绝对值知识点

【预习引领】

两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方行驶10km,到达A、B两处． （1）它们的行驶路线相同吗 （2）它们行驶路程的远近相同吗 答:（1）不相同；(2)相同.

【要点梳理】

知识点一:绝对值的意义

1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a，读作：a的绝对值.

例1 利用数轴求下列各数的绝对值. （1）2，

1，3.5； 513（2）0；

（3）5，3.2，2. 答:(1)2=2;

11=; 3.5=3.5； 55(2) 0=0;

(3) 5=5; 3.2=; 211=2. 332.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

例2 直接写出下列各数的绝对值.

56，8，3.9，，10，0，

256，8，3.9，，10

2答: 6=6, 8=8, 3.9=,

55=;10=10; 0=0; 226=6, 8=8, 3.9=, 

55=;10=10; 0=0; 22小结：（1）对任一个有理数，绝对值只能为正数或0，不可能为负数，即a0. （2）两个互为相反数的绝对值 ，绝对值相等的两个数 . （3）绝对值为正数的有理数有 类，它们 ；绝对值为0的有理数是 .

答:(2)相等,相等或互为相反数.(3)两，正数与负数；0； 例3 判断下列说法哪些是正确的： （1）符号相反的数互为相反数；

（2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数； （3）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右； （4）不相等的两个数，其绝对值也不相等； （5）绝对值最小的有理数是0． 答案：（2）（5）

知识点二：绝对值的求法

a,a0a0,a0

a,a0例4 求下列各数的绝对值：

1136，，3，2． 225答案：6 例5 填空：

（1）绝对值小于4的正整数有 .

111331=6；；33；2=2; 222552（2）绝对值大于2而小于5的所有整数是 . （3）如果一个数的绝对值是13，那么这个数是 ． （4）若xx，则x为 数.

答案：（1）3，2，1；（2）±3，±4；（3）±13；（4）负数与0； 例6 计算下列各式： ⑴52

⑵0.7723 4答：（1）原式=5－2=3；（2）原式=÷23=； 4

☆例8 ⑴若ab0，则a ，

b .

⑵若x73y120， 则x ，y . 答案：（1）0，0；（2）7，4；

【课堂操练】

1.51. 51的绝对值是 ，0的绝对值是 ，绝对值为2的数是 . 212.1.5= ,10= ,

2，0，±2；

2= ,2.5= .

，10，2，－；

3.⑴一个数的绝对值和相反数都是它本身，这个数是 ； ⑵绝对值小于3.2的整数有 ； ⑶21的相反数是 ，绝对值是 ； 3⑷ 使x5成立的x的值是 .

3.（1）0；（2）3，2，1，0，－1，－2，－3；（3）

4.在数轴上到数3所表示的点距离为5的点所表示的数是 . 或－2；

5.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，则这两个数为 . 5．3与－3；

6.若m0，则mm= ； 若m0，则mm= ； 若m0，则mm= . 6．2m，0，0；

7. （2011北京市，1，4分）3的绝对值是( ) 4A．

4433 B． C． D． 3344

8．（2011浙江丽水，4，3分）有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A．＋2

B．－3

C．＋3

D．＋4

9.若

a1，则a（ ） aA．是正数或负数；B．是正数； C．是有理数； D．是正整数. 9．B

10.计算下列各题: ⑴216;

⑵20082008.

10．（1）原式=21+6=27；（2）原式=2008－2008=0； ☆11．若x73y120，求x、y的值.

11．由题意可知，x－7=0，3y－12=0，解得：x=7；y=4；

12.某摩托车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行比较，比标准直径长的毫米记作正数，比标准直径短的毫米记作负数，检查记录如下表：

1 + 2 － 3 + 4 0 5 － 6 － （1）找出哪个些零件的质量相对好一些，用绝对值的知识加以解释.

（2）若规定与标准直径相差不超过为合格品，则6件产品中有几件是不合格品

12．（1）第4个；绝对值越小，说明此配件与标准配件越接近；（2）第1个与第5个不

合格，所以共有2件是不合格的产品；

【课后盘点】

1. （2011浙江省舟山，1，3分）－6的绝对值是（ ） A. －6 C.1．B

2.一个有理数的相反数与自身的绝对值的 和 （ ） A．可能是负数； B．必是正数； C．必为非负数； D．必为0. 2．C

3．式子3等于 （ ） A．3 B．3 C.3 D．3 3．C

1 6D.－

1 .某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：米）1000，－1200，1100，－800，1400，则该运动员跑步的总路程为 （ ） A．1500米 B．5500米 C．4500米 D．3700米 4．B

5．绝对值等于本身的数是 （ ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 5．C

6．下列结论中，正确的是 （ ） A．a一定是正数 B．a和a一定不相等 C．a和a互为相反数 D．a和a一定相等 6．C

7．代数式x33的最小值是 （ ） A．0 B．2 D．5 7．C

8．下列结论中，正确的是 （ ） A．a0

B．若ab，则ab C. a0

D．若a、b互为相反数，则8．B

9.若aa，则a为 数； 若aa，则a为 数. 9．非负数；非正数；

10.当a4时，a4= . 10．4－a；

11. （2011湖南常德，1，3分）2______. 11．2

12.若x53，则x= ； 若m4，则m= ；

a1 b12．8或2；4或－4；

13．若a1，则a1= ，2a1= ； 若a1，则a1= ，a1= . 13．a－1，2a－1；1－a，a－1； 14.若a1b10，则ab= . 14．0； 15.计算： ⑴229 3⑵371 4815．（1）原式=223729=24；（2）原式=1=； 348516.已知x30，y4，求x3y. 16．x3y=30－3×4=18； 17.已知a2b3c40，

求a2b3c的值.

17．由题意可得，a=2，b=3，c=4，则a2b3c=2+2×3+3×4=20；

18.正式的足球比赛，对所用足球的质量有严格规定，下面是6个足球的检测结果.（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） －25，+10，－20，+30，+15，－40

请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识说明原因. 18．第二个。绝对值越小，说明此球与标准足球误差越小；

19．某一出租车一天下午以车站为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）按先后次序记录如下：+9，－3，+4，－8，+6，－3，－6，－4，+10.

将最后一名乘客送到目的地，出租车又回到车站，若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少

19．（9+3+4+8+6+3+6+4+10）×=；

【课外拓展】 1.计算：

111111324354 1． 原式

11 10911111111 233445910112=； 2105=

２.阅读下列材料，并解答所提出的问题.

我们知道，a的几何意义是指数轴上表示数a的点与原点的距离，那么ab的几何意义是什么呢我们不妨先考虑一下a、b取特殊值时的情况，比如考虑5(6)的几何意义，在数轴上分别标出－6和5的点A、B（如图）.因为A、B两点间的距离是11，而

5(6)11，因此不难看出5(6)就是在数轴上表示－6和5的两点间的距离.

⑴ab的几何意义是 . ⑵根据ab的几何意义知ab ba （填“＞”、“＜”或“＝”）

⑶说出x2的几何意义，并求当x22 时的x值.

⑷数轴上表示x和－2的A、B两点之间的距离是多少如果AB3，那么x为多少 ⑸猜想对于有理数x，x1x2能够取得的最小值是多少

2．答：（1）点a与点b之间的距离；（2）=；（3）表示点x与点2之间的距离，4或0；（4）x(2)，－5或1；（5）3；

（设计人：梅海燕） No．5

绝对值（二）

【目标导航】

1．借助数轴初步理解绝对值的概论，能求一个数的绝对值. 2.体会绝对值的意义和作用. 【预习引领】 1．比较大小： ； 0 ；

2 0； 3－3 2。 1．＜，＞，＜，＜；

2．某气象台发布的未来七天的天气预报中， 每天的最高气温和最低气温如下：

第一天： 0℃～8℃； 第二天： 1℃～7℃； 第三天： －1℃～6℃； 第四天： －2℃～5℃； 第五天： －4℃～3℃； 第六天： －3℃～4℃； 第七天： 2℃～9℃.

（1）这14个温度中最高的是 ， 最低的是 .

（2）你能将这14个温度按从低到高的顺序排列吗

2．（1）9℃，－4℃；（2）9℃＞8℃＞7℃＞6℃＞5℃＞4℃＞3℃＞2℃＞1℃＞0℃＞－1℃＞－2℃＞－3℃＞－4℃；

【要点梳理】

知识点：有理数大小比较的法则

(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 例1 比较下列各对数的大小： (1) －（－1）和－（+2）； (2)83 和 ； 2171； 3⑶ －（－）和 ⑷34和 10111483＞；（3）－（－）＜；（4）321711答案：（1）－（－1）＞－（+2）；（2）＜3 10小结：先判断是否是两个负数的比较，如果不是，直接应用法则（1）：如果是，先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再应用法则（2）：判断原来两个负数的大小. 针对性练习：

1.比较下列各对数的大小： （1）－ 和 －70 （2）3.2 和 －（+） （3）53 和  （4）4.7 和 4.79 7453＞；（4）4.7＞4.79； 741．答案：（1）－＞－70；（2）3.2 =－（+）；（3）例2 比较下列各数的大小，并把它们用“>”号排列起来.

15，－（－4）,4.5,3,0,－(+2)． 2答案：－（－4）＞0＞－(+2) ＞ 3＞4.5＞51； 2小结:多个有理数比较大小时,可结合数轴形象地表示数,直观地比较有理数的大小.

针对性练习：在数轴上表示出下列各数,并用“＜”把它们连接起来.

6,－,(4),2, 3

答案：6＜－＜2＜3＜(4)；

例3 胜达公司有五个制药厂，下表是这五个制药厂七月份的盈亏情况（其中盈利记作正，亏损记作负），公司决定给盈利最多的厂颁发流动红旗，请问红旗应颁发给哪个工厂（亏盈单位：万元）

工厂 一厂 二厂 三厂 四厂 五厂 亏盈

答案：二厂；

【课堂操练】

1.用“＜”、“＞”、“＝”号填空. （1）0.2  0 － － 111； （2） ；

755156 ；（4） ； 78731（5） 0； （6） －；

77（3）（7）21 ； （8） －； 331.（1）= （2）＞ （3）＜ （4）＞ （5）＜ （6）＞ （7）＞ （8）＜ 2. （2011 江苏连云港 9，3分）写出一个比－1小的数是_ ． ．．

2.－2（答案不唯一）

3.根据有理数a、b、c在数轴上对应的位置， 比较下列各对数的大小.

⑴a b ； ⑵a c； ⑶a b ； ⑷b c； ⑸b c； ⑹a c；

3.（1）＞（2）＞ （3）＞ （4）＜ （5）＞（6）＞ 4．已知x4，y5，且xy，则x= ，

y= .

或－4，－5；

5．比较下列每组数的大小： ⑴35与25； ⑵0.02与0.2；

⑶4与4 ； ⑷3与(3)；

⑸8与799 ； ⑹578与11． 5．（1）＞ （2）＜ （3）＞ （4）＜ （5）＜ （6）＞ 6．若a5，b1，且ab，求a、b值.

6．a=－5，b=1或－1；

【课后盘点】

1.如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法正确的是A．这个数必大于另一个数 B．这个数必小于另一个数

） （ C．这两个数的符号必相反 D．无法确定两个数的大小 1．D

2．在数轴上，下面说法中不正确的是 （ ） A．两个有理数，绝对值大的离原点远 B．两个有理数，大的在右面 C．两个负有理数，大的离原点近 D．两个负有理数，大的离原点远 2．D

3．下列说法正确的是 （ ） A．有最大的整数 B．有最小的负数 C．有最小的整数 D．有绝对值最小的数 3．D

4.下列说法不正确的有 （ ） ⑴绝对值等于他本身的数有两个：0和1 ⑵一个有理数的绝对值必为正数 ⑶任何有理数的绝对值不可能为负数 ⑷若m、n为有理数，且mn，则mn A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 4。A

5．5．2011遵义，1，3分）下列各数中，比－1小的数是

A．0 B.－2 C.12

6. （2011安徽，1，4分）－2，0，2，－3这四个数中最大的是（ ） A．2 B．0 C．－2 D．－2

7.已知有理数a、b满足条件a0，b0， ab，则下面关系正确的是 ）（

A．abab B．baab C．abba D．baba 7．B

8.有理数a、b在数轴上表示如图所示， 那么 （ ） b 0 a

A．ba B．ab C．ab D．ba 8．D

9.在数轴上，如果点A对应的有理数为4，点B对应的有理数为m，且A、B的距离为7，m4，那么m的值为 （ ）

A．+11 B．－3 C．3 D．－11 9．A

10.比较下列每组数的大小： ⑴(4)和4 ⑵－ 和 2.25

⑶(2.1)和(2.1)

10．（1）＞ （2）＜ （3）＜

11. 如果a0，b0，ab ，试比较a、 b、a、b的大小.

11．可利用特殊值法，如设a=1，b=－2，则－a=－1，－b=2，则b＞a＞a＞b

【课外拓展】 阅读：比较

910和. 1011解法一:利用两数差的正负来判断: 因为

10911090,所以. 11101101110解法二:利用通分化为同分母,看分子大小判断:

10100999109,,所以.

11110101101110109100109解法三：1,所以.

1110991110因为

1.从以上三种比较大小的方法中，选择其中一种比较答案：67和的大小. 786877494849，，又，所以 77568856565667＞。 78

2.将下列各数用“＜”号连接起来.

12147，，， 1113546答案：

1447126＞＞＞ 1346115

3．试比较下列四数的大小 答案：

1997971998，，，. 19981999991997199798＞＞＞ 1998199999绝对值的五种处理方式

绝对值定义 数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值．（又称绝对值的几何

意义） 绝对值性质

①绝对值法则：一个正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零；（又称绝对值的代数意义）

②若

aa，则a0；若

aa③非负性：a0．

，则a0；

1. 借助于其代数意义．即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用

绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例1 已知：|x-3|+x-3＝0，

求：(1)x+1的最大值；(2)7-x的最小值． 2. 借助于数轴

例2 已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，试化简：|b|-|a+b|+|c-a|+|b-c| 3. 零点分段讨论法． (所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内代数式等于零的字母所取

的值在数轴上所对应的点) 一般步骤：

（1）找零点，定范围；

（2）去绝对值（分类讨论的数学思想）

例3 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．

4. 借助于其几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉

绝对值的符号进行运算．

例4 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．

5. 其他方法：

例5 若a，b，c为整数，且｜a-b｜+｜c-a｜=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

19

99

计算中如何去掉绝对值

疑 点：计算中如何去掉绝对值

解析：绝对值是有理数章节的一个重要概念，它表示了数轴上的点到原点的距离，因此绝对值的结果一定是大于等于0的。在计算中，如何正确去掉绝对值呢分两种情况：

一、绝对值中不含字母(0的绝对值等于0) 1、当绝对值里的算式大于等于0时，直接去掉绝对符号即可;例如：去掉|25-4|的绝对值。 ∵25-4=21>0，∴|25-4|=25-4. 2、当绝对值里的算式小于0时，去掉绝对值后，绝对值里的算式变为它的相反数。例如：去掉|4-25|的绝对值. ∵4-25=-21<0，∴|4-25|=-(4-25)=-4+25

二、绝对值中含有字母(0的绝对值等于0) 1、绝对值中只含一个字母时，只需明确字母的正负符号。例如：(1)去掉|2a-5a|绝对值。 此绝对值中含有字母a，2a-5a=-3a，我们无法确定-3a的符号，因此在没有给出a的其他条件时不能去掉绝对值符号。如果明确a的范围就可以。 当a>0时，-3a<0，有|2a-5a|=-(2a-5a)=3a 当a<0时，-3a>0，有|2a-5a|=2a-5a=-3a 2、绝对值中含有两个或以上字母时，需明确字母的大小关系。例如：(1)去掉|m-n|绝对值，m，n均不为0。 此绝对值中含有字母m，n，如果题目中没有告知m，n 的大小关系，这个绝对值无法去掉。需要加上前提条件： 当m>n时，m-n>0，有|m-n|=m-n 当m

结 论：当绝对值符号里面是负数时，去掉绝对值符号后的结果是它的相反数;当绝对值符号里面是正数时，去掉绝对值符号后的结果是它本身;当绝对值符号里为0时，去掉绝对值符号后的结果为0.