专题七；最短路径一一费马点问题
【导例引入】
耳例：如團，拒形Ara中.AB=2yβ9 Bc=& P为矩形內一点，连接％ PB. PC、则
PA畑PC的最小值是（
D- 4≠
【方法指引】
费尔刃法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，也罡解析几何的发明者N—・≡5 点一一就定到三角形的三个顶点的距蔑之和最小的点〈如图；点的点F〉・费尔马偉论:
（1）对于一个各甬不超过120°的三角形，费勻点是对各边的张角都是120°的点， <2）对于有一个角超过120°的三角形，费勻点就足这个內鸽的顶点•
下面筒亘说明如何找点P使ΘJ∆ABC三个顶点的艇冉之和PA+豚PC悬小？这颈杲所i胃的 费尔T问题・
指引：如图2,把△佃绕/点逆时针旋转60°得到△护「，连接歹•则△/加为 等边三角形,Ap= PP, , P' C' =PC,所以丹+/+应=PP■ F班P，C .
点L可看成是独段M绕/点逆时什施转60°而得的定点，BCi为定长，所咲当易P）
F , Cf四点在同一直结上时，PA^PB^最小• 这时Z^=ISOQ -OPF =iεθ\"-03^=120\" , ∆APOΛA Pf C =IEoQ -AAP 孩 180°- 60° =120φ > /5^360° -Z^-厶怒360° -120\" -120° =120° 费2点的轨点：费巳点与3个顶点连成的线段是:勾通3点的最短路线，
【导例解析分折】将△陀绕点C逆时针旋转60° ,得到△陀，连接彤，屁,AC,则
1
的长即为所求•
庄旋传为性质可知△阮罡等丈三角形、：∙PC=PF∙ •:际EF, ：.PA\\PB\\PC=PA^FF\\EF.
••・当人Pf F, 0共线时，刊+砂ZT的誉最小•
AB 0
T四边形ABCD^^->> ：. ZABC=^・・・・询1厶0=荒=丁・
：.ZACB=30Q , AC=2AB=4∖^.
'.,ZSCF= 60o, .∙.Z用疋=90° ・.∙∕5=J (“)： + 6： =20.
故选：B.
【例题精讲】
类型一；与二角形有关的费巧点
例1.如團，在中，P为平面內一点、，连结必，PB, FC,分别以兀和祐为一边向右 作等丈三角形HFQf^ACD. 【探究】求证：Bf=PC' AO=PA
【应用】若Be=SAC=E Z⅛g=60>，WlI PA^PB^的最小值罡 _ (用②0表示)
【分析】【探究】生竽边三隹形的性话得出砂处AC=CD. FC=W ZPOif=A^CD=
60° ,得出Z◎二上竝力证明△/加M血 得^MD=PAi
【应用】连接由全等三角形的性原得出AACP^ZJX2!> AC=CD-O,求出NEQ=
ZZ^Zra120°、作 DFLBC于 F，则Z胞=90°，在 RtAQV7 中，由直角三
1 1 yβ 1
角形的性庚得出CF=2AC=⅝, DF=V3CF=Nb,求出BF=α+⅝,由勾股定理求出M= λIBFTTEF
=√α2 + αb + b∖ ,即可得出结论.
类型二：与四边形有关的费耳点 倂2
.已知正万形辺内一动点£到儿Bt C三点的距區之和的最小背为√7+.B,求此
正方形的边长•
【分析】:连按AC,发现点£到儿Bf。三点的距离之和就是到AABC三个庾点的距离之 和，i文实际帛脣尔
9问題的卞形，只帛背昌不同.
【专题过关】
1. 若点尸为∆ABC∙ff在平面上一点，且乙価=Zfi巧=ZC阶120° ,贝］点P叫做△谀的费 n点. （1） 〉
若P为説角△磁乖费巧点，且上屈C=60° , PA^3, PC=4
则円的值为 ______________
<2）如画3,在锐角3C的外则作等边△川,连结BB, •求证：BB,过△仮 的费 9点 P9 H BBf =PA*PB+PC・
囲8
2 （2019年武汉市）问题背景：如图1,将厶磁绕戸\"逆时针施转60°得到UE,
%与0C交于点円可扌住出结论：PZPC=PE.
问题解决：如團2,在厶妣也JtfV=6, ZA= 75° ,必=4√2•点。是Jj妬內一点， 则点0到5?三个顶点空距离相空最小值罡
•
D
≡1
3. 如图，四边形AEeD是正方形，AAK是等边三角形，N为对角线BD^含B点〉上任 意_帚
将Bjl绕点B逆时针旋转60。得到BIb连接EN, Ajb CMe ⑴求证：∆AHB^∆ENB;
⑵①当H点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处吋，AM十BH十CM的值最小，并说明理由5 ⑶当AH+3M+CM的最小值为屈1吋，求正方形的边长•
4•问顾探究：已知，如厨d ∕∖A∩R中，n⅛3∙将AAfIR纟农点'仃谀时针裙。得 ∆Az OBZ ,连接 BB，/ 可知 BB ' = ___________ ・
应用：妇匡②，已处边长为 M的\"朋内部一馬连接AP,并将AP顺时针旋转60° , 得到线段
AQ，连接DQ, BFS CT. «1〉根据题意，完成图形； （2）求证：ZABp=ZADQ5 <3）^PA-ΦE÷PC乩最小值・
5・如图（1） , P为∆ABC⅛在平面上一点，且ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,则点PIH做 △ABC笊费m点・
<1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P ___________（埴是或不是）该三角形的费日
<2）如果点k P为锐角ΔΛBC 费马点'且×ΛBC-60,.求证：ΔΛBP<^∆BCP;
（3）已知锐角ΔABC,分别以AB、AC为边向外作正MBC和王ΔACD, CC和BD相交于 P点,
如團（2）.
① 求ZCPD的,良数；
② 求证：P点为MRC的费2点・
A
图（2）
例丄.【採充】证明「・•以代和ACh-边向右作等边三角刑和亠偽
F^=PC, AC=CD, PC=M Zg=Z/仞=60° ・・'ZPCA=ZJd
f AC=CD
{\"CA = ZJWCD，
在亠防和△册中，I PC=CM > 【应用】［车榕RDi如两所示•
.∙.Δyd(7^∆PGy ・：・MU=FA、TAJi诬MJ6 AZJGP=Zw AC=Of=b.
:厶CF' 乙PCB=上gf' 乙FeB• ：•厶DQf'ZfCB=厶CB=W •
.∙. Z5c^= z∞⅛f+zra÷z.^=6oφ +eoφ =120。.
作 DF丄BC于冷 WJZOT=90r ・在RtA畅屮，VZΛ7^=180w -120° =60†，CD=
1 1 yf5 1
b, :. ACDF=. .∖CF=2∕iC=2b∙ IF=yβcF= 2 b, ! BF=3^h.
.∙.^^=∖BF\" + EF\"* =
兰B, P,勲J共纟知4 PA吩PC的值最小，
= yjcι\" + Clb + b* •
即刊卄浙代■的最小值为：Jeab 4,. 苗答案为：Jα'+αb + b[
/.MN=EE, AN=AE, ZNAE=ω0 ・ /.AAJE 为竽边三角形∙ /.AS=NE ・
† CU为海专中心,将AASE顺时针旋转60。OJΔAMN..连NE.∙ MB,过]!惟
HP丄93交EC的延长线于P点，妇图，
/.AE÷EE⅛C=MN-⅛E⅛C ■
⅛ AE-4IE⅛C ∣ξ最小值时，折线MNEC成为线段，则JICW\TAB=AM・ZBAM=60* Λ √.ΛAEM为等边三角形・
× S ΛZMBC=150Φ，则ZPBM^Oo •在 RtMC 中，设 Be=x； PH=^ PB=
X √3
所W(√2-∣≠)-=(2)→(2 x-⅛)2
所以x=2, .∙∙Q2,即正方形的边长为2.
【专题过关】
1. <1)利用相似二角用可求羽的值为2艮
<2)设隹。为锐吊AQ的隽2点，即厶PB∆BP>如图8,扌^CP绕点Glm寸针昭专60' ⅛J∆5z CE,连结殆 则△空7为止三角形.ΛZF, EC = 厶H7=120°，ZT^= 60o .
在同一亘纟Lt∙ Vz^I20° , Z(^=60°
80Φ ,即 P) Er E, 三点
， J.ΔBPC^ΛCP5 =180°、即 Bf Λ ,
E三点在同一直线上./. B, P, Et Bt四点在同一直纭上，即矽 ilΔΛ5C的费B 点P・
又 PBPC, B, G PA, ：. BB =EF +PBT&PA*盼FS
2. 仃〉证明：妇匡在拆丄就取◎加
Sh
(AB≈AD >
乙B =厶D》
在和△如中，IBG = PD，.∙.Δz45血A4Z^(QS) •
:.AG=Ap, ABAG=ADAP. ∖9ΛGAP= ZBAD=^ , /.∆,w 是尊边三角形・
.9.ZAGC=^ -∆APG. :. Z^∕Γ=60φ - AZ^CC=60φ . 连接EC,延长庞到F,使CF=PA,连接EF.
T将△個7绕点/1逆时针锯专60°徉到ZMi¾?; AzJS1C^δOe Λ Z陀二©0° •
9SAF=AC,
/.Λ>4CF是等辻三丙形・：.AF=FC=AC.
TZ刃£+厶防厶岀=180。、Z切∙Z>CF+Z4O5=180° ,厶CF=ZΛ%=6J° ,
ZAΞ>= AAQB： ：. ZLPAE= ∆ECF・
f AE^ECy
Z£4P = ZfCF 1
在ΔΛ¾和△妙中，I PA = CO ∙∙∙ΔΛ^Z∖ECF(9S) . S.PB=F^.
：.PA-Pe=PBy
以胎为边IE等边三角形△敝，以少为边作等边△舷・连拎A9,作DFL甌 交M的延 *线于F・
T△磁和△磁•是等边三甬形， ：.QE=C^= ME.
, ^G=Mι>. ：. A(W=/DMF・
OM = ME， 乙GMo=乙DME > 在△眈和△滋卩I MG = MD》
ΛΔι2W^Δ^ (5XS) ∙：・OG=DE. =NOgMJ=DEPEg Λ⅛D, Ef Of M四点共线时，测沁M9值最少・ ∙.,ZΛ⅛G=750 , Z她=60° , .β.zJ⅛f9=135φ ・
•••乙蒯=45。■ T胎=4√Σ. .••妇册=4・
i +4 =20• ：•NF=册WF=GW=Z・：.lW=^NfZ + DFZ =71°
：
.∙.如©久最小值为20,故答案为20.
3. (1)V∆AEE是等辺三甬形，
∙∙∙BA=BE, ZAEE=60° •
VZMEN=60° ,二 ZMBN-ZABN=ZAEE-ZABN,即ZBMA=ZNEE・
又∙∕ME=ΠB, .∙.∆AMF^∆EΠB (SAS)・
7
⑵①当M点落在BD的中点时，AM +C¥的值晨小. ②妇图，连接B∙
当JI点位于ED与CE的交点处B寸,
AM-BH+CM的値最小•
煙白如下：逹接 MN. ⅛(1)^Q, AAME∞ΔENE, 二 AM=EN ・
VZMEN=60°，MB=MB. .*.∆EKN是等边三角形. /.EM=MN ・
AAW+BM÷ CK=EN+MN+CM.
抿折'•两点之间线段晟短”,得EIrMN十CIl=MC最短
•••兰M点位于BJ与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.…∙∙∙11分 ⑶过E点作EF丄BS交CB的延长线于?,
.∙.ZEEK = 9OA -OoA =SoA .
设正方形的边长为I则BF=Tx, E?=2. 在 RtZXEFC 中，
VE?:+ FC2=ECS
X
小
(2) ( 2 χ + χ)：=(卩+ 1)-. I?得，X=求(舍去员值)•
•••正方形的边《为√7∙
4. 由旋转可得，03=0Bz =3. ZBOBZ =¾)° ；
Λ∆BOBz罡算膊育角三角矽∙∙.EB' =√32 + 32=SX/2.故答素如3#. 应用：(1)如图所示：・
(2)证明：TAABE 是等边三角形，.∙.Z3AD=6O° , AD=AB.
TAP 顺E寸针⅛S⅞60β ,得到线段 AQ, ΛZPA>60o , AQ=AP> /.ZBAD=ZPM /.ZDAQ=/BAP ・
ΛDAQ≈Z-BAP >
AQ≈AP >
在ADAQ和AEAP 中，
AD-AB > .∖∆DAQ,^ΔBAP (SAS)・
AZABF-ZADQi
<3)如图②，连接PQ，
β.,ZPACr60o , A&-AP, Λ∆APQ 是等边三用形・.IArQ・
由(2〉可得,∆DAQ^∆EAF・.∙∙EΓ0D・
当6 F, Q, D共线时'CF+PςScD〈最短〉，此时，FA秆E∙ΦC最短.
1
设 AE 与 CD交于点 U. TAU=AD=ZTS ZCAL^IZoA , Kt AACC 中，AC⅛C=√7^
/.0>√¾0=3.同理可得0D=3. .β.CD=6. /.PA÷PB∙ΦC 的最小值Z 6. 3. (1)如團1所示:
TAB=BG BM 足 AC 的中练.∙.MB 平分ZABC.
同理AN平分ZBAG PC平分ZBCA・
VAABC 为等边三角形…••厶BP=30∙, ZBAP=300 . .∖ZAPB=120β ・
同理 ZAPC=I2□∙ ZBPC=JL/O*. /.P 是 ΔABC 的费马点・ 故答棄为：是.
<2)∖βZPAB÷ZPBA=1800-ZAPB=60°, ZPBC+ZPBA=ZABC=600 ,・*.ZPAB=ZPBC.
β.β ZAPB=ZBPC=120β, .,.∆ABP<^∆BCP.
(3)如图2所示：
图】
① T∆ABE 与ΔACD 都为等边三角形，・：ZBAE=ZCAD=60∙, AE=AB, AC=AD. /.
ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即ZEAC=ZBAD・
AC = AD LEAC =乙BAD》
在 AACE 和ΔABD 中，
EA=AB >
.∙.∆ACE^∆ABD (SAS) ∙ .∖Z1=Z2. TZ>Z4, .∖ZCPD=Z6=Z5=60∙ J ② ∖βΔ∆DF<^>ΔCFP, .∖ΛF∙PF=DF∙CF ・ VZAFP=ZCFD, .-.ΔAFP^ΔCDF. /.ZAPF=ZACD=W ・
/. ZAPC=ZCPD÷ZAPF=12O∙・
二 ZBPC=I20° ・二 ZAPB=3600-ZBPC-ZAPC=I20010
∙'∙P 点为 AABC 的裁曰点.
・
