沪科版初二上册 第13章 三角形中的边角关系、命
题与证明培优培训
1．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．2021·庆阳已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0
4．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|2a－3b＋5|＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为________．
5．已知等腰三角形的周长是14 cm，底边长与腰长的比为3∶2，求各边的长．
6．有人说：“假如△ABC的三边a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意那个说法吗？请给出你的理由．
7．用长度相等的100根火柴棒摆成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棒的根数．
8．如图13－1－4所示，D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD，E为BD上任意一点，连接CE.
图13－1－4 (1)用不等号填空：
AB＋AC________DB＋DC， DB＋DC________EB＋EC；
(2)如图13－1－5所示，M，N是△ABC内任意两点，试探究AB＋AC与BM＋MN＋NC的大小关系，并写出探究过程．
图13－1－5
9．现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是( )
A．3 B．4或5 C．6或7 D．8
10．2021·宿迁校级期末如图13－1－9，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，P为△ABC内的一点，且∠PBC＝∠PCA，∠BPC＝110°，则∠A的大小为( )
图13－1－9
A．40° B．50° C．60° D11．在△ABC中，∠A－∠B＝10°，∠B＝1
．70°
2∠A，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
12．设三角形三个内角的度数分别为x°，y°，z°，假如其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，那么我们称数对(y，z)(y≤z)是x的和谐数对，当x＝150时，对应的和谐数对有一个，它为(10，20)；当x＝66时，对应的和谐数对有两个，它们为(33，81)，(38，76)．当对应的和谐数对(y，z)有三个时，请写出现在x的取值范畴：________．
13．教材练习第3题变式题如图13－1－10所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝85°，AD⊥BC，垂足为D，求∠CAD的度数．
图13－1－10 14．在△ABC中，
(1)已知∠A＝2∠C，∠B－∠C＝60°，求∠B和∠C的度数；
(2)已知∠A＝11
3∠B＝5∠C，求△ABC各个内角的度数．
15．一个零件的形状如图13－1－11所示，按规定∠A应等于90°，∠ABC，∠ADC应分别等于30°和20°，李师傅量得∠DCB＝142°，就确信那个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
图13－1－11
16．下列说法错误的是( )
A．三角形的三条中线都能平分三角形的面积 B．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 C．三角形的三条高交于一点
D．三角形的中线、角平分线、高差不多上线段
17．如图13－1－24，△ABC的两条中线AD，BE交于点F，连接CF.若△ABC的面积为24，则△ABF的面积为( )
图13－1－24
A．10 B．8 C．6 D．4
18．如图13－1－25，△ABC中，∠ABC是直角，△ABC的角平分线BD也是斜边AC上的高，则∠C＝________°.
图13－1－25
19．教材习题13.1第4题变式题在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，求△ABC各边的长．
20．教材习题13.1第6题变式题如图13－1－26，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，∠B＝65°，∠C＝50°，DE是△ABD的高．求∠ADE的度数．
图13－1－26
21．如图13－1－27，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O. (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； (2)若∠ABC＋∠ACB＝116°，则∠BOC＝________°； (3)若∠A＝76°，则∠BOC＝________°； (4)若∠BOC＝120°，则∠A＝________°； (5)你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？ 图13－1－27
22．如图13－1－28，网格中每个小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出三边的中线，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发觉了什么有味的结论？
图13－1－28
23．假如两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，那么称这两个命题互为逆否命题．写出下面两个命题的逆否命题，并判定逆每个否命题的真假．
(1)能被6整除的整数，一定能被2整除； (2)若x＝y，则x2＝y2
24．已知：如图13－2－4所示，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2. 求证：BE∥CF.
现有下列步骤：①∵∠2＝∠1；②∴∠ABC＝∠BCD＝90°；③∴BE∥CF；④∵AB⊥BC，DC⊥BC；⑤∴∠EBC＝∠FCB.
图13－2－4
那么正确的证明顺序是( )
A．①②③④⑤ B．③④⑤②① C．④②①⑤③ D．⑤②③①④ .已知：如图13－2－5，∠1和∠2互为补角，∠A＝∠D. 图13－2－5 求证：AB∥CD.
证明：∵∠1与∠CGD是对顶角， ∴∠1＝∠CGD.(________________) 又∵∠1与∠2互为补角，(已知) ∴∠CGD＋∠2＝180°，
∴AE∥FD，(__________________________) ∴∠A＝∠BFD.(______________________) ∵∠A＝∠D，(已知)
∴∠BFD＝∠D，(____________)
∴AB∥CD.(__________________________)
25．如图13－2－6，现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造命题．
(1)你能构造出哪几个命题(写成“若⊗⊗，则⊗”的形式)? (2)你构造的命题是真命题依旧假命题？请加以证明． 图13－2－6
26．2021·和县期末如图13－2－14，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝28°，则∠CFE的度数为( )
A．62° B．68° C．78° D．90° 图13－2－14
27．2021·涡阳六中期中如图13－2－15，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC＝________°.
图13－2－15
28．一副三角尺叠在一起如图13－2－16所示方式放置，最小锐角的顶点D恰好在等腰直角三角尺的斜边AB上，BC与DE交于点M.假如∠ADF＝100°，那么∠BMD等于________°.
图13－2－16
29．如图13－2－17，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.
图13－2－17
30．如图13－2－18，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝55°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数．
图13－2－18
31．如图13－2－19①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. (1)推测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)假如∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 图13－2－19
32．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线，若F是AE
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上一点，且FG⊥BC，垂足为G.求证：∠EFG＝2(∠C－2∠B)．
33．2021·郴州小明把一副含45°，30°角的三角尺如图13－2－25摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )
图13－2－25
A．180° B．210° C．360° D．270°
34．如图13－2－26所示，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
图13－2－26
35．如图13－2－27，在五角星ABCDE中，试说明：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
图13－2－27
36．如图13－2－28，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝________°.
图13－2－2
