一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1.
将抛物线𝑦=(𝑥−1)2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是( )
A. (1,2)
2.
B. (2,1) C. (1,−1) D. (1,5)
两块等腰直角三角形纸片𝐴𝑂𝐵和𝐶𝑂𝐷按图1所示放置，直角顶点重合在点𝑂处，𝐴𝐵=25，𝐶𝐷=17.保持纸片𝐴𝑂𝐵不动，将纸片𝐶𝑂𝐷绕点𝑂逆时针旋转𝑎(0<𝛼<90°)，如图2所示．当𝐵𝐷与𝐶𝐷在同一直线上(如图3)时，𝑡𝑎𝑛𝛼的值等于( )
A. 25
3.
7
B. 25
8
C. 24
7
D. 25
17
已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1(𝑎≠0)图象的顶点在第一象限，且图象经过点(−1,0)，若𝑎+𝑏为整数，则𝑎𝑏的值为( )
A. −2
4.
B. 1
C. −4
3
D. −4
1
有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为2√3米，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( )
3
，60° A. √3
B. √3，30°
C. √3，60°
3
，30° D. √3
5. 下列说法中不一定正确的是( )
A. 所有的等腰直角三角形都相似 B. 所有等边三角形相似 C. 所有矩形相似
D. 直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似
6.
𝑃2(−3,𝑦2)是一次函数𝑦=2𝑥−𝑏的图象上的两个点，𝑦2的大小关系是( ) 已知𝑃1(−3,𝑦1)，则𝑦1、
A. 𝑦1<𝑦2
B. 𝑦1=𝑦2 C. 𝑦1>𝑦2 D. 不能确定
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 8.
已知2=3(𝑎≠0,𝑏≠0)，则𝑏=______．
𝑙1//𝑙2//𝑙3，直线𝑎、𝑏与𝑙1、𝑙2、𝑙3分别相交于点𝐴、𝐵、𝐶和如图，
点𝐷、𝐸、𝐹.若𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=5，𝐷𝐸=4，则𝐸𝐹的长为______．
𝑎𝑏𝑎
9. 设点𝑃是线段𝐴𝐵的黄金分割点(𝐴𝑃<𝐵𝑃)，𝐴𝐵=2厘米，那么线段𝐵𝑃的长是______ 厘米．
10. 直线𝑦=3𝑘𝑥+2(𝑘−1)与抛物线𝑦=𝑥2+2𝑘𝑥−2在−1≤𝑥≤3范围内有唯一公共点，则𝑘的取
值为______．
11. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=8，直线𝐷𝐸交直线𝐴𝐵于点𝐸，交直
𝐴𝐸=6且𝐴𝐸=2𝐸𝐵.则圆心在直线𝐵𝐶上，线𝐵𝐶于𝐹，且与直线𝐷𝐸、𝐴𝐵都相切的⊙𝑂的半径长为______ ．
3的斜坡向下滑行了100米，12. 某滑雪运动员沿着坡比为1：则运动员下降的垂直高度为______米． 13. 如图，小明同学在距离某建筑物6米的点𝐴处测得条幅两端𝐵点、𝐶点的仰
角分别为60°和30°，则条幅的高度𝐵𝐶为______米(结果可以保留根号)．
14. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=5，𝐴𝐶=6，∠𝐴=60°，则𝑆△𝐴𝐵𝐶= ______ ．
15. 如图，已知⊙𝑂中，弦𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑃，𝐴𝐵=5，𝐴𝑃=3，𝐷𝑃=2，则𝐶𝐷= ．
∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的中线，16. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷交𝐵𝐶于点𝐸.若𝐴𝐶=2，
𝐵𝐶=4，则𝐴𝐸的长为______．
17. 小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙
)，∠𝐴𝑂𝐵的度数是______．
18. 如图，直线𝑙1//𝑙2，则𝑆△𝐴𝐵𝐶______𝑆△𝐷𝐵𝐶.(填“>““=”或
“<”)
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 如图，垂直于水平面的5𝐺信号塔𝐴𝐵建在垂直于水平面的悬崖边𝐵点处(点𝐴、𝐵、𝐶在同一直线上
).某测量员从悬崖底𝐶点出发沿水平方向前行60米到𝐷点，再沿斜坡𝐷𝐸方向前行65米到𝐸点(点𝐴、𝐵、𝐶、𝐷、𝐸在同一平面内)，在点𝐸处测得5𝐺信号塔顶端𝐴的仰角为37°，悬崖𝐵𝐶的高为92米，斜坡𝐷𝐸的坡度𝑖=1：2.4． (1)求斜坡𝐷𝐸的高𝐸𝐻的长； (2)求信号塔𝐴𝐵的高度．
(参考数据：𝑠𝑖𝑛37°≈0.60，𝑐𝑜𝑠37°≈0.80，𝑡𝑎𝑛37°≈0.75.)
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）
20. 计算：𝑐𝑜𝑠60°−sin245°+4tan260°+𝑐𝑜𝑠30°−𝑠𝑖𝑛30°．
21. 如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶是⊙𝑂上一点，𝐴𝐷垂直于过点𝐶的切线，垂足为𝐷．
1
(1)求证：𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷；
(2)若𝐴𝐶=2√5，𝐶𝐷=2，求⊙𝑂的直径．
22. 已知抛物线𝑦=2𝑥2−𝑥+5． (𝑙)求该抛物线的顶点坐标；
(2)判断点𝑃(−2,5)是否落在图象上，请说明理由．
1
⏜上一动点，射线𝐴𝐶交射线𝑂𝐵于点𝐷，23. 已知：以𝑂为圆心的扇形𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵=90°，点𝐶为𝐴𝐵
过点𝐷作𝑂𝐷的垂线交射线𝑂𝐶于点𝐸，联结𝐴𝐸．
(1)如图，当四边形𝐴𝑂𝐷𝐸为矩形时，求∠𝐴𝐷𝑂的度数； (2)当扇形的半径长为5，且𝐴𝐶=6时，求线段𝐷𝐸的长；
(3)联结𝐵𝐶，试问：在点𝐶运动的过程中，∠𝐵𝐶𝐷的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
24. 如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4经过𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)两点，交𝑦轴于点𝐶．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接𝐵𝐶，求直线𝐵𝐶的解析式；
(3)请在抛物线的对称轴上找一点𝑃，使𝐴𝑃+𝑃𝐶的值最小，求点𝑃的坐标，并求出此时𝐴𝑃+𝑃𝐶的最
小值；
(4)点𝑀为𝑥轴上一动点，在抛物线上是否存在一点𝑁，使得以𝐴、𝐶、𝑀、𝑁四点为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点𝑁的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵被对角线𝐴𝐶平分，且𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷，我们称该四边形为“可
分四边形”，∠𝐷𝐴𝐵称为“可分角”．
(1)如图2，若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为“可分四边形”，∠𝐷𝐴𝐵为“可分角”，且∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐵，则
∠𝐷𝐴𝐵=______°.
(2)如图3，∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，且∠𝐵𝐶𝐷=150°，求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为
“可分四边形”；
(3)现有四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为“可分四边形”，∠𝐷𝐴𝐵为“可分角”，𝐵𝐶=2，∠𝐷=90°，且𝐴𝐶=4，求𝐴𝐷
的长？
参及解析
1.答案：𝐶
解析：解：抛物线𝑦=(𝑥−1)2+2的顶点坐标为(1,2)， ∵向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,−1)． 故选：𝐶．
先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2.答案：𝐶
解析：解：如图2中，延长𝐵𝐷交𝑂𝐴于𝐺，交𝐴𝐶于𝐸．
∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐷𝑂𝐵， 在△𝐴𝑂𝐶和△𝐵𝑂𝐷中， 𝑂𝐴=𝑂𝐵
{∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐷， 𝑂𝐶=𝑂𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷，∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐷𝐵𝑂， ∵∠𝐷𝐵𝑂+∠𝑂𝐺𝐵=90°， ∵∠𝑂𝐺𝐵=∠𝐴𝐺𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝑂+∠𝐴𝐺𝐸=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐺=90°， ∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶， 如图3中，设𝐴𝐶=𝑥，
∵𝐵𝐷、𝐶𝐷在同一直线上，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形， ∴𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2， ∴𝑥2+(𝑥+17)2=252，
解得𝑥=7，
∴𝐵𝐶=√𝐴𝐵2−𝐴𝐶2=24，
∵∠𝑂𝐷𝐶=∠𝛼+∠𝐷𝐵𝑂=45°，∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐷𝐵𝑂=45°， ∴∠𝛼=∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝑡𝑎𝑛𝛼=tan∠𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶=24． 故选：𝐶．
如图2中，延长𝐵𝐷交𝑂𝐴于𝐺，交𝐴𝐶于𝐸，只要证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷即可解决问题．如图3中，设𝐴𝐶=𝑥，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理求出𝑥，再根据三角函数的定义即可解决问题．
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
𝐴𝐶
7
3.答案：𝐷
解析：解：依题意知𝑎<0，−2𝑎>0，𝑎−𝑏+1=0， 故𝑏>0，且𝑏=𝑎+1，𝑎+𝑏=𝑎+(𝑎+1)=2𝑎+1， 于是−1<𝑎<0，
∴−1<2𝑎+1<1
又𝑎+𝑏为整数， ∴2𝑎+1=0，
故𝑎=−2，𝑏=2，𝑎𝑏=−4， 故选：𝐷．
首先根据题意确定𝑎、𝑏的符号，然后进一步确定𝑎的取值范围，根据𝑎+𝑏为整数确定𝑎、𝑏的值，从而确定答案．
𝑏的符号，本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定𝑎−𝑏+1的值和𝑎、难度中等．
1
1
1
𝑏
4.答案：𝐶
解析：
本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸点，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹点，根据直角三角形的性质求出𝐴𝐸的长，便可求出拦水坝斜坡的坡度和坡角．
解：过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐷于𝐸点，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝐴𝐷于𝐹点，
已知𝐴𝐷=10𝑚，𝐵𝐶=6𝑚，
∴𝐴𝐸=𝐷𝐹=2𝑚
又∵𝐵𝐸=2√3， tan∠𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐸=√3， ∴∠𝐵𝐴𝐸=60°． 故选C．
𝐵𝐸
5.答案：𝐶
解析：解：𝐴、所有的等腰直角三角形都相似，一定正确，不符合题意； B、所有等边三角形相似，正确，不符合题意； C、所有矩形不一定相似，错误，符合题意；
D、直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似，正确，不符合题意． 故选C．
根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边的比相等的多边形相似，难度不大．
6.答案：𝐵
解析：解：∵𝑃1(−3,𝑦1)，𝑃2(−3,𝑦2)是一次函数𝑦=2𝑥−𝑏的图象上的两个点， ∴𝑦1=−6−𝑏，𝑦2=−6−𝑏， ∵−6−𝑏=−6−𝑏， ∴𝑦1=𝑦2． 故选：𝐵．
把这两个点分别代入函数解析式即可求得相应的𝑦值，然后比较大小即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时把点𝑃1、𝑃2的坐标代入，分别求得𝑦值，然后比较其大小．当然了，利用了一次函数图象的增减性解题．
7.答案：3 2
解析：解：∵2=3(𝑎≠0,𝑏≠0)， ∴
𝑎
𝑎𝑏
=． 𝑏3
2
2
故答案为3． 交换内项即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．
8.答案：6
解析：解：∵𝑙1//𝑙2//𝑙3， ∴
𝐴𝐵𝐴𝐶
=
𝐷𝐸
，即5=𝐷𝐹， 𝐷𝐹
24
∴𝐷𝐹=10，
∴𝐸𝐹=𝐷𝐹−𝐷𝐸=10−4=6． 故答案为6．
根据平行线分线段成比例定理得到𝐴𝐶=𝐷𝐹，则可求出𝐷𝐹的长，然后计算𝐷𝐹−𝐷𝐸即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
𝐴𝐵
𝐷𝐸
9.答案：(√5−1)
解析：解：∵点𝑃是线段𝐴𝐵的黄金分割点，𝐴𝑃<𝐵𝑃， ∴𝐵𝑃=
√5−1𝐴𝐵2
=(√5−1)厘米．
故答案为：(√5−1)． 根据黄金比是√
5−12
进行计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值(√)叫做黄金比．
2
5−110.答案：1<𝑘≤5或𝑘=0
𝑦=3𝑘𝑥+2(𝑘−1)
解析：解：联立{．
𝑦=𝑥2+2𝑘𝑥−2得：3𝑘𝑥+2(𝑘−1)=𝑥2+2𝑘𝑥−2， 即，𝑥2=𝑘𝑥+2𝑘，
𝑦=𝑥2
可以看成是{联立而成的两个函数，
𝑦=𝑘𝑥+𝑘
9
∵𝑦=𝑘𝑥+2=𝑘(𝑥+2)，
∴当𝑥+2=0时，此函数必过定点(−2,0)，
即过(−2,0)，(−1,1)的直线𝑙1与过(−2,0)，(3,9)的直线𝑙2间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，
将(−1,1)代入𝑦=𝑘𝑥+2𝑘得1=−𝑘+2𝑘， 解得，𝑘=1，
将(3,9)代入𝑦=𝑘𝑥+2𝑘得，9=3𝑘+2𝑘， 解得，𝑘=5，
当𝑘=1时，直线直线与抛物线在−1≤𝑥≤3内有两个交点， ∴𝑘≠1，
∴1<𝑘≤5，当𝑘=0时，直线为𝑦=−2，抛物线为𝑦=𝑥2−2，此时，在−1≤𝑥≤3范围内有唯一公共点，故答案为：1<𝑘≤5或𝑘=0．
𝑦=3𝑘𝑥+2(𝑘−1)𝑦=𝑥22
联立方程组{得到𝑥=𝑘𝑥+2𝑘，看成是{联立而成的两个函数，画出
𝑦=𝑘𝑥+2𝑘𝑦=𝑥2+2𝑘𝑥−2函数图象，运用数形结合法求解即可．
主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生的综合压轴题的水平．
9
99
11.答案：2或6
解析：解：∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
3
∴△𝐸𝐵𝐹∽△𝐸𝐴𝐷， ∴
𝐸𝐹10
==
6
3𝐵𝐹8
，
∴𝐸𝐹=5，𝐵𝐹=4，
如图1，若⊙𝑂1与直线𝐷𝐸、𝐴𝐵都相切，且圆心𝑂1在𝐴𝐵的左侧，过点𝑂1作𝑂1𝐺1⊥𝐷𝐹于𝐺1， 则可设𝑂1𝐺1=𝑂1𝐵=𝑟1， ∵𝑆△𝐸𝑂1𝐹+𝑆△𝐸𝐵𝑂1=𝑆△𝐸𝐵𝐹， ∴2𝑟1×5+2𝑟1×3=2×3×4， 解得：𝑟1=2，
若⊙𝑂2与直线𝐷𝐸、𝐴𝐵都相切，且圆心𝑂2在𝐴𝐵的右侧，过点𝑂2作𝑂2𝐺2⊥𝐷𝐹于𝐺2， 则可设𝑂2𝐺2=𝑂2𝐵=𝑟2，
∵𝑆△𝐹𝑂2𝐷=2𝐹𝑂2×𝐷𝐶=2𝐷𝐹×𝑂2𝐺2， ∴×(4+𝑟2)×(6+3)=×(10+5)×𝑟2，
2
2
1
1
1
1
3
1
1
1
解得：𝑟2=6，
即满足条件的圆的半径为2或6； 故答案为：2或6．
𝐴𝐵都相切，分两种情况讨论：若⊙𝑂1与直线𝐷𝐸、且圆心𝑂1在𝐴𝐵的左侧，过点𝑂1作𝑂1𝐺1⊥𝐷𝐹于𝐺1，若⊙𝑂2与直线𝐷𝐸、𝐴𝐵都相切，且圆心𝑂2在𝐴𝐵的右侧，过点𝑂2作𝑂2𝐺2⊥𝐷𝐹于𝐺2，求出即可． 此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
3
3
12.答案：10√10 解析：解：设运动员下降的垂直高度为𝑥米， ∵斜坡的坡比为1：3， ∴他水平前进了3𝑥米，
由勾股定理可得：𝑥2+(3𝑥)2=1002， ∵𝑥>0， ∴𝑥=10√10，
即运动员下降的垂直高度10√10米，
故答案为：10√10．
根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度𝑙的比是解题的关键．
13.答案：4√3
解析：解：在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，
∵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐶=60°−30°=30°， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐶⋅𝑐𝑜𝑠30°， ∴𝐴𝐶=
𝐴𝐷𝑐𝑜𝑠30∘
=
6√32
=4√3．
∵∠𝐵𝐴𝐶=30°，∠𝐴𝐶𝐷=60°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=30°， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶=4√3．
答：条幅的高度𝐵𝐶为4√3米． 故答案为4√3．
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，利用三角函数关系求出𝐴𝐶，再根据已知得出∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=30°，从而求出𝐵𝐶的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，利用已知角度，发现隐含条件，这是本部分重点题型．
√3
14.答案：152
解析：解：作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷． ∵在直角△𝐴𝐵𝐷中，𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝐵𝐷𝐴𝐵
，
√3
2
∴𝐵𝐷=𝐴𝐵⋅𝑠𝑖𝑛𝐴=5×𝑠𝑖𝑛60°=5×则𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅𝐵𝐷=×6×
22故答案是：
15√3
． 21
1
5√32
=
5√32
，
=
15√3
． 2
作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷，在直角△𝐴𝐵𝐷中，利用三角函数即可求得𝐵𝐷的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了三角函数，正确作出辅助线，求得高线𝐵𝐷的长是关键．
15.答案：3
10
解析：试题分析：利用“角角相等”证得△𝐴𝐵𝑃∽△𝐶𝐷𝑃；然后根据相似三角形的对应边成比例列出比例式𝐷𝐶=𝐷𝑃；最后将已知线段的长度代入该比例式即可求得线段𝐶𝐷的长度．
𝐴𝐵
𝐴𝑃
∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷(同弧所对的圆周角相等)，∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐶𝑃𝐷(对顶角相等)， ∴△𝐴𝐵𝑃∽△𝐷𝐶𝑃， ∴
𝐴𝐵𝐷𝐶
=
𝐴𝑃𝐷𝑃
，
又𝐴𝐵=5，𝐴𝑃=3，𝐷𝑃=2， ∴
5𝐷𝐶
=， 2
10
3
解得𝐷𝐶=
，即𝐶𝐷=3
10
103
．
故答案是：3．
16.答案：√5
解析：解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷为𝐴𝐵边上的中线， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐵， ∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵+∠𝐶𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵， ∴tan∠𝐶𝐴𝐸=𝑡𝑎𝑛𝐵， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴
𝐶𝐸2𝐶𝐸
𝐴𝐶
=4，
2
∴𝐶𝐸=1，
∴𝐴𝐸=√𝐴𝐶2+𝐶𝐸2=√22+12=√5， 故答案为：√5．
根据直角三角形的性质得到𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐷，根据等腰三角形的性质得到∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐵，根据余角的性质得到∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
17.答案：45°
解析：解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠， ∠𝐴𝑂𝐵=22.5°×2=45°； 故答案为45°；
根据折叠的轴对称性，180°的角对折3次，求出每次的角度即可；
本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．
18.答案：=
解析：解：∵直线𝑙1//𝑙2， ∴直线𝑙1、𝑙2之间的距离是相等的， ∴△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的高相等， ∴△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶的面积相等， 故答案为：=．
根据平行线间的距离处处相等，得到△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶的𝐵𝐶边上的高相等，所以△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶的面积相等．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，掌握夹在平行线间的距离处处相等是解题的关键．
19.答案：解：(1)过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝐴𝐶于点𝑀，
∵斜坡𝐷𝐸的坡度(或坡比)𝑖=1：2.4，𝐷𝐸=65米，𝐶𝐷=60米， ∴设𝐸𝐻=𝑥，则𝐷𝐻=2.4𝑥． 在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐻中，
∵𝐸𝐻2+𝐷𝐻2=𝐷𝐸2，即𝑥2+(2.4𝑥)2=652， 解得，𝑥=25(米)(负值舍去)， ∴𝐸𝐻=25米；
答：斜坡𝐷𝐸的高𝐸𝐻的长为25米； (2)∵𝐷𝐻=2.4𝑥=60(米)，
∴𝐶𝐻=𝐷𝐻+𝐷𝐶=60+60=120(米)． ∵𝐸𝑀⊥𝐴𝐶，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，𝐸𝐻⊥𝐶𝐷， ∴四边形𝐸𝐻𝐶𝑀是矩形，
∴𝐸𝑀=𝐶𝐻=120米，𝐶𝑀=𝐸𝐻=25米． 在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝑀中， ∵∠𝐴𝐸𝑀=37°，
∴𝐴𝑀=𝐸𝑀⋅𝑡𝑎𝑛37°≈120×0.75=90(米)， ∴𝐴𝐶=𝐴𝑀+𝐶𝑀=90+25=115(米)． ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶−𝐵𝐶=115−92=23(米)． 答：信号塔𝐴𝐵的高度为23米．
(1)过点𝐸作𝐸𝑀⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝑀，2.4可设𝐸𝐻=𝑥，解析：根据斜坡𝐷𝐸的坡度(或坡比)𝑖=1：则𝐷𝐻=2.4𝑥，利用勾股定理求出𝑥的值，进而可得出𝐸𝐻；
(2)结合(1)得𝐷𝐻的长，故可得出𝐶𝐻的长．由矩形的判定定理得出四边形𝐸𝐻𝐶𝑀是矩形，故可得出𝐸𝑀=𝐻𝐶，𝐶𝑀=𝐸𝐻，再由锐角三角函数的定义求出𝐴𝑀的长，进而可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11√22√3220.答案：解：原式=1 −()+×(3)+−√22422
=2−2+4×3+=4+=+
413
√32
111
1√3
−22
−2
1
√3
． 2
解析：直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
21.答案：(1)证明：如图，连接𝑂𝐶，
∵𝐷𝐶切⊙𝑂于𝐶， ∴𝑂𝐶⊥𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝑂𝐶𝐹=90°， ∴𝐴𝐷//𝑂𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，
∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐴𝐶，即𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷． (2)解：连接𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵是直径，
∴∠𝐴𝐶𝐵=90°=∠𝐴𝐷𝐶， ∵∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵， ∴𝐴𝐵=
𝐴𝐶
𝐴𝐷𝐴𝐶
，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，𝐴𝐶=2√5，𝐶𝐷=2， ∴𝐴𝐷=4， ∴
2√5𝐴𝐵
=25，
√4∴𝐴𝐵=5．
解析：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，属于中档题，作出相应辅助线是解题的关键．
(1)连接𝑂𝐶，根据切线的性质判断出𝐴𝐷//𝑂𝐶，得到∠𝐷𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，再根据𝑂𝐴=𝑂𝐶得到∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴，可得𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷；
(2)连接𝐵𝐶，得到△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，根据相似三角形的性质即可求出𝐴𝐵的长．
22.答案：解：(1)∵抛物线𝑦=2𝑥2−𝑥+5=2(𝑥−1)2+2，
∴该抛物线的顶点坐标是(1,2)； (2)点𝑃(−2,5)不落在图象上， 理由：当𝑥=−2时，
𝑦=2×(−2)2−(−2)+5=9， ∴点𝑃(−2,5)不落在图象上．
解析：(1)将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；
(2)先判断点𝑃是否落在图象上，然后将𝑥=−2代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题． 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
1
9
119
23.答案：解：(1)如图1中，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐴𝐷=𝐸𝐶，𝐴𝐶=𝐶𝐷，𝑂𝐶=𝐶𝐸，∠𝐴𝑂𝐷=90° ∴𝐴𝐶=𝑂𝐶=𝑂𝐴， ∴△𝐴𝑂𝐶是等边三角形， ∴∠𝑂𝐴𝐷=60°，
∴∠𝐴𝐷𝑂=90°−∠𝑂𝐴𝐷=30°． (2)如图2中，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻．
∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐻⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐻=𝐻𝐶=3，
∵∠𝑂𝐴𝐻=∠𝑂𝐴𝐷，∠𝐴𝐻𝑂=∠𝐴𝑂𝐷， ∴△𝐴𝑂𝐻∽△𝐴𝐷𝑂， ∴𝐴𝐷=𝐴𝑂， ∴𝐴𝐷=5， ∴𝐴𝐷=
253
5
3
𝑂𝐴
𝐴𝐻
，
∴𝐶𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐶=3， ∵𝐷𝐸⊥𝑂𝐷， ∴∠𝐸𝐷𝑂=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐸𝐷𝑂=180°， ∴𝐷𝐸//𝑂𝐴， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐶，
𝐷𝐸5
73
7
𝐷𝐸𝐶𝐷
∴
=6，
35
∴𝐷𝐸=18．
(3)如图3中，结论：∠𝐵𝐶𝐷的值是确定的．∠𝐵𝐶𝐷=45°． 理由：连接𝐴𝐵、𝐵𝐶．
∵∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶，
又∵∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝑂𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐵𝑂𝐶+2∠𝐴𝑂𝐶=2(∠𝐵𝐶𝑂+∠𝐴𝑂𝐶)=2×90°=45°． 解析：
本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题
(1)利用矩形的性质，只要证明△𝑂𝐴𝐶是等边三角形，即可解决问题． (2)如图2中，作𝑂𝐻⊥𝐴𝐷于𝐻.由△𝐴𝑂𝐻∽△𝐴𝐷𝑂，推出𝐴𝐷=𝐴𝐶=，由𝐷𝐸//𝑂𝐴，可得=，求出𝐷𝐸即可． 3𝑂𝐴𝐴𝐶
(3)如图3中，结论：∠𝐵𝐶𝐷的值是确定的．∠𝐵𝐶𝐷=45°.连接𝐴𝐵、𝐵𝐶，由∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶，又∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝑂𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐴𝑂𝐶，即可推出∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐵𝑂𝐶+2∠𝐴𝑂𝐶=2(∠𝐵𝐶𝑂+∠𝐴𝑂𝐶)=
12
1
1
1
1
1
7
𝐷𝐸
𝐶𝐷
0𝐴
𝐴𝐻
1
1
1
1
1
1
，推出𝐴𝐷=5，可得𝐴𝐷=𝐴0
53253
𝐶𝐷=𝐴𝐷−，
×90°=45°．
24.答案：解：(1)把𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4，得到{𝑎−𝑏+4=0
𝑎=−1解得{，
𝑏=3∴𝑦=−𝑥2+3𝑥+4．
(2)设𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， ∵𝐵(4,0)，𝐶(0,4)， ∴{∴{
𝑏=4
，
4𝑘+𝑏=0𝑘=−1
，
𝑏=4
，
16𝑎+4𝑏+4=0
∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+4． (3)如图1中，
由题意𝐴，𝐵关于抛物线的对称轴直线𝑥=2对称，
连接𝐵𝐶交直线𝑥=2于点𝑃，连接𝑃𝐴，此时𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，最小值为线段𝐵𝐶的长=√42+42=4√2， 此时𝑃(2,2).
35
3
3
(4)如图2中，存在．
观察图象可知，满足条件的点𝑁的纵坐标为4或−4，
对于抛物线𝑦=−𝑥2+3𝑥+4，当𝑦=4时，𝑥2−3𝑥=0，解得𝑥=0或3， ∴𝑁1(3,4)．
当𝑦=−4时，𝑥2−3𝑥−8=0，解得𝑥=∴𝑁2(
3+√412
3±√41
， 2
,−4)，𝑁3(
3−√412
,−4)，
3+√412
综上所述，满足条件的点𝑁的坐标为(3,4)或(解析：(1)利用待定系数法解决问题即可．
,−4)或(
3−√412
,−4)．
(2)设𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏把𝐵，𝐶两点坐标代入，转化为方程组解决．
(3)可以连接𝐵𝐶交直线𝑥=2于点𝑃，连接𝑃𝐴，此时𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，最小值为线段𝐵𝐶的长． (4)观察图象可知，满足条件的点𝑁的纵坐标为4或−4，把问题转化为解方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．
3
25.答案：120
解析：(1)解：如图所示： ∵𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵，
∴∠1=∠2， ∵𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷， ∴𝐴𝐷：𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐴𝐵， ∴△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐷=∠4， ∵∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐶𝐵=∠3+∠4=2∠1， ∵∠1+∠𝐷+∠4=180°， ∴∠1+2∠1=180°， 解得：∠1=60°， ∴∠𝐷𝐴𝐵=120°； 故答案为：120；
(2)证明：∵∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵=30°，
∴∠𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=180°−30°=150°， ∵∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐵=150°， ∴∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐵， ∴△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵． ∴𝐴𝐷：𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐴𝐵， ∴𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷，
∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为“可分四边形”；
(3)解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为“可分四边形”，∠𝐷𝐴𝐵为“可分角”， ∴𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵， ∴𝐴𝐷：𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐴𝐵， ∴△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√42+22=2√5， ∴𝐴𝐷=
𝐴𝐶2𝐴𝐵
=242√=58√5． 5
(1)由已知条件可证得△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，得出𝐷=∠4，再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠𝐷𝐴𝐵的度数；
(2)由已知得出∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵=30°，由三角形内角和定理得出∠𝐷+∠𝐴𝐶𝐷=150°，由∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐵=150°，得出∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，证明△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵.得出对应边成比例，得出𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷，即可得出结论；
(3)由已知得出𝐴𝐶2=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐵，证出△𝐴𝐷𝐶∽△𝐴𝐶𝐵，得出∠𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=90°，由勾股定理求出𝐴𝐵，即可得出𝐴𝐷的长．
此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键，
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