中考复习——二次函数

课程标题 二次函数

学习过程 ※ 学习探究

一、二次函数的概念

1、定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

2、注意点：

（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，

而b、c为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数yax是最简单的二次函数。

（3）二次函数yaxbxc(a,b,c是常数，a0)自变量的取值为全体实数

（ax2bxc为整式）

3、三种函数解析式：

（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0），

222b4acb2b， 对称轴：直线x= 顶点坐标：(  ) 2a4a2a（2）顶点式：yaxhk（a≠0），

2 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h,k ）

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）, 对称轴:直线x=

x1x2 2 (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标). 二、二次函数的图象

1、二次函数 yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.

222222注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数yaxbxc的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

2 明德致远 止于至善

4、图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋k， y=a(x－h)2，y=a(x－h)2＋k的图象．

(1)将y=ax2的图象向上(k＞0）或向下(k< 0）平移|k|个单位，即可得到y=ax2＋k的图象．其顶点是（0,k），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同． (2)将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到 y=a(x－h)2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2

相同．

(3) 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2三、二次函数的性质 函数解析式 y=a(x-h)2+k

开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) yax2 yax2k 当a0时 x0（y轴） x0（y轴） 开口向上 当a0时 开口向下 yaxh 2xh xh b x2ayaxhk2(h,k) yaxbxc 2b4acb2，() 2a4a

1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 2、增减性：

当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而

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增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；

3、最大或最小值：

4acb2b当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 ＝

2a4a4acb2b当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 ＝

2a4a※ 典型例题

例1：二次函数y1(x4)25的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） 2 A.向上、直线x=4、（4，5） B.向上、直线x=-4、（-4，5） C.向上、直线x=4、（4，-5） D.向下、直线x=-4、（-4，5） 例2：已知函数yaxbxc的图象如图所示，则下列

结论正确的是（ ） A．a＞0，c＞0 C．a＜0，c＞0

B．a＜0，c＜0 D．a＞0，c＜0

222

例3：二次函数yx4x3的图像可以由二次函数yx的图像平移而得到，下列平

移正确的是

A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位; B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位; C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位; D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

例4：二次函数yaxbxc(a0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表： 2x y 1 2 1 21 40 1 1 27 41 2 3 27 42 1 5 21 43 2 （1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

明德致远 止于至善

（2）一元二次方程axbxc0(a0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 ．

213x10，x22 2215③x10，2x2

22①2

15

2213④1x1，x22

22②1x1，2x2例5：已知二次函数yx2xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

x22xm0的解为 ．

y O

1 3 x

例6：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

例7：杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线yx3x1的一部分，如图．

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

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