（2）已知a2,求证：xR,faxafx2恒成立.【答案】（1），（2）详见解析【解析】：（1）解：f(x1)f(x2)4，即x1x4，①当x0时，不等式为1xx4，即x

35

22



3

x0是不等式的解；23，2②当0x1时，不等式为1xx4，即14恒成立，0x1是不等式的解；③当x1时，不等式为x1x4，即x

1x

5

是不等式的解．23522

5，2综上所述，不等式的解集为，．（2）证明：a2，f(ax)af(x)ax2ax2

ax2ax2aax22aaxax22aax2a22，第 4／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

xR，f(ax)af(x)2恒成立．x2y2z2

5．（2020·江苏高三其他）设x，y，z均为正实数，且xyz1，求的最小值.1x1y1z【答案】【解析】14x2y2z22

1x1y1zxyz1x1y1z

因为xyz1，x2y2z2

即411x1y1zx2y2z21，1x1y1z4当xyz

1

时，等号成立，3x2y2z21

故的最小值为.41x1y1z6．（2020·四川德阳高三其他（理））已知函数fx（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足x22x1x26x9m0恒成立．21n时，求7a4b的最小值．3aba2b【答案】（1）m4；（2）【解析】（1）函数fx

9

．4x22x1x26x9m0恒成立，即x+1x3m0恒成立，设函数g(x)x+1x3，则mg(x)min，又x1x3(x1)(x3)4，即g(x)的最小值为4，所以m4；第 5／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

（2）由（1）知n4，正数a，b满足所以7a4b

21

4，3aba2b121

7a4b43aba2b

121

6a2ba2b43aba2b

12a2b23ab

543aba2b549

，449

．4当且仅当a2b3ab即b2a所以7a4b的最小值为3

时，等号成立，10（2020·河北长安石家庄一中高三月考（理））[选修4-5：不等式选讲]7．设函数f(x)|x1|.（1）求不等式f(x)5f(x3)的解集；（2）已知关于x的不等式2f(x)|xa|x4在[1,1]上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)x2x3(2)2a4

【解析】（1）不等式fx5fx3，即x1x25

等价于

x1,x2,1x2,

或或

x1x25,x1x25,x1x25,

解得2x3，所以原不等式的解集为x2x3；（2）当x1,1时，不等式2fxxax4，即xa2x，所以xa2x在1,1上有解即2a22x在1,1上有解，所以，2a4．8．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））已知x，y，z均为正实数，且111

1．x24y29z2第 6／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

证明：（1）111

1；2xy6yz3xz

（2）x24y29z29．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由基本不等式，可得111111112

，，，x24y2xy4y29z23yzx29z23xz所以2

111112

．222x4y9zxy3yz3xz

111111111时等号成立，即2，22x2y3zx4y9z2xy6yz3xz当且仅当又由111111

1．1，所以2xy6yz3xzx24y29z2111

1，（2）由题意知222x4y9z可得x4y9zx4y9z

2

2

2

222

1x

21112

4y29z22221119．x4y9z

当且仅当x2y3z时等号成立，所以x24y29z29．9．（2020·全国高三其他（理））已知变量x、y、a、b、c且满足xa0，yb，0c2．（1）解不等式xxxaybyab80；（2）若xac，ybc，试证明不等式2x3y2a3b10．【答案】（1）x0x2；（2）证明见解析.【解析】（1）所给变量x、y、a、b，且满足xa0，yb，故xaxa，ybyb，于是原不等式等价为x2xxaybyab80．整理为x22x80，即有

2x0x0

，则有，2

x2x804x2

第 7／8页

2021届高考理科数学复习《不等式选讲》题型汇总

于是不等式的解为0x2，解集为x0x2；（2）xac，ybc，根据已知条件有xac0，ybc0．即有0c2．又2x3y2a3b2xa3yb2xa3yb2xa3yb2c3c5c10，即2x3y2a3b10成立．10．（2020·广西七星桂林十八中高三月考（理））已知mn0，函数f(x)x（1）若m4，n1，求不等式f(x)6的解集；（2）求证：f(x)4xm.21.n(mn)∣x【答案】（1）x



1719 或x；（2）证明见解析.33

1

，3【解析】（1）依题意，f(x)x

则f(x)6x

111

6x6或x6，333解得x

1719或x，33



1719 或x.33

1

xm2n(mn)4，∣x故不等式f(x)6的解集为x

2（2）依题意，f(x)4xmx

因为x

1

xm2n(mn)x

11

xm2m2，n(mn)n(mn)4，m21mn(mn)2n(mn)，故n(mn)故m214m224，当且仅当m2，n2时等号成立.n(mn)m2第 8／8页