武汉理工大学 自动控制原理课设

目录

摘要 ...................................................................... 2 1 设计内容 ................................................................ 3 1.1 设计题目 ............................................................ 3 1.2 设计任务 ............................................................ 3 2 方案设计 ................................................................ 4 2.1 绘制根轨迹 .......................................................... 4 2.1.1 计算根轨迹的过程 ................................................ 4 2.1.2 用MATLAB绘制根轨迹 ............................................. 5 2.2 已知条件求取K的值 .................................................. 6 2.2.1已知-6为闭环系统的一个极点求K .................................. 6 2.2.2当主导极点阻尼比为0.7时求K ..................................... 7 2.3系统的误差系数和稳态误差分析 ........................................ 9 2.3.1 系统的误差系数分析 .............................................. 9 2.3.2 系统的稳态误差分析 ............................................. 10 2.4 用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线 ....................................... 11 2.5绘制BODE图和NYQUIST曲线，求取幅值裕度和相角裕度..................... 11 2.5.1 绘制Bode图 .................................................... 11 2.5.2绘制Nyquist曲线 ................................................ 12 2.5.3 求取幅值裕度和相角裕度 ......................................... 14 2.6 求取图二中系统的稳定性 ............................................. 14 2.6.1 求取非线性环节的描述函数 ....................................... 14 2.6.2 系统稳定性判断 ................................. 错误！未定义书签。 结束语 ................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ................................................. 错误！未定义书签。

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摘要

三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂的。在在工程上常采用闭环主导极点的概念对三阶系统进行近似分析，或直接用MATLAB软件进行高阶系统分析。在课程设计中，要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和系统响应曲线，用系统的闭环极点来估算三阶系统的动态性能，以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节判断其稳定性。

关键字：三阶系统 根轨迹 MATLAB

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三阶系统综合分析与设计

1 设计内容

1.1 设计题目

初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示：

R(s)-Ks(s2)(s5)C(s)R(s)-Me025KC(s)ss(s82))(s5)(s 图1 图2

1.2 设计任务

1试绘制随根轨迹

2当-6为闭环系统的一个极点时，K=?

3求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下K取这个值）

2r(t)1(t)3tt4分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为

单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差 5用Matlab绘制单位阶跃相应曲线

6绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度

7如在比较点与开环传递函数之间加1个死区非线性环节，如图2所示，其中e01,M2，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性 8认真撰写课程设计报告。

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2 方案设计

2.1 绘制根轨迹

某单位反馈系统结构图如图1所示：

R(s)-Ks(s2)(s5)C(s)

图1

2.1.1 计算根轨迹的过程

K由开环传递函数G(S)= 来计算根轨迹。

s(s2)(s5)根据绘制根轨迹的规则，可知该系统的根轨迹绘制步骤如下：

（1）根轨迹的起点、终点和根轨迹条数

根轨迹起于开环极点（包括无限极点），终于开环零点（包括无限零点）。根据系统开环传递函数可得开环极点分别为0、-2、-5，因为没有开环零点，所以开环零点为无限远,即有三条根轨迹分支, 且它们是连续的并且对称于实轴。

（2）实轴上的根轨迹

因为根轨迹在实轴上的分布，实轴上的某一区域，若是右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。则实轴上根轨迹为的[-∞,-5] 和 [-2, 0]。

（3）根轨迹的确定

本系统根轨迹的渐近线有三条，据其与实轴的夹角公式:

(2k1)a180,k0,1,2,nm

把n=3,m=0代入求得：

(2k1)(2k1)a18060,180,300(k0,1,2)nm3

渐近线与实轴的交点为：

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pzjjinminm0257303

（4）分离点的求解

分离点方程为：

1110dd2d5

解得：

d77d2（舍去）和6

（5）根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程式为

32 s7s10sk0

对上式应用劳斯判据有：

s 1 10

s2 7 K s1 （70-K）/7 0

3s K

令劳斯表中s行的首项为零，得K=70，根据s行的系数，得辅助方程7s+K=0，将k=70代入上式并令sj,解得交点坐标3.16rad/s。

2202.1.2 用MATLAB绘制根轨迹

取k=1，MATLAB程序为 num=[1 ]; den=[1 7 10 0]; rlocus(num,den); 得到根轨迹图：

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根据理论计算和MATLAB绘制的根轨迹示意图，可以知道理论计算和MATLAB绘制的根轨迹完全相同。

2.2 已知条件求取K的值

2.2.1已知-6为闭环系统的一个极点求K

方法一：计算法

因为-6为闭环系统的一个极点时，则s=-6符合闭环特征方程D（s）=s37s210sK=0，将s=-6代入此方程，求得K=24。

方法二：MATLAB制图法

当闭环极点为-6时，由MATLAB绘制的根轨迹可得在闭环极点为-6时其对应的K值为24.1，如图所示

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2.2.2当主导极点阻尼比为0.7时求K

方法一：计算法

32特征方程s7s10sK0主导极点阻尼比=0.7

n2开环传递函数近似为：G(s)2 2s2nsn所以主导极点可以记为

s1nn12j和

s2nn12j。

将s1代入特征方程中，得：

j(0.686n7n7.14n)(0.728n0.14n7nk)0 分别令实部和虚部为零得到两个方程：

32320.728n0.14n7nk0 0.686n7n7.14n0

3232解得n1.15 k7.13

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n8.7 k1000.5（舍）

所以取k7.13。

G(s)7.13s(s2)(s5)

所以，开环传递函数为

方法二：作图法

当主导极点阻尼比为0.7时，先做出0.5的等阻尼比线，使这条直线与负实轴方向的

1cos10.7夹角为cos=45.6’,此直线的斜率为k=-tan45.6’=-1.02,,在MATLAB中

画出此直线，并能找到与根轨迹的交点s1即是满足0.7的闭环主导极点之一。 编写的此程序为 k=-1.02; x=-20:5; y=k*x; plot(x,y); hold on num=[1 ]; den=[1 7 10 0]; rlocus(num,den); 得到的图形为

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由图中我们可以得出s1=-0.805+0.793j，由根轨迹的对称性，可求得另一个极点为

s2=-0.805-0.821j，由幅值条件可知，闭环极点s1对应的根轨迹的增益为：

K= |s1|| s1+2|| s1+5|=|-0.805+0.793j||1.195+0.793j||4.195 +0.793j|=7.13,经验证，s1和s2满足主导极点的条件，该系统可近似成一个由主导极点构成的二阶系统，其闭环传递函数为

S1S2n1.33 (s)22(SS1)(SS2)S1.59S1.33S2nSn22此时，对应的系统的开环增益为Kr= K/10=0.713。

2.3系统的误差系数和稳态误差分析

2.3.1 系统的误差系数分析

求取不同条件下的稳态误差 a)阶跃输入作用下的稳态误差

R当输入为R(s)时稳态误差为

sRRsess1limG(s)1Kpss0

b)斜坡输入作用下的稳态误差

R时稳态误差为 2s当输入为R(s) R2RRsess1limG(s)limsG(s)Kvss0s0

c)加速度输入作用下的稳态误差

R时稳态误差为 3s当输入为R(s)R3RRs ess1limG(S)lims2G(S)Kvss0s0 9

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根据2.1.2中求出的K值可以得出该系统的开环传递函数为：

G(s)7.13

s(s2)(s5)静态位置误差系数Kp=limG(s)→∞

s0静态速度误差系数Kv=limsG(s)=lims07.13=0.713

s0(s2)(s5)静态加速度误差系数Ka=

limsG(s)s02==lim7.13s=0

s0(s2)(s5)

2.3.2 系统的稳态误差分析

当输入信号为r(t)1(t)3tt2时，稳态误差的求法如下：

首先将输入信号r(t)分解为三个信号的叠加：r1(t)1(t, )r2(t)3t,r3(t)t2

r(t)r1(t)r2(t)r3(t)。输入信号R(t)的稳态误差就是信号r1(t)、r2(t)、r3(t)的稳态误差的加和。

输入信号为r1(t)1(t)时，稳态误差e(ss)10 1Kp

输入信号为r2(t)3t，时，稳态误差e(ss)30.14 Kv

2 Ka所以输入信号r(t)的稳态误差为e(ss)。

输入信号为r3(t)t2时，稳态误差e(ss)

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2.4 用Matlab绘制单位阶跃响应曲线

在MATLAB中输入如下命令： num=[7.13 ]; den=[1 7 10 7.13]; step(num,den)

得到系统的单位阶跃响应的图象，如下图所示：

由图中可以看到单位阶跃响应最终趋向于1，所以稳态误差为0，所以该系统是稳定的。

2.5 绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度

2.5.1绘制BODE图

MATLAB绘制BODE图编程如下： num=[7.13]; den=[1 7 10 0]; syms=tf(num,den); margin(num,den)

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绘制出的BODE图如图所示：

编程时用的margin函数可以求出幅值裕度和相角裕度以及绘制出BODE图，从图中可以看出：

幅值裕度h=19.8dB,穿越频率x=3.16rad/sec。 相角裕度r=63.8deg，截止频率c=0.67rad/sec。 从幅值裕度和相角裕度可以看出这是一个稳定的系统。

2.5.2绘制Nyquist曲线

手工绘制Nyquist时，按照以下几步完成： （1）列出实频和虚频特性的表达式

7.1349.917.13(102)j因为G(s)，G(j)，令实部222222s(s2)(s5)(10)49[(10)49]49.917.13(102)jP=，虚部Q=

(102)2492[(102)2492]

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wwtan1

225（2）当w=0时，P(0)=-0.50,Q(0), (0） 23（）（）当w时式，P（）=0，Q=0， 。

2 （3）与实轴的交点。令Q(w)=0, 103.16rad/s这时，P（w）=-0.1。

()角度为

tan1

MATLAB绘制Nyquist曲线编程如下： num=[7.13]; den=[1 7 10 0]; syms=tf(num,den); nyquist(syms)

绘制出的Nyquist曲线如图2-4所示：

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2.5.3 求取幅值裕度和相角裕度

分析相角裕度和幅值裕度： (1)求取相角裕度

A(c)7.13c(4c)(25c)c2221（c为截止频率）求得c=0.67rad/s

相角裕度18090arctan(2) 求取幅值裕度

arctanc5=63.85deg.

(x)90arctanx2arctanx5(2k1) k取0,1,2… （x为穿越频率）

求得x=3.16rad/s.幅值裕度：h-20log︱A(x)︱=19.83dB.

将相角裕度和幅值裕度与MATLAB中求取的的实际值相比，几乎没有误差。所以说，用MATLAB绘制的BODE图和求出的相角裕度和幅值裕度均正确，恰好与理论相符。

2.6 求取图二中系统的稳定性

2.6.1 求取非线性环节的描述函数

由下图可知非线性环节为有死区的继电特性，其描述函数的推导过程为： 首先从死区与滞环继电非线性环节分析 输出y(t)的数学表达式为

0,y(t)M,0,0t11t22t 14

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y M 2 21 0 mh h x 1 2 t 1 2 0 x 2 212t 图6死区滞环继电特性和正弦响应曲线

图6中，由于非线性特性导致y(t)产生不同线性变化的区间端点为

h1arcsin Amh2arcsin A由图6可见，y(t)为奇对称函数，而非奇函数，由式

B12 0y(t)sintdt，A122120y(t)costdt 2Mh(m1) A得到

A120y(t)costdtMcostdtB120y(t)sintdt221Msintdt2Mmh2h21()1() AA死区滞环继电特性的描述函数为

N(A)2Mmh2h22Mh1()1()j(m1),2AAAA15

Ah

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取m=1,得死区继电特性的描述函数为N(A)eB1A1j4M1(0)2 AAAA21为 22N(A)4MAe0A21将M=2代入上式得 22N(A)8Ae0当A时1 N(A)

当A近似为A时，1 N(A)所以描述函数的起点和终点都是，从负倒描述函数的表达式可以看出图形中只有部分，虚轴为零，即: 负倒描述函数的图形在实轴上。

负倒描述函数最大值的求取： 对11A求导得 ()(2A2e02) N(A)N(A)8(A2e02)31)0求得：A2e0 N(A)另(e0=1，A2e0=2 此时：1=。

4N(A)综上所述可以知道负倒描述函数的图形：当A从1，图形从实轴的到后又从4，然

4到。如图所示：

将负倒描述函数和奈式曲线绘制在同一图中得到

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负倒描述函数 Nyquist曲线

2.6.2 系统稳定性的判据

综上可得非线性环节系统的稳定性判据：若G曲线不包围1曲线，则非线性系统不稳定。 N(A)1曲线，根据非线性系统稳定判据，判断该非线性系统稳定。 N(A)1曲线，则非线性系统N(A)稳定；若G曲线包围图中G曲线不包围

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结束语

通过这次自动控制原理课程设计，我以学习和研究的心态去完成，平时上课时学的都是很浅显并且只停留在书本上的死知识但是经过这次课设之后，我将课堂上学到的知识运用到解决实际问题上，并且讨论了加入非线性环节之后系统的性能，深入的理解了课本上的知识，在探讨中逐找到解决的方法。

在这次设计中，我不仅学会了用理论来分析检验实践，学到了关于MATLAB方面的很多知识，MATLAB它有着强大的数据处理能力，处理速度快，精度高，它不仅可以用来绘制曲线，而且可以用来帮助解方程，以及做仿真处理，帮助验证理论分析的真确性。 这次课程设计是对平时学习的一个检验，也学会了用实践来验证理论，总的来说，通过这次课程设计我受益匪浅。

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参考文献

[1]胡寿松.《自动控制原理（第五版）》.科学出版社 [2]王万良.《自动控制原理》.高等教育出版社

[3]胡寿松.《自动控制原理习题解析（第五版）》.科学出版社

[4]薛定宇.《反馈控制系统设计与分析—MATLAB语言应用》.清华大学出版社 [5]张静.《MATLAB在控制系统中的应用》，电子工业出版社，2007

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