数列知识点总结及题型归纳

数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作 an。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41A．15 B．30 C．31 D．

2.{an}是首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670

3.等差数列an2n1,bn2n1，则an为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列”）

(三)、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列Aab 21111②：1，，，，…

2345说明：

①an表示数列，an表示数列中的第n项，an= fn表示数列的通项公式；

ab 即：2an1anan2 （2ananmanm） 2例：1．（06全国I）设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13

（ ）

A．120 B．105 (四)、等差数列的性质：

C．90 D．75

1,n2k1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (1)=(kZ)；

1,n2kn ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1

开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq； (五)、等差数列的前n和的求和公式：Sn2(SnAnBnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1dn22222(A,B为常数)an是等差数列 )

(n1)S（5）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an1

SS(n≥2)n1n递推公式：Sn(a1an)n(aman(m1))n 22二、等差数列

(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 例：1.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35

2.（2009湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项

1

anan1d(n2)或an1and(n1)

例：等差数列an2n1，anan1 (二)、等差数列的通项公式：ana1(n1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

5.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a11 6.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则

②中项法：

S9 S52an1anan2③通项公式法：

（nN)an是等差数列

7.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于( )

anknb(k,b为常数)an是等差数列

(A,B为常数)an是等差数列

④前n项和公式法：

A．23112B． C. D.

333SnAn2Bnsas312aa8.（2009陕西卷文）设等差数列n的前n项和为n,若6,则n

例：1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

23.已知一个数列{an}的前n项和sn2n4，则数列{an}为（ ）

Sn9．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝

n的前n项和，求Tn。

(六).对于一个等差数列：

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

24.已知一个数列{an}的前n项和sn2n，则数列{an}为（ ）

S奇an； S偶an1Sn（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②奇。

S偶n1（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd； ②

1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是25，则它的首项与公差分别是_______

2(七).对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。

3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9= 5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 6.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN） ①求数列an的通项公式；

2

7．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 (九).数列最值

（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

2（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；

S31S＝，则6＝ S63S12D．

可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出an中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定A．

113 B． C．

38101 9an0an0或。

an10an10(八)．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：

例：1．等差数列an中，a10，S9S12，则前 项的和最大。

2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知

an1and(常数）（nN）an是等差数列

2

a312，S120，S130 ①求出公差d的范围，

三、等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比．．．．．．数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：an1：anq(q0)

(一)、递推关系与通项公式

，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，

3．（02上海）设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（ ）

A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5

D.S6与

*

S7均为Sn的最大值

递推关系：an1anq通项公式：ana1qn1 推广：anamqnm1． 在等比数列an中,a14,q2，则an 2． 在等比数列an中,a712,q32,则a19_____.

3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝，，则公比q为（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比数列an中，a22，a554，则a8=

n4．已知数列an的通项

98n99（nN），则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。 （1）数列{an}从哪一项开始小于0？

（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．

5.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）

A 33 B 72 C 84 D 1

(二)、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：bac是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.23和23的等比中项为( )

2(n1)S1(十).利用an求通项．

SS(n2)n1n21.数列{an}的前n项和Snn1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出

数列{an}的通项公式吗？

2.设数列{an}的前n项和为Sn=2n，求数列{an}的通项公式；

2

(A)1 (B)1 (C)1 (D)2

2.（2009重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）

23.（2010安徽文）设数列{an}的前n项和Snn，则a8的值为（ ）

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D） 4、2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1数列{an}的通项公式．

1Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及3n27nn25nn23n C． A． B．443324(三)、等比数列的基本性质，

D．nn

21.（1）若mnpq，则amanapaq(其中m,n,p,qN)

3

（2）qnman2，ananmanm(nN) am78A. 2 B. 3 C. 3 D.3

2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（ ） A．83 B．108 C．75 D．63 3.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m (六)、等比数列的判定法 （1）定义法：

（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.

2例：1．在等比数列an中,a1和a10是方程2x5x10的两个根,则a4a7( )

2511 (C) (D) (A) (B)22222. 在等比数列an，已知a15，a9a10100，则a18= 3.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2 A．12 B．10 C．8 D．2+log35 4.（2009广东卷理）已知等比数列时，

an1q（常数）an为等比数列； an2（2）中项法：an1anan2(an0)an为等比数列；

log3a10（ ）

n（3）通项公式法：ankq(k,q为常数）an为等比数列； nan为等比数列。 （4）前n项和法：Snk(1q)（k,q为常数）{an}满足

an0,n1,2,，且

a5a2n522n(n3)，则当n1Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。

n例：1.已知数列{an}的通项为an2，则数列{an}为 （ ）

log2a1log2a3log2a2n1 （ ）

2A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

22A. n(2n1) B. (n1) C. n D. (n1)

(四)、等比数列的前n项和，

2.已知数列{an}满足an1anan22(an0)，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

n13.已知一个数列{an}的前n项和sn22，则数列{an}为（ ）

(q1)na1Sna1(1qn)a1anq1q1qA.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

(q1)

四、求数列通项公式方法

23n10(nN)，则f(n)等于（ ）

2n12n32n4B．(81) C．(81) D．(81)

7774710例：1.已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn 2．（2006年北京卷）设f(n)2222（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726， 求an；

2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6，求数列{an}的通项公式

3.已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1 （nN），求数列an的通项公式；

22nA．(81)

73．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

(五). 等比数列的前n项和的性质

若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.

2例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{

an}的前n 项和为

Sn，若

S6S3=3 ，则

S9S6 =

4

4. 已知数列{an1n}满足a12，且an152(an5n)（nN），求数列an的通项公式；

5.数列已知数列a1n满足a12,an4an11(n1).则数列an的通项公式=

（2）累加法

1、累加法 适用于：an1anf(n)

a2a1f(1)若aa2f(2)n1anf(n)(n2)，则

a3

an1anf(n)n 两边分别相加得 an1a1f(n)

k1例：1.已知数列{a1n}满足a12,an1an14n21，求数列{an}的通项公式。

2. 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

3. 已知数列{ann}满足an1an231，a13，求数列{an}的通项公式。

（3）累乘法

适用于： an1f(n)an

若an1af(n)，则a2af(1)，a3f(2)，，an1n1a2af(n) n两边分别相乘得，ann1aa1f(k)

1k1例：1. 已知数列{ann}满足an12(n1)5an，a13，求数列{an}的通项公式。

2.已知数列a2n满足a13，ann1n1an，求an。

3.已知a3n113，an13n2an (n1)，求an。

（4）待定系数法

适用于an1qanf(n)

例：1. 已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项

an_______________

3.已知数列a*n满足a11,an12an1(nN).求数列an的通项公式；

（5）递推公式中既有Sn

分析：把已知关系通过a1nS1,nS转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。nSn1,n21.（2005北京卷）数列{a1n}的前n项和为Sn，且a1=1，an13Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列a的首项a*n15,前n项和为Sn，且Sn1Snn5(nN)，证明数列

an1是等比数列．

5

(6)取倒数法。

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

Sn(a1)na1(q1)1an)n(nn2na12d Sna1(1qn) 公比含字母时一定要讨论1q(q1)

2．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.

例：1．求和S12x3x2nnxn1

2.求和：S1a23nna2a3an

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

1n(n1)1n1n1

1(2n1)(2n1)12(12n112n1) 1n(n2)12(1n1n2)1111n1)(n2)2[n(n1)(n1)(n2)] n( nn!(n1)!n!

n(n1)!1n!1(n1)!

数列an是等差数列，数列1a的前n项和

nan1例：1.数列{a1n}的前n项和为Sn，若ann(n1)，则S5等于（ ）

A．1 B．

516 C．6 D．130 2.已知数列{a1n}的通项公式为ann(n1)，求前n项的和；

4.已知数列{an1n}的通项公式为an＝2，设T1na111a3aaa，求Tn．24nan2 5．求11111,(nN*121231234123n)。

3.已知等差数列{an}满足a20, a6a810. (1)求数列{an}的通项公式及Sn

（2）求数列{an2n1}的前n项和

7.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn （1）求an及Sn （2）令b1na2bn}前n项和Tn

n1（nN），求数列{6